高等數學競賽題解析教程 2012（簡體書）

《高等數學競賽題解析教程2012》根據江蘇省普通高等學校非理科專業高等數學競賽委員會制訂的高等數學競賽大綱并參照教育部制訂的考研數學考試大綱編寫而成，內容分為極限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、多元函數積分學、空間解析幾何、級數、微分方程等八個專題，每個專題含“基本概念與內容提要”、“競賽題與精選題解析”與“練習題”三個部分。其中，競賽題選自江蘇省（1—10屆）、北京市（1—15屆）、浙江省（1—7屆）、廣東省、陜西省、上海市、天津市等省市大學生高等數學競賽試題；清華大學、南京大學、上海交通大學等高校大學數學競賽試題；莫斯科大學等國外高校大學生數學競賽試題。
高等數學競賽能激發大學生們學習高等數學的興趣，活躍思維。高等數學競賽試題中既含基本題，又含很多具有較高水平和較大難度的趣味題，這些題目構思絕妙，方法靈活，技巧性強，《高等數學競賽題解析教程2012》逐條進行解析，并對重要題目深入分析，總結解題方法與技巧。
《高等數學競賽題解析教程2012》可供準備高等數學競賽的老師和學生作為應試教程，也可供各類高等學校的大學生作為學習高等數學和考研的參考書，特別有益于成績優秀的大學生提高高等數學水平。

陳仲，男，1940年9月出生，南京大學數學系教授，兩次獲江蘇省高等教育優秀教學成果二等獎、江蘇省“三盲人”先進個人獎、南京大學“十佳教師”，連續三年被南京大學學生評為“我最喜愛的老師”，發表有《兩個積分定理及其應用》、《三度恒等式的新證明》等論文，編著出版圖書有《微分方程》、《大學數學》（上、下冊）、《微積分學引論》（上、下冊）、《大學數學典型題解析》（上、下冊）、《碩士研究生入學考試歷年試題解析》、《大學數學教程》（上、下冊）、《高等數學競賽題解析》等。

《高等數學競賽題解析教程2012》共分8個專題，內容包括：極限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、多元函數積分學、空間解析幾何、級數、微分方程等。每個專題含“基本概念與內容提要”、“競賽題與精選題解析”與“練習題”三個部分。可供準備高等數學競賽的老師和學生作為應試教程，也可供各類高等學校的大學生作為學習高等數學和考研的參考書，特別有益于成績優秀的大學生提高高等數學水平。

專題1 極限與連續
1.1 基本概念與內容提要
1.一元函數基本概念
2.數列的極限
3.函數的極限
4.證明數列或函數極限存在的方法
5.無窮小量
6.無窮大量
7.求數列或函數的極限的方法
8.函數的連續性
1.2 競賽題與精選題解析
1.求函數的表達式（例1.1—1.4）
2.利用四則運算求極限（例1.5—1.18）
3.利用夾逼準則與單調有界準則求極限（例1.19—1.28）
4.利用兩個重要極限求極限（例1.29—1.32）
5.利用等價無窮小因子代換求極限（例1.33—1.38）
6.無窮小比較與無窮大比較（例1.39—1.42）
7.連續性與間斷點（例1.43—1.49）
8.利用介值定理的證明題（例1.50—1.54）
練習題一

專題2 一元函數微分學
2.1 基本概念與內容提要
1.導數的定義
2.左、右導數的定義
3.微分概念
4.基本初等函數的導數公式
5.求導法則
6.高階導數
7.微分中值定理
8.泰勒公式與馬克勞林公式
9.洛必達法則
10.導數在幾何上的應用
2.2 競賽題與精選題解析
1.利用導數的定義解題（例2.1—2.7）
2.利用求導法則解題（例2.8—2.15）
3.求高階導數（例2.16—2.29）
4.與微分中值定理有關的證明題（例2.30—2.49）
5.馬克勞林公式與泰勒公式的應用（例2.50—2.70）
6.利用洛必達法則求極限（例2.71—2.81）
7.導數在幾何上的應用（例2.82—2.101）
8.不等式的證明（例2.102—2.114）
練習題二

專題3 一元函數積分學
3.1 基本概念與內容提要
1.不定積分基本概念
2.基本積分公式
3.不定積分的計算
4.定積分基本概念
5.定積分中值定理
6.變限的定積分
7.定積分的計算
8.奇偶函數與周期函數定積分的性質
9.定積分在幾何與物理上的應用
10.廣義積分
3.2 競賽題與精選題解析
1.求原函數（例3.1—3.4）
2.求不定積分（例3.5—3.21）
3.利用定積分的定義求極限（例3.22—3.28）
4.應用積分中值定理解題（例3.29—3.34）
5.變限的定積分的應用（例3.35—3.50）
6.定積分的計算（例3.51—3.71）
7.定積分在幾何與物理上的應用（例3.72—3.83）
8.積分不等式的證明（例3.84—3.112）
9.積分等式的證明（例3.113—3.115）
10.廣義積分（例3.116—3.125）
練習題三

專題4 多元函數微分學
4.1 基本概念與內容提要
1.二元函數的極限與連續性
2.偏導數與全微分
3.多元復合函數與隱函數的偏導數
4.高階偏導數
5.二元函數的極值
6.條件極值
7.多元函數的最值
4.2 競賽題與精選題解析
1.求二元函數的極限（例4.1—4.2）
2.二元函數的連續性、可偏導性與可微性（例4.3—4.9）
3.求多元復合函數與隱函數的偏導數（例4.10—4.20）
4.求高階偏導數（例4.21—4.30）
5.求二元函數的極值（例4.31—4.35）
6.求條件極值（例4.36—4.39）
7.求多元函數在有界閉域上的最值（例4.40—4.41）
練習題四

專題5 多元函數積分學
5.1 基本概念與內容提要
1.二重積分基本概念
2.二重積分的計算
3.交換二次積分的次序
4.三重積分基本概念與計算
5.重積分的應用
6.曲線積分基本概念與計算
7.格林公式
8.曲面積分基本概念與計算
9.斯托克斯公式
10.高斯公式
5.2 競賽題與精選題解析
1.二重積分的計算（例5.1—5.16）
2.交換二次積分的次序（例5.17—5.27）
3.三重積分的計算（例S.28—5.32）
4.與重積分有關的不等式的證明（例5.33—5.39）
5.曲線積分的計算（例5.40—5.43）
6.應用格林公式解題（例5.44—5.54）
7.曲面積分的計算（例5.55—5.57）
8.應用斯托克斯公式解題（例5.58—5.60）
9.應用高斯公式解題（例5.61—5.66）
10.多元函數積分學的應用題（例5.67—5.76）
練習題五

專題6 空間解析幾何
6.1 基本概念與內容提要
1.向量的基本概念與向量的運算
2.空間的平面
3.空間的直線
4.空間的曲面
5.空間的曲線
6.2 競賽題與精選題解析
1.向量的運算（例6.1—6.5）
2.空間平面的方程（例6.6—6.9）
3.空間直線的方程（例6.10—6.15）
4.空間曲面的方程與空間曲面的切平面（例6.16—6.27）
5.空間曲線的方程與空間曲線的切線（例6.28—6.32）
練習題六

專題7 級數
7.1 基本概念與內容提要
1.數項級數的主要性質
2.正項級數斂散性判別法
3.任意項級數斂散性判別法
4.冪級數的收斂半徑、收斂域與和函數
5.初等函數關于x的冪級數展開式
6.傅氏級數
7.2 競賽題與精選題解析
1.判別正項級數的斂散性（例7.1—7.14）
2.判別任意項級數的斂散性（例7.15—7.26）
3.求冪級數的收斂域與和函數（例7.27—7.44）
4.求數項級數的和（例7.45—7.51）
5.求初等函數關于z的冪級數展開式（例7.52—7.58）
6.求函數的傅氏級數展開式（例7.59）
練習題七

專題8 微分方程
8.1 基本概念與內容提要
1.微分方程的基本概念
2.一階微分方程
3.二階微分方程
4.微分方程的應用
8.2 競賽題與精選題解析
1.微分方程的特解（例8.1—8.3）
2.變量可分離方程的應用題（例8.4—8.8）
3.齊次微分方程的應用題（例8.9）
4.一階線性微分方程的應用題（例8.10—8.13）
5.求解二階線性微分方程（例8.14—8.21）
6.求解可化為二階線性微分方程的微分方程（例8.22—8.23）
練習題八
練習題答案與提示