消失的天才：完美的數學證明、捨棄的百萬美元大獎，一位破解百年難題的數學家神祕遁逃的故事

一個完美的數學證明背後，世紀難題、高額獎金、桂冠榮耀、奇才命運交織而成的故事
《美麗境界》之後又一位數學奇才的動人傳奇，
破解拓撲學百年難題「龐加萊猜想」的俄羅斯數學家佩雷爾曼（Grigory Perelman）「消失」的真相

★臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專業審訂
★好評推薦
王浩威 精神科醫師、作家
吳靜吉 政治大學名譽教授、創造力講座主持人
李家維 科學人雜誌總編輯
林信安 建中數學科老師
楊維哲 台大數學系教授

《星星的孩子》作者天寶•葛蘭汀（Temple Grandin）、《無解方程式》作者馬利歐•李維歐（Mario Livio）、《紐約時報》……一致讚譽

他是一位拓撲學家。

拓撲學家就像在蘋果上爬的小蟲，或像在地球上行走的歐幾里得。

到數學俱樂部上課途中，他會在大街上買一條內含葡萄乾、上面灑了碎花生的列寧格勒麵包，但是他不吃花生，把它統統刮掉。

他偶而在路上停步，用粉筆在人行道上寫公式，過著從小在栽培下要過的日子：純粹數學家的生活。

即使在節省時間比較重要的時刻，他仍誠實到瘋狂的地步。

他的做法一如往常：讀問題，閉上眼睛，往後靠，用手掌摩擦褲管，愈來愈快，然後兩手互相摩擦，張開眼睛，寫下非常精準、簡潔的解答。如果遇到比較困難的問題，他會輕輕地哼唱。他的解答只用了兩頁而已。

但十九歲起，他的世界開始不斷縮小。

一天，完成一道難題的證明後，他的世界就像緊緊綁在球上的橡皮圈一樣，逐漸收縮，自球上滑落，最終縮小成一個點。

他離開了數學，也從這個世界「消失」。

◎世紀數學難題與神祕天才所成就的「完美的嚴謹」

「如果證明是正確的，其他什麼讚譽獎賞都不需要。」――佩雷爾曼

數學界最高榮譽費爾茲獎頒發給他，他拒絕出席領獎甚至不願列名得獎人
世界一流大學紛紛發出薪資豐厚的工作邀約，千禧年百萬美元大獎贈予他
但他拒絕了這一切……

2000年，波士頓克雷數學研究所提出七大數學難題，任何人只要能解開其中一題，就能獲得百萬美元獎賞。其中一題是拓撲學領域的「龐加萊猜想」，它不僅極度複雜，還難倒了一個多世紀以來的許多數學高手。

就在2002年11月，才過了短短兩年的時間，就有一名俄羅斯數學家把「龐加萊猜想」的證明貼在網路上。
2006年，數學界證實性情古怪的俄羅斯數學家佩雷爾曼，已經解開世界上最困難的智識謎團之一「龐加萊猜想」。

本書作者葛森本身就是在俄羅斯長大的數學高手，她在俄羅斯和美國訪談佩雷爾曼的教授、同學、指導老師、夥伴及同事，包括著名中國數學家田剛，開始挖掘佩雷爾曼的奇才本質，結果發現他擁有幾近超人般的計算能力。佩雷爾曼跟一些數學家不同，不是憑直覺行事或想像力豐富的人，他的思維清晰嚴謹，能把數學觀念的邏輯發揮得淋漓盡致，甚至超越一般極遠。

然而，這個優點也成為他的致命傷。葛森發現佩雷爾曼雖有傑出的心智，卻無法處理現實世界繁亂的日常生活。在他柏拉圖式的理想遭嫉妒、敵意與熱情入侵後，佩雷爾曼開始退縮，先是離開數學界，然後逐漸淡出尋常的世界。

◎「封頂之作」與作者權之爭所引爆的名利風暴

「漢米爾頓的貢獻超過百分之五十；俄羅斯人佩雷爾曼的貢獻大約百分之二十五；中國學者丘成桐、朱熹平和曹懷東等的貢獻在百分之三十左右。」――有中國數學家這麼宣稱（撇開其他不說，這顯然是一個算術奇蹟）

2006年8月28日出刊的《紐約客》雜誌刊登了一篇名為〈流形的命運〉（Manifold Destiny）的文章，撰文者是《美麗境界》（A Beautiful Mind）的作者娜莎（Sylvia Nasar），以及科學記者格魯伯（David Gruber）。該文追蹤與佩雷爾曼的證明、宣稱完成「封頂之作」的中國數學家曹懷東和朱熹平的論文，以及費爾茲獎得主、極具影響力的中國數學家丘成桐在作者權之爭中扮演的角色等相關故事，甚至提到丘成桐與弟子田剛的事件恩怨。

這篇文章引發激烈爭論，丘成桐找了律師要求《紐約客》做出修正並道歉，而文中引用過的數學家宣稱相關爭議遭到不是數學家的人不必要地誇大了。

一連串蔓延至主流媒體的紛爭，更加引發大眾對圍繞「龐加萊猜想」的證明這個故事和佩雷爾曼的好奇。在這個故事裡，數學界沒有站起來支持自己人，甚至沒有支持一個百年來帶給數學最大贈禮的人。而佩雷爾曼早已置身數學界和甚至這個世界之外。

本書探索佩雷爾曼的心靈，逐漸建構出一個深具吸引力的故事，讓我們得以了解天才獨特的負擔。

瑪莎•葛森（Masha Gessen）

俄羅斯籍暨美國籍新聞工作者和作家。1967年出生於莫斯科的德系猶太人家庭，1981年全家移居美國，1991年返回莫斯科居住至今。

《美國新聞與世界報導》（US News & World Report）俄羅斯特派員，曾為《石板》雜誌（Slate）、《新共和國》（The New Republic）、《浮華世界》（Vanity Fair）、《紐約時報》（New York Times）等撰文。著有《兩位祖母》（Two Babushkas）等書，該書描述其兩位祖母在猶太大屠殺和史達林暴政下生存的故事。

譯者簡介
陳雅雲

美國蒙特利學院口譯暨筆譯碩士，英國新堡大學翻譯博士，現任教於新堡大學翻譯研究所，譯作近五十本，包括《踏入宇宙的一小步：黑洞、蟲洞、時光機》、《改變世界的簡單法則》、《從零開始：追蹤零的符號與意義》、《DNA：生命的秘密》、《一平方英寸的寂靜》等。

對本書的讚譽

「佩雷爾曼擁有完美的數學頭腦，還有獨特非凡的數學成就。但是正如瑪莎•葛森在這部精采著作中呈現的，在一個不完美的世界，擁有一個完美的頭腦，幾乎注定要以悲劇收場。」
──強尼•鮑爾（Johnny Ball），BBC著名兒童數學節目製作人

「一本令人讚嘆的好書，深入探討蘇聯及其後俄羅斯的教育制度，檢視它如何塑造，或許該說如何在人為操作下，創造出世界上最令人驚異，同時也最神祕的數學解題奇才之一。」
──齊斯•德福林（Keith Devlin），《數學的語言》（The Language of Mathematics）作者

「深入天才數學家的心靈，讓身為自閉症患者的我為之著迷。探索他所有的感性、社會與知性世界，如何沉澱為一個完美的數學證明。」
──天寶•葛蘭汀（Temple Grandin），《星星的孩子》（Emergence: Labeled Autistic）作者

「瑪莎•葛森為我們打開兩扇窗，一扇通往天才的心靈，一扇通往俄羅斯數學界，兩個同樣提供了引人入勝的觀點。」
──馬利歐•李維歐（Mario Livio），《無解方程式》（The Equation That Couldn't Be Solved）作者

「一位以卓越方法解開超級難題的頂尖數學家，一個成就與悲劇相互糾纏的故事。可讀性高，激動人心，充滿人性。」
──伊恩•史都華（Ian Steward），《數學可以救羅馬？！》（How to Cut a Cake）作者

「這本精妙的著作描繪前蘇聯的數學體制，以及在這個體制下發展形成最獨特的心智之一。」
──《科克斯書評》（Kirkus Reviews）

「葛森詳細說明了在前蘇聯數學圈『邪惡、暗箭傷人的狹隘世界』裡，佩雷爾曼得以崛起的種種情況，並以出色的文筆重現可能導致佩雷爾曼神祕離去的扭曲邏輯。在整個過程中，葛森創造出一部獨特的著作：以淺顯易讀的方式描述一個與世隔絕的人。」
──《紐約時報》（New York Times）

一個百萬美元的難題

數，就像具有魔力般令人著迷，而數學家則特別擅長賦予數字意義。二○○○年，一群世界頂尖的數學家齊聚巴黎，召開一場在他們心中具有重大意義的會議。他們利用這個場合審視數學領域，討論純粹的數學之美：一個能為所有人了解及欣賞的價值。他們花時間互相恭維，最重要的是暢談彼此的夢想。他們也一起設想未來數學成就的優雅、實質與重要意義。

這場千禧年會議（The Millennium Meeting）是由非營利性機構克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）召開，這個研究所的創建人是波士頓商人克雷（Landon Clay）與他的妻子拉維妮亞（Lavinia），目的在於推廣數學觀念，鼓勵數學家探討數學。在成立的兩年間，克雷數學研究所在麻薩諸塞州劍橋市（Cambridge）哈佛廣場（Harvard Square）外的一棟大樓，設立了一個美觀的辦公室，並且頒發了一些研究獎項。其後，他們又針對數學的未來擬定了一項抱負遠大的計畫，正如以證明費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）聞名於世的英國數論學家懷爾斯（Andrew Wiles）的解釋，他們打算「記錄二十世紀最具挑戰性且我們最期望能解開的難題」，「我們不知道它們會在何時如何解開：有可能要等五年，或者可能一百年。但我們相信解開這些難題，可以為數學發現與領域開創全新的局面」。

於是克雷數學研究所彷彿在編織數學童話般，提出七大難題（在許多民間傳統中，「7」是具有魔力的數），並為每道難題的解答懸賞一百萬美元的高額獎金。數學界的王者開始在授課時，總結這七大難題。二十世紀最具影響力的數學家之一阿提雅（Michael Francis Atiyah），開始簡述一九○四年龐加萊（Henri Poincaré）提出的「龐加萊猜想」（Poincaré Conjecture）。這道難題是數學拓撲學領域的經典問題。「許多著名的數學家都曾經研究過，但都未能解開。」阿提雅陳述：「歷來出現過許多誤謬的證明。許多人嘗試解答並犯了錯。有時是他們自己就發現了錯誤，有時是他們的朋友發現的。」聽眾聽了開始笑，顯然其中至少有些人曾在嘗試解開這道難題時犯過錯誤。

阿提雅提出解答有可能來自物理學。他開玩笑說：「這是無法解開這道難題的老師，為試圖解開它的學生提供的一種線索，一個暗示。」聽眾中的確有幾個人正在研究這道難題，希望能夠更早攻克「龐加萊猜想」。但沒有人認為解答會很快出現。有些數學家在研究著名的問題時，的確會隱瞞自己全神貫注的對象，如同懷爾斯研究費馬最後定理時的做法，但是一般而言，他們在研究上大多會設法跟別人並駕齊驅。此外，儘管在這場千禧年會議之前，每年多少都有一些人提出關於「龐加萊猜想」的推定證明（putative proof），距離最近的重大突破卻是在一九八二年，美國數學家漢米爾頓（Richard Hamilton）為解開這道難題設計了一個藍圖，那已是將近二十年前的事了。然而，漢米爾頓隨後發現他為找到解答所做的計畫，亦即數學家所謂的程式（program），很難執行，而其他人又無法提出可靠的替代方法。「龐加萊猜想」有可能像克雷數學研究所提出的其他千禧難題一樣，永遠無解。

解決這七大難題中的任一題，都會是偉大的成就。每道難題都承載著數學家數十載的研究光陰，其中有許多人在努力多年後，直到過世都無法找到解答。「克雷數學研究所真的想傳達一個明確訊息，亦即數學之所以珍貴，主要就在於這些超難的難題，它們就像數學界的埃弗勒斯峰或聖母峰。」同為二十世紀數學巨擘的法國數學家孔恩（Alain Connes）曾說：「首先，要抵達山巔就極度困難，甚至可能賠上性命或付出其他類似的代價。但是當我們抵達山峰時，眼前的視野肯定令人讚嘆。」

即使在可見的未來解開任一道千禧年難題的可能性都極低，克雷數學研究所仍針對每個獎項的頒發規畫了明確的計畫。他們規定所有難題的解答均須在有審查制度的期刊上發表，當然這也是一般期刊的標準做法。在發表出版後，必須等候兩年，讓世界各地的數學家檢視，並就其正確性和作者權達成共識。然後他們會任命一個委員會，負責推薦受獎人。唯有經過這些程序後，克雷數學研究所才會頒發百萬美元的獎金。懷爾斯估計至少要五年才會有人提出第一個正確解答，假定任一道難題真正被解開的話，因此這個程序看起來一點也不麻煩。

二○○二年十一月，才過了兩年時間，就有一位俄羅斯數學家把「龐加萊猜想」的證明貼在網路上。他不是第一個宣稱已經證明「龐加萊猜想」的人，甚至不是同年唯一一個在網路上張貼這個猜想的推定證明的俄羅斯人，但他提出的證明最後確認是正確的。

然而，其後的事情並未按照克雷數學研究所或任何數學家會視為合理的計畫進行。這位證明了「龐加萊猜想」的俄羅斯人名叫格里高利．佩雷爾曼（Grigory Perelman），他並未在有審查制度的期刊上發表自己的解答，也不願仔細研究或甚至審閱其他人針對他的證明所做的論述。他拒絕了世界一流大學提出的許多工作邀約，也拒絕領取原訂在二○○六年頒發給他的數學界最高榮譽「費爾茲獎」（Fields Medal）。然後，他基本上斷絕了與全球數學界及大多數同事的聯繫。

佩雷爾曼的奇特行為引起人們對「龐加萊猜想」及其證明的注意，在其他數學故事上可能都不曾見過這樣的發展。等著佩雷爾曼領取、前所未見的高額獎金，還有兩位中國數學家宣稱他們才是真正證明「龐加萊猜想」的人，以至於突然引發的剽竊爭議，也助長了各界的關注。人們對佩雷爾曼談得愈多，他露面的時間似乎愈少；儘管他仍長年住在聖彼得堡的公寓，但到最後，連一度與他熟識的人都說他已經「消失」。他偶而會接電話，但只是為了聲明他希望外界視同他已經不在人世。

我剛開始撰寫本書時，希望找到三個問題的答案：佩雷爾曼為何能解開「龐加萊猜想」，首先，他的心智與過去所有數學家有何差異，為什麼他能解開這道難題？其次，他後來為何拋棄了數學，甚至幾乎到拋棄整個世界的地步？最後，克雷數學研究所的獎金應歸他所得，也肯定有助於改善他的生活，他會拒絕接受嗎？如果會的話，原因為何？

我撰寫本書的方式跟一般傳記的做法不同。我並沒有長期訪談佩雷爾曼。事實上，我完全沒有與他交談過。等我開始撰寫本書時，他已經跟所有記者和大多數人斷絕聯繫。這使我的工作變得更加困難，因為我得想像一個未曾謀面的人，但這也讓這項工作變得更加有趣：就像進行一場調查。幸運的是，大多數曾經與佩雷爾曼親近且熟知「龐加萊猜想」故事的人，願意接受我的訪談。事實上，有時我覺得這比描繪一個合作的故事主人翁還容易，因為我想寫的並不是佩雷爾曼本人敘述的故事及他對自己的看法——而是想找出真相。

序 言 一個百萬美元的難題
第 一 章 逃入想像的世界
第 二 章 數學家的養成
第 三 章 美麗的學校
第 四 章 滿分
第 五 章 成年的規則
第 六 章 守護天使
第 七 章 來回旅行
第 八 章 百年難題
第 九 章 證明出現
第 十 章 瘋狂
第十一章 百萬美元的問題
後 記
謝 辭

第一章　逃入想像的世界

唸過小學的人都知道，數學跟宇宙中的其他事物都不同。事實上，每一個人都體驗過一個抽象概念突然變得有道理時，心裡那種頓悟的感覺。儘管國小算術之於數學，就像拼字比賽之於小說創作藝術一樣，但是想像了解胚騰（pattern）的渴望，以及使一個謎樣或違反規律的胚騰符合一組邏輯規則時，那種如孩子般興奮的感覺，向來是所有數學的推動力。

這種興奮感大多來自數學解答的單一本質；正確答案只有一個，這也是大多數數學家視數學為一確鑿、精準、純粹和基本的領域的原因，即使精確來說，它其實並不能稱之為一門科學。科學的真理是經過實驗證明的。數學的真理是經由論證證明，因此它比較像哲學，或甚至更接近法律，因為法律這門學科也假設單一真理的存在。其他的自然科學存在於實驗室或實地現場，由一大群技術人員負責，而數學卻存在於一個人的心智裡。它的生命泉源是會使數學家輾轉反側、因頓悟構想而驚醒的思考過程，以及改變、修正或肯定此構想的對話交流。

「數學家不需要實驗室或供給品。」俄羅斯數論學家辛欽（Alexander Khinchin）曾寫道：「只要有一張紙、一枝筆和創造能力，他就可以開始工作。如果有機會使用還不錯的圖書館，再加上（幾乎每一位數學家都擁有的）科學熱情，那麼無論是多大的破壞力量，都無法阻止數學的創造工作。」其他科學的本質是集體研究，如同二十世紀初以來的情況；數學卻是一個獨力探求的過程，但數學家會不斷地與另一個同樣執著的心智交流。進行這些交流的工具，亦即這些重要論證發生的地方，就是會議、期刊，以及我們這個時代才有的網路。

俄羅斯孕育出二十世紀一些最偉大的數學家，這件事本身就是一個奇蹟。數學跟前蘇聯時代的做法形成顯著的對比。數學提倡論證，研究胚騰，俄羅斯卻控制人民，迫使他們接受不斷變化、無法預測的現實；數學重視邏輯與一致性，當時的文化卻以華麗虛飾的語言和恐懼為成長的養分；數學要求高度專業的知識才能了解，所以對門外漢來說，數學對話就像密碼一樣難以解讀；更糟的是，數學主張單一、可知的真理，當時政體的合法性卻是建立在單方認定的真理上。這一切都使得在前蘇聯時代，講究一致性與邏輯的人會特別受數學吸引，因為這是他們在其他所有研究領域難以獲得的。這一切也使得數學和數學家開始產生質疑。對數學家而言，數學重要而美麗，俄羅斯代數學家謝伐斯曼（Mikhail Tsfasman）在解釋其原因時說：「數學特別適合教導人分辨是非，它也能教人分辨經過證明與尚未證實、可能發生與未必會發生的事物。它也教我們辨別可能發生和可能為真，以及看似可能發生卻明顯是謊言的事物。這是〔俄羅斯〕社會大眾極度缺乏的數學文化。」

俄羅斯的數學之所以能逃過法令規章的摧殘，主要有三個幾乎毫無關聯的因素。第一，俄羅斯的數學原本可能受創最重，它卻剛好特別堅強。第二，數學太過艱澀，蘇聯領導人偏好的手法無從干涉。第三，它剛好證明在關鍵時刻對蘇聯極度有用。

一九二○年代和一九三○年代，莫斯科以擁有實力堅強的數學界為傲；在構成二十世紀數學基礎的拓樸學、機率論、數論、泛函分析、微分方程和其他領域方面，有許多突破性的研究。數學研究所需的經費不多，這點也有助益：自然科學因缺乏設備，甚至因工作空間沒有暖氣而逐漸凋零時，數學家只要有鉛筆和交流就可以工作。辛欽在寫到那段時期時曾表示：「當時缺乏當代文獻，不斷的科學交流多少可以彌補這個缺憾，而且在那段時期，科學交流多少都還能籌畫並獲得支持。」當時整批年輕的數學家快速晉升為教授並成為院士，其中許多人曾在國外受過教育。

一九三○年代，一場數學公審即將展開。跟葉戈羅夫（Dimitri Egorov）合作領導莫斯科數學界的年輕夥伴，是他的第一個學生盧津（Nikolai Luzin）。盧津是很有領導魅力的老師，許多向他學習的學生都稱他們的數學圈為「盧津塔尼亞」（Luzitania），彷彿它是一個神奇國度，或像由共同的想像力結合而成的神祕會社。當教授數學的人擁有適當的遠見時，的確容易形成神祕的社群。大多數數學家都能很快地指出，世上只有少數人了解數學家在講什麼。當這些人剛好相互交談，或甚至形成學習和生活步調都一致的群體時，會令人非常興奮。

「盧津的好戰理想主義，」一位譴責盧津的同事寫道：「從他在國外旅行時呈交給科學院的報告即可見一斑，上面有一段話說：『自然數集合似乎並不是絕對客觀的組成。它似乎是由剛好在特定時刻談論一個自然數集合的數學家心智所構成的函數。看來在算術問題當中，有一些絕對無法解決的問題。』」

反對盧津的活動不斷發生，包括報紙文章和社群會議，由科學院組成的緊急委員會也召開了五天聽證會。報紙文章指稱盧津和其他數學家為敵人，因為他們在海外發表自己的研究。換句話說，這些事件都按公審的標準情況一一發生。然而，這個過程似乎虎頭蛇尾地就結束了：盧津公開懺悔，而且儘管遭到嚴厲的申斥，仍得以保留院士身分。針對他據說犯下的叛國罪所做的調查，也獲准悄悄地無疾而終。

盧津和俄羅斯的數學非常、非常幸運。

數學僥倖逃過攻擊，但從此也只能蹣跚前進。最後盧津因從事數學而遭到公開貶謫與斥責：因為他在國際期刊上發表論文，與國外的同事保持聯絡，以及參與交流，而交流卻是數學的生命所在。審判盧津的聽證會傳達的訊息是：待在鐵幕後。其後，蘇聯數學家也一直把這項訊息奉為圭臬，奉行到一九六○年代，甚至一直到蘇聯瓦解。假裝蘇聯的數學不僅是世界最進步的數學（這已成為蘇聯數學的官方標語），更是世界唯一的數學。結果，蘇聯和西方的數學家在不知道彼此的工作下，研究相同的問題，造成許多以兩個名字共同命名的概念，例如柴廷─柯莫哥洛夫複雜度（Chaitin-Kolmogorov complexities）和庫克─李文定理（Cook-Levin theorem）（在這兩個實例中，共同命名的兩人都是獨立獲得研究成果）。蘇聯頂尖數學家龐特里亞金（Lev Pontryagin）就曾在回憶錄裡提到，他在史達林過世五年後的一九五八年第一次到海外旅行，當時他五十歲，已經是世界知名的數學家，他一直問同事他最新的研究結果是否真是新的；他沒有別的方法可以得知。

「在一九六○年代，只有少數人可以到法國半年或一年。」現在負責美國數學學會（American Mathematics Society）出版計畫的俄羅斯數學家蓋爾范德（Sergei Gelfand）回憶說：「他們回來後，對蘇聯數學界都非常有用，因為他們可以在那裡進行交流，因而了解也讓他人明白，天賦再好，如果僅是在鐵幕後閉門造車的話，也無法掌握全貌。他們必須跟其他人討論，讀別人的作品才行，這是雙向的：我就認識一些為了能夠閱讀蘇聯的數學期刊而研讀俄文的美國數學家。」事實上，有一個世代的美國數學家大多具備閱讀數學相關俄文文章的知識，即使對以俄語為母語的人而言，這都是一種相當專門的能力，克雷數學研究所所長卡爾森（Jim Carlson）就是具備這種能力的人之一。蓋爾范德本人在一九九○年代初離開俄羅斯，在美國數學學會的徵召下，開始彌補前蘇聯統治期間在數學知識方面形成的斷層：他所負責的工作，就是在美國協調翻譯俄羅斯數學家累積多年的作品並進行出版。

因此，俄羅斯數學家被剝奪了工作所需的工具，亦即辛欽所謂「還不錯的圖書館」和「不斷的科學交流」。幸好他們仍保有不可或缺的工具，也就是「一張紙、一枝筆和創造能力」；最重要的是，他們仍然保有彼此：因為數學太過艱澀，不適用於宣傳，所以數學家這個群體僥倖逃過前幾波整肅行動。然而，在史達林統治近四十年的期間，沒有任何領域艱澀到無法摧毀。當時若不是發生二十世紀歷史上的轉捩點，數學恐怕也難逃被毀的命運，但是在關鍵時刻，數學離開了抽象交流的範疇，突然具有不可或缺的地位。這最終拯救了前蘇聯的數學家和數學的大事，就是二次世界大戰，以及其後的軍備競賽。

二次大戰後，蘇聯大量投資發展高科技軍事研究，興建超過四十座城市，供科學家和數學家祕密工作。這次動員的迫切性的確讓人想到曼哈頓計畫，只不過它的規模大得多，為時也久得多。對於二十世紀下半葉參與蘇聯軍武工作的人數，估計值向來不準，但是據稱高達一千兩百萬人，其中有數百萬是受雇於軍事研究機構。在其後的許多年間，剛畢業的年輕數學家或物理學家比較可能被分派到國防相關研究工作，而不是民間機構。這些工作意味著在科學上必須保持幾近孤立的狀態：對國防雇員來說，無論他們在實際上是否會接觸到敏感的軍事資訊，都必須接受安全調查，而任何與外國人的接觸不僅會引起懷疑，也會被視為叛國。此外，有些研究工作必須搬到研究城鎮，那裡提供舒適的社會環境，可以潛心研究，但無法跟外面的智識界聯絡。在無法持續進行數學交流的情況下，數學家的紙筆可能也成了無用的工具。於是蘇聯就這麼明目張膽地，設法把一些最優秀的數學人才藏了起來。

一九五三年史達林過世後，蘇聯對於它跟世界其他國家的關係採取不同的態度：現在蘇聯不僅要令其他國家感到畏懼，也要贏得它們的尊敬。蘇聯開始利用大多數數學家來建造原子彈和火箭，並用精挑細選出來的少數精英來建立威信。一九五○年代末，鐵幕緩緩地開始裂開一條細縫，雖然還不足以讓蘇聯與其他國家的數學家進行亟需的交流，但已經足以讓蘇聯數學家展現一些他們最引以為傲的成就。

到了一九七○年代，一個蘇聯數學機構開始成立。它就像一個極權制度內的極權制度，不僅提供成員工作和金錢，也提供公寓、食物和交通工具；它決定他們居住的地方，以及工作或娛樂的時間、地點和方式。對於這個圈子的人來說，它就像一個控制力強、嚴格但照顧妥善的母親：所有孩子都能獲得良好的營養與培育，跟這個國家其他人相比，這群人無疑享有特權。在基本物資稀少的時期，官方的數學家和其他科學家可以在特別指定的商店購物，比起開放給一般民眾的商店，這些商家一般存貨較多，較不擁擠。在蘇聯統治的大多數時期，沒有所謂的私人公寓，一般的蘇聯公民只能接受國家分配的住所；科學機構的成員是由機構分配公寓，這些公寓一般較大，地點較好。最後，數學機構的成員還享有到國外旅行的特權，那是一般蘇聯人民鮮少能獲得的特權之一。一位數學家是否能接受到學術會議演講的邀請，陪同旅行的人員，旅行持續時間，許多時候甚至連住宿地點，都必須由科學院來決定，並由黨及國家的安全機構負責監視。例如一九七○年，第一位贏得費爾茲獎的蘇聯數學家諾維科夫（Sergei Novikov）因為沒有獲得准許，所以不能前往尼斯領獎。一年後，國際數學聯盟（International Mathematical Union）在莫斯科召開大會，他才到場領獎。

而當時有些人幾乎永遠不可能加入數學機構：猶太人、女人、大學時指導教授不恰當的人，以及不願強迫自己入黨的人。「有些人知道自己永遠不可能進入科學院，他們最大的希望就是能在明斯克（Minsk）的某個研究所，為自己的博士論文進行答辯，但這還要他們在那裡有可靠的關係才行。」美國數學學會出版人蓋爾范德說道，他的父親伊斯拉埃爾．蓋爾范德（Israel Gelfand）是二十世紀俄羅斯頂尖的數學家，師從柯莫哥洛夫。

表面上，這些與傳統數學文化格格不入的人，一般做的是輕鬆低薪的工作，跟蘇聯最出名的勞工公式相呼應：「我們假裝工作，他們假裝付我們錢。」這些數學家的薪水微薄，而且一輩子只會增加少許，但這已經足以應付生活所需，讓他們能把時間用於真正的研究。「當時根本不必為了獲得永久任職權，或為了能更快寫好論文，而只專注在某個狹小的領域。」蓋爾范德說：「數學幾乎是一種興趣，所以你可以把時間拿來研究在最近十年中對任何人都不會有用的主題。」數學家稱之為「為數學而數學」，刻意把自己和藝術家做類似的比較，因為藝術家以為藝術而辛苦著稱。在這樣的情況下做研究，沒有實質報酬可言：永久職位、金錢、公寓、到國外旅行等等都付之闕如；他們做卓越研究所能獲得的，只有同事的尊敬。反之，如果他們不公平競爭的話，除了沒有實質報酬，更可能失去同事的尊敬。換句話說，蘇聯的這種另類數學圈在真實世界中可說是獨一無二：它是一個全憑實力的世界，智識成就是唯一的報酬。

在下班後舉行的講座和座談會中，數學交流再度在蘇聯重生，對於尋求挑戰、邏輯與一致性的心智來說，數學的魅力也再度顯現。「在後史達林時代的蘇聯，對於思想自由的智識分子來說，這是追求自我實現最自然的方式之一。」知名莫斯科數學家夏巴特（Grigory Shabat）說：「如果我能自由選擇職業，我會想成為文學評論家。但我想工作，不想把一生花在對抗出版物審查員上。」數學承諾一個人不僅能在不受國家干預（也沒有國家支持）下從事智識工作，也能找到在前蘇聯社會其他地方找不到的事物：可知的單一真理。「數學家在智識上特別誠實。」夏巴特繼續說道：「如果兩個數學家做出互相矛盾的聲明，那麼其中一個是對的，另一個是錯的。他們絕對會理清這一點，而錯的一方肯定會承認自己的錯誤。」搜尋真理可能耗時經年，但在前蘇聯時代，時間是靜止的，這意味著另類數學圈的人需要多少時間都可以。