數值計算方法（簡體書）

《數值計算方法》闡述數值計算的基本理論和常用方法，包括：誤差分析與算法設計、非線性方程的數值解法、線性方程組的直接法與迭代法、插值法與最小二乘擬合法、數值積分與數值微分、常微分方程的數值解法、矩陣特征值與特征向量的計算等，并在附錄中介紹了數值實驗報告的基本格式和matlab軟件的基本使用方法，《普通高等院校“十二五”規劃教材：數值計算方法》建議學時為54學時，其中含數值實驗12學時、書中含有較豐富的例題、習題和數值實驗題，給出了典型算法的偽代碼描述及matlab軟件提供的相應函數，并編寫出版了與《普通高等院校“十二五”規劃教材：數值計算方法》配套的復習與實驗指導教材。
《數值計算方法》以實際應用為目的，選材恰當，體系完整，強調數值算法的設計方法和編程實現技能，可作為普通本科院校信息與計算科學、數學與應用數學、統計學、軟件工程、計算機科學與技術等專業本科生學習數值分析或計算方法課程的教材，也可作為其他理工科專業本科生和研究生的參考教材。

《數值計算方法》是普通高等院校“十二五”規劃教材之一。

第1章 數值計算方法概論
1.1 數值計算方法的基本內容與特點
1.2 誤差的基本理論
1.2.1 誤差來源
1.2.2 絕對誤差與相對誤差
1.3 數值算法設計的原則
本章小結
習題1

第2章 非線性方程的數值解法
2.1 對分區間法
2.2 簡單迭代法
2.2.1 簡單迭代法
2.2.2 簡單迭代法的收斂性定理
2.2.3 局部收斂性
2.2.4 收斂速度與收斂的階
2.3 加速收斂迭代法
2.3.1 aitken加速迭代法
2.3.2 steffensen迭代法
2.4 newton迭代法
2.4.1 newton迭代法
2.4.2 newton下山法
2.5 正割法
本章小結
實驗1 非線性方程的迭代法
習題2

第3章 解線性方程組的直接法
3.1 gauss列主元消去法
3.1.1 gauss消去法
3.1.2 gauss列主元消去法
3.2 lu分解法
3.2.1 doolittle分解法
3.2.2 crout分解法
3.2.3 cholesky分解法
3.3 三對角方程組的追趕法
本章小結
實驗2 Gauss列元消去法
實驗3 三對角方程組的追趕法
習題3

第4章 線性方程組的迭代法
4.1 向量范數與矩陣范數
4.1.1 向量的范數
4.1.2 矩陣的范數
4.1.3 矩陣譜半徑
4.2 jacobi迭代法
4.3 gauss-seidel迭代法
4.4 迭代法的收斂性
4.5 逐次超松弛迭代法
本章小結
實驗4 逐次超松弛迭代法
習題4

第5章 插值法與最小二乘擬合法
5.1 代數插值法及其唯一性
5.1.1 插值多項式及其唯一性
5.1.2 插值余項
5.1.3 代數插值的幾何意義
5.2 lagrange插值法
5.3 newton插值法
5.3.1 差商及其性質
5.3.2 newton插值多項式
5.4 hermite插值法
5.4.1 hermite插值多項式
5.4.2 三次hermite插值
5.4.3 matlab中的插值函數
5.5 三次樣條插值法
5.5.1 背景
5.5.2 三次樣條插值的概念
5.5.3 三彎矩法
5.5.4 matlab中的三次樣條函數
5.6 最小二乘擬合法
5.6.1 基本概念
5.6.2 直線擬合的最小二乘法
5.6.3 多項式擬合的最小二乘法
本章小結
實驗5 lagrange插值法與最小二乘擬合法
習題5

第6章 數值積分與數值微分
6.1 插值型求積公式
6.1.1 插值型求積公式的構造
6.1.2 插值型求積公式的余項
6.1.3 求積公式的代數精度
6.2 三個常用的求積公式及其誤差
6.2.1 梯形公式
6.2.2 simpson公式
6.2.3 cotes公式
6.3 復化求積公式
6.3.1 復化梯形公式
6.3.2 復化simpson公式
6.3.3 復化cotes公式
6.3.4 算法實現
6.4 romberg求積公式
6.4.1 變步長求積公式
6.4.2 romberg求積公式
6.4.3 算法實現
6.5 gauss求積公式
6.5.1 gauss公式的定義
6.5.2 gauss點的性質
6.5.3 gauss公式的構造
6.6 數值微分法
本章小結
實驗6 復化求積法
習題6

第7章 常微分方程的數值解法
7.1 euler方法
7.1.1 euler方法
7.1.2 改進的euler公式（預測一校正法）
7.1.3 局部截斷誤差與方法的階
7.2 高階taylor方法
7.3 runge-kutta法
7.3.1 2階r-k公式
7.3.2 3階／4階r-k公式
7.3.3 matlab中用r-k解常微分方程的函數
本章小結
實驗7 euler方法與r-k法
習題7

第8章 矩陣的特征值與特征向量的計算
8.1 乘冪法與反冪法
8.1.1 計算模最大特征值的乘冪法
8.1.2 算法實現
8.1.3 反冪法
8.2 qr方法
8.2.1 鏡像矩陣
8.2.2 矩陣的qr分解
8.2.3 qr方法
本章小結
實驗8 求矩陣特征值的反冪法
習題8

附錄A 數值實驗報告的基本格式
附錄B matlab簡介
B.1 基本運算
B.2 繪圖功能
B.3 編程入門
參考文獻

在求解科學與工程計算問題時，不同的算法適合不同的問題，需要根據問題的性質設計有針對性的算法。此外，還應該根據問題的特點，研究適合在計算機上使用、滿足精度要求和節省計算時間的有效算法，在實現算法時還應該根據計算機容量、字長、速度等指標，研究具體求解步驟和程序設計技巧。有些方法在理論上可能不夠嚴謹，但通過實際計算和對比分析等手段，驗證是行之有效的方法，也應該采用（例如本章例1-7）。數值計算方法具有如下特點：
（1）提供面向計算機、理論可靠、計算復雜性好的數值算法數值分析的核心內容是研究應用計算機求解數學問題的各種數值計算方法，并對每個算法進行相關的理論分析。對近似算法要保證收斂性和數值穩定性，并對誤差進行分析，對逼近問題要保證達到要求的精度。此外還必須保證提供的算法在計算機上能切實可行，這包括要求算法有好的時間復雜性和空間復雜性。
（2）強調完成從理論到實踐的全過程
數值分析是一門實踐性很強的數學課程，每個算法除了理論上要正確可行外，還要通過數值試驗證明是行之有效的。讀者學完每個算法後都應該以解決實際問題為目的，通過編程或借助成熟的數學軟件完成數值計算的訓練，不僅要學會“怎樣算”，而且必須做到“真會算”，即不僅要知道問題的解是存在的，還必須求出具體的結果。
（3）計算公式冗長且難以熟記
數值計算方法處理問題主要采用如下方法：?“構造性”方法。許多問題的存在性證明都通過把問題的計算公式具體構造出來完成，不但證明了問題的存在性，同時還提供了具體的計算公式；?“離散化”方法。把求解連續變量的數學問題轉化為求解離散變量的問題。如把常微分方程離散成為差分方程等；?“遞推化”方法。將一個復雜的計算過程歸結為簡單計算過程的多次重復，以便編寫計算機程序計算；?“近似替代”方法。由于計算機必須在有限次運算後停止，所以數值方法常表現為一個無窮過程的截斷，把一個無限過程的數學問題，轉化為滿足一定精度要求的有限步運算來近似替代。這些基本特點使得數值分析課程中出現的計算公式多且繁雜，不易熟記。
根據上述特點，學習過程中讀者，第一，要注意復習微積分、線性代數、常微分方程和高級語言程序設計方法等課程的內容，這是學習本課程的基礎；第二，要理解方法的基本原理和思想，掌握方法處理的技巧，并注意與計算機的結合；第三，要獨立完成一定數量的習題，復習和鞏固所學內容；第四，一定要認真做好數值實驗，通過編程與調試實現算法，培養和提高自己分析問題和解決問題的能力。