高中數學開放性問題：開放、分類、探索、遷移(第二版)（簡體書）

本書是“高中數學拓展性研究性學習叢書”之一，構筑了一個提升學生解決數學開放性問題能力的方案。第1章全面介紹了數學開放性問題的有關概念、教育價值、教學實踐以及數學開放性問題的編制方法。自第2章起，內容基本上與現行教材相匹配。以“問題”為基點，按不同類型全書匯編了200多個數學開放性問題；以“問題探究”為載體，介紹了不同類型數學開放性問題的解決策略及其解決過程；以“反思升華”為載體，進一步提升讀者解決此類問題的能力。每章末，為讀者提供了訓練材料——“探究實踐”以及相應的參考答案。 本書不僅適合于高一至高三各年級學生作拓展性研究性學習參考，特別是高三學生，而且也適合于教師作教學參考。

高中數學開放性問題——開放?分類?探索?遷移（第二版）

目錄

第1章 高中數學開放性問題概論 1.1 數學開放性問題研究綜述 1.1.1 數學開放性問題的沿革 1.1.2 數學開放性問題的概念與分類 1.1.3 數學開放性問題的教育價值 1.1.4 數學開放性問題提教學設計的原則 1.2 個性化的認識及教學嘗試 1.2.1 對數學開放性問題的認識 1.2.2 在教學中使用數學開放性問題的嘗試 1.3 數學開放性問題的編制 1.4 數學開放性研究性試題的命制與評價 1.4.1 試題設計的剖析 1.4.2 試題命制的探討 1.4.3 試題評價 1.5 例說高考開放命題的新亮點——提出問題 1.5.1 開放題的特征 1.5.2 開放題的設計 1.5.3 開放題的解決策略 1.5.4 開放題的解答過程 1.6 開放題評價分層給分示例

第2章 集合與命題 2.1 存在判斷型 2.1.1 作為元素的集合 2.1.2 數字變奏曲 2.1.3 集合A的元素恰好不在集合B中 2.1.4 元素和相等的子集 2.1.5 構造真命題 2.1.6 與其子集元素個數一樣多的集合 2.2 結論發散型 2.2.1 概念系 2.2.2 集合方程 2.2.3 約數集的個數 2.2.4 集合間的條件關系 2.2.5 集合的描述 2.3 歸納發現型 2.3.1 特值法的運用 2.2.2 斜邊的范圍 2.2.3 驗算后的猜想 2.4 方法探究型 2.4.1 零值代入法 2.4.2 平面點集 2.4.3 相等的集合 2.5 信息遷移型 2.5.1 集合的“差”運算 2.5.2 集合的運算“。” 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第3章 不等式 3.1 反溯條件型 3.1.1 給定解集的不等式 3.1.2 符合條件的不等式 3.1.3 乘積的最值 3.1.4 不等式間的條件關系 3.2 歸納發現型 3.2.1 數字的奧秘 3.2.2 推廣不等式 3.3 模式應用型 3.3.1 函數模型 3.3.2 幾何模型與分型 3.3.3 類比模型 3.3.4 數列模型 3.3.5 不等式模型 3.4 反思實踐型 3.4.1 基本不等式求最值 3.4.2 函數值的范圍 3.4.3 函數的值域 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第4章 復數與向量 4.1 存在判斷型 4.1.1 復數中的實數a 4.1.2 虛數z是否存在 4.1.3 帶有對數式的復數 4.1.4 復系數的一元二次方程 4.1.5 實系數的一元二次方程 4.2 反溯條件型 4.2.1 成為共軛復數的條件 4.2.2 向量 與 平行的條件 4.2.3 向量中的學習能力 4.2.4 實系數方程的根 4.2.5 三點共線的條件 4.3 結論發散型 4.3.1 復數方程表示的點集 4.3.2 探索zn+ 的可能值 4.3.3 關于ω的代數式 4.3.4 復數z與單位圓 4.3.5 能否求出z1/z2的值 4.3.6 機器人問題 4.4 構造設計型 4.4.1 編寫方程 4.4.2 編寫方程組 4.4.3 構造復數不等式表示封閉區域 4.5 策略發散型 4.5.1 復數模的最大值 4.5.2 解復方程 4.5.3 的符號 4.5.4 如何求復數z1+z2的模 4.6 錯解分析型 4.6.1 求函數最值錯在哪里 4.6.2 哪個是最大值 4.7 信息遷移型 4.7.1 推斷z+ 為實數的條件 4.7.2 模相等的復數 4.7.3 向量數量積 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第5章 函數 5.1 反溯條件型 5.1.1 成為同一函數 5.1.2 函數的反函數 5.1.3 是什么函數 5.1.4 缺什么補什么 5.1.5 不完整的命題 5.2 探索結論型 5.2.1 一道看不明白的題目 5.2.2 寫函數解析式 5.2.3 符合增減性的p值 5.2.4 弦長的射影 5.2.5 推斷解析式 5.3 知識鞏固型 5.3.1 奇偶函數的性質 5.3.2 相關函數圖像之間的關系 5.3.3 應用 5.4 存在判斷型 5.4.1 函數不等式能成立嗎 5.4.2 圖像的公共點 5.4.3 根為三角形內角的正弦值 5.4.4 多余條件 5.4.5 夾在兩個函數之間的函數 5.5 建模分析型 5.5.1 汽車能行駛多遠 5.5.2 限定區域的駕駛問題 5.5.3 如何進貨 5.6 信息遷移型 5.6.1 斜率屬于集合K的函數 5.6.2 均值為C的函數 5.6.3 K階格點函數 5.6.4 迭代函數值為雙元素集合的函數 5.6.5 自對稱的函數 5.6.6學習型問題 5.7 解答評價型 5.7.1 常量與變量混淆 5.7.2 錯在哪里 5.7.3 對解題過程的反思 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第6章 空間圖形 6.1 信息遷移型 6.1.1 向量的混合積 6.1.2 兩平面所成角的新定義 6.1.3 點到面的距離 6.1.4 多面體的“直度” 6.2 方案設計與篩選型 6.2.1 農戶糧倉設計 6.2.2 規則方式打包 6.2.3 罐內液體的估計 6.2.4 景觀工程 6.2.5 山腰居民取水 6.3 結論發散型 6.3.1 長方體對角線定理 6.3.2 四面體體積 6.3.3 正四棱錐中的角 6.3.4 側棱兩兩垂直的三棱錐 6.3.5 面面垂直的演變 6.4 策略開放型 6.4.1 必勝選擇 6.4.2 確定求體積的策略 6.4.3 平行六面體中的方法 6.5 類比推廣型 6.5.1 四面體的重心 6.5.2 正四面體中的距離 6.5.3 空間勾股定理 6.5.4 到兩定點距離之差最大 6.5.5 類似的結論 6.6 判斷推究型 6.6.1 四面體的截面 6.6.2 點運動的位置 6.6.3 四個角都是直角 6.6.4 二面角 角確定 6.6.5 能否成為正方形 6.7 反溯條件型 6.7.1 客觀題——填空題 6.7.2 求救的信號 6.7.3 旋轉體 6.7.4 正三棱柱中的垂直 6.7.5 棱錐體積最大 6.8 存在判斷型 6.8.1 動點的位置是否存在 6.8.2 分體積相等 6.8.3 動點的軌跡 6.8.4 120°的二面角 6.8.5 構造長方體 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第7章 曲線與方程 7.1 反溯條件型 7.1.1 過定點的定直線 7.1.2 給出切線圓的探究 7.1.3 頂點的軌跡 7.2 存在判斷型 7.2.1 過定點的直線與線段相交 7.2.2 直線與雙曲線的交點 7.2.3三角形面積的最值 7.2.4 有公共焦點的曲線 7.3 結論發散型 7.3.1 只有一個交點的圓和拋物線 7.3.2 橢圓定義法的應用 7.3.3 不同坐標系下的方程 7.4 信息遷移型 7.4.1 學會“學習”——點集的運算 7.4.2 函數的最值 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第8章 數列 8.1 信息遷移型 8.1.1 遞推數列 8.1.2 發散數列的收斂子數列 8.1.3 學會探究 8.2 舉例說明型 8.2.1 型的非等差數列 8.2.2 極限相等的數列 8.2.3 極限大于0的數列 8.3 構造設計型 8.3.1 遞推數列的實際背景 8.3.2 再找一個已知模型的應用 8.3.3 等差數列前n項和的模型設計 8.4 發現規律型 8.4.1 式子的規律 8.4.2 尋找堆放規律 8.4.3 寫數列的通項公式 8.4.4 數列中的存在型問題探究 8.5 歸納總結型 8.5.1 通項與前n項和 8.5.2 評價不同的證明方法 8.5.3 等差數列的和與項 8.5.4 等比數列和的極限 8.5.5 增長無限、高度有限 8.6 問題探究型 8.6.1 公差由你確定 8.6.2 等差數列前兩項形成的等比數列 8.6.3 等差數列的等比子數列 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第9章 排列、組合、概率統計初步與決策 9.1 信息遷移型 9.1.1 再生數 9.1.2 排列數 9.1.3 秘書打信 9.1.4 環狀排列 9.1.5 不盡相異元素的全排列 9.2 結論發散型 9.2.1 車站問題 9.2.2 確定正整數 9.2.3 能做幾個圖形 9.2.4 撲克牌游戲 9.2.5 戴錯帽子 9.2.6 組合恒等式 9.3 存在判斷型 9.3.1 相鄰三項構成等比數列 9.3.2 展開式是否同時含有常數項 9.3.3 總統與發言人 9.4 方案設計 9.4.1 花圃栽種植物 9.4.2 投資方案決策 9.4.3 世界杯足球賽 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

第10章 綜合實踐 10.1 信息遷移型 10.1.1 極限的“雙夾“定理 10.1.2 數列發生器 10.1.3 運算封閉性 10.1.4 替代函數 10.1.5 潮汐問題 10.1.6 學會提問 10.2 方案設計型 10.2.1開發區的道路網 10.2.2 防洪搶險 10.2.3 不合實際的方案 10.2.4 飛播種草 10.2.5 蔬菜上殘留的農藥 10.3 觀察歸納推廣型 10.3.1 不等命題的推廣 10.3.2 二階等差數列 10.3.3 焦點弦的條數 10.3.4 等比數列的 10.3.5 糖水中的不等式 10.4 反溯條件型 10.4.1 寫錯的 10.4.2 計算裝置 10.4.3 單調的二次函數 10.4.4 三棱錐中的二面角 10.4.5 個實數的方陣 10.5 判斷探究型 10.5.1 集合中的命題 10.5.2 最小自然數 10.5.3 十字路口立交橋 10.5.4 恒小于后面的項 10.5.5 動點軌跡恰為圓 10.6 存在判斷型 10.6.1 交集上的點 10.6.2 多項式中的系數 10.6.3 坐標平面上的變換 10.6.4 最小的整數 10.6.5 學會探究與猜想 10.7 綜合型 10.7.1 新不等式的特征 10.7.2 函數的性質 10.7.3 恰為固定的值域 10.7.4 摸彩的方案 10.7.5 滑棒在拋物面內停留在何處 10.7.6 矩陣應用 本章探究實踐 本章探究實踐參考答案

序 最近，花了幾天工夫拜讀了由上海楊浦區高中教研員、區骨干教師、數學高級教師——王國江老師主編，吳長江、任升錄、王濤等老師編著的《高中數學開放性問題》一書，長了不少見識，從中學到了不少東西。 數學開放性問題，雖還沒有公認的、嚴格的定義和界限，但近年已引起眾多數學教育工作者的重視，也屢有開放性試題出現在近年的高考數學詩卷之中。開放性問題應該屬于探究性問題的一種。該類題目的條件、解決問題的探究過程以及結論具有很強的開放性，解決此類問題通常要從多角度、多方位去思考，學會舉一反三，對問題探究的不同途徑和方法加以甄選，最后得出認識層次較高的、比較完善的結論。相對傳統的“封閉式問題”，開放性問題更能培養學生的發散思維和探究創新能力，有助于培養學生自主學習、自主探究的科學精神，激發學生的學習熱情和興趣，養成獨立思考的良好習慣。這也正是二期課改的理念，對實現《教育規劃綱要》中“提高科技創新能力、培養創新型人才”的國家戰略具有積極的現實意義。 《高中數學開放性問題》一書凝聚了作者多年的心血，是作者多年研究、探索、實踐開放性問題的結晶。第1章，作者從理論上簡要介紹了開放性問題的特征、歷史以及開放性問題的命制與評價。第2～9章，作者按高中數學的教學內容，根據開放性問題的不同類型分門別類，對大量的開放性問題實例進行了翔實、細致的分析、解答和點評，第10章則根據開放性問題的性質分類，綜合了大量不同能力要求的開放題。本人認為，此書對提高學生對開放性問題的認識、提高解答開放性問題的能力以及數學創新能力具有很好的作用。 作者對開放性問題精選篩選、改編創新，策略性地分析系列問題的共性與解決問題的關鍵與著眼點，不僅給出了開放性問題實例的解決方案，更詳盡地給出了解決問題的探究過程，展示了解決問題的思維方式和解決策略。將解決問題、思考問題的全過程詳盡地展示出來，遠比只給出問題的解決方案重要，這對培養學生的應用意識大有裨益！作者還通過如何對問題進行演變與引申，給予學生聯想和自由發展的空間。本人認為，此書對提高學生的應用性問題的認識、提高應用數學解決實際問題的意識以及提高解決應用性問題的能力具有很好的作用。 靳全勤 2012年元月10日 于同濟大學致遠樓