經濟應用數學基礎：微積分（簡體書）

本書共8章，分別介紹了函數、極限與連續，導數與微分，導數的應用，不定積分，定積分及其應用，常微分方程，多元函數微積分，無窮級數等內容。附錄給出了常用積分表。

《普通高等教育"十二五"規劃教材:經濟應用數學基礎:微積分》結構合理、語言簡潔、詳略得當，既可作為高等院校高等數學課程教材，也可作為讀者學習高等數學的參考用書。

第1章 函數、極限與連續性
1.1初等函數回顧
1.1.1函數的概念
1.1.2函數的幾種特性
1.1.3初等函數
1.1.4反函數和復合函數
習題1.1
1.2極限的概念
1.2.1數列的極限
1.2.2函數的極限
習題1.2
1.3極限的運演算法則
1.3.1極限的四則運演算法則
1.3.2復合函數的極限法則
1.3.3函數極限的性質
1.3.4兩個重要準則
習題1.3
1.4兩個重要極限
1.4.1第一個重要極限
1.4.2第二個重要極限
習題1.4
1.5無窮小與無窮大
1.5.1無窮小
1.5.2無窮大
1.5.3無窮大與無窮小的關系
1.5.4無窮小的比較
習題1.5
1.6函數的連續性
1.6.1函數的連續性
1.6.2函數的間斷點及其分類
習題1.6
1.7連續函數的四則運算與初等函數的連續性
1.7.1連續函數的四則運算
1.7.2復合函數的連續性
1.7.3初等函數的連續性
1.7.4閉區間上連續函數的性質
習題1.7
復習題一
第2章導數與微分
2.1導數的概念
2.1.1導數的定義
2.1.2導數的幾何意義
2.1.3可導與連續的關系
習題2.1
2.2導數的計算
2.2.1導數的基本公式
2.2.2導數的四則運算
2.2.3復合函數的導數
2.2.4幾個求導方法
2.2.5高階導數及其計算
習題2.2
2.3函數的微分
2.3.1微分的概念
2.3.2微分的幾何意義
2.3.3微分運演算法則
2.3.4近似計算
習題2.3
復習題二
第3章導數的應用
3.1中值定理
3.1.1 羅爾定理
3.1.2拉格朗日中值定理
習題3.1
3.2洛必達法則
3.2.1洛必達法則Ⅰ：（0/0型）
3.2.2洛必達法則Ⅱ：（∞/∞型）
習題3.2
3.3函數的單調性、極值與最值
3.3.1函數單調性的判別方法
3.3.2函數的極值
3.3.3函數的最大值與最小值
習題3.3
3.4函數的凹凸性與作圖
3.4.1 函數的凹凸性與拐點
3.4.2漸近線
3.4.3作初等函數的圖形
習題3.4
3.5變化率及相對變化率在經濟中的應用——邊際分析與彈性分析介紹
3.5.1 函數變化率——邊際函數
3.5.2成本
3.5.3 收益
3.5.4函數的相對變化率——函數的彈性
3.5.5需求函數與供給函數
3.5.6需求彈性與供給彈性
3.5.7用需求彈性分析總收益（或市場銷售總額）的變化
復習題三
第4章不定積分
4.1不定積分的概念
4.1.1原函數與不定積分的概念
4.1.2不定積分的性質
4.1.3不定積分的幾何意義
4.1.4基本積分表
習題4.1
4.2湊微分法
4.2.1湊微分法的概念
4.2.2湊微分法舉例
習題4.2
4.3變量代換法
4.3.1變量代換法的概念
4.3.2三角代換
4.3.3雙曲代換
4.3.4倒代換
4.3.5有理代換
習題4.3
4.4分部積分法
4.4.1分部積分公式
4.4.2被積函數為多項式與指數函數、三角函數乘積的情形
4.4.3被積函數為多項式與對數函數、反三角函數之積的情形
4.4.4形如∫eαxsinβxdx，∫eαxcosβxdx的積分
4.4.5被積函數由某些復合函數構成的情形
習題4.4
4.5其他積分方法
4.5.1簡單有理分式函數的積分
4.5.2三角函數有理式的積分
4.5.3無理函數的積分
習題4.5
復習題四
第5章定積分及其應用
5.1定積分的概念與性質
5.1.1定積分的概念
5.1.2定積分的幾何意義
5.1.3定積分的性質
習題5.1
5.2微積分基本定理
5.2.1原函數存在定理
5.2.2微積分基本定理（牛頓—萊布尼茨公式）
習題5.2
5.3定積分的換元積分法與分部積分法
5.3.1湊微分法
5.3.2變量代換法
5.3.3分部積分法
5.3.4三角函數積分
習題5.3
5.4廣義積分
5.4.1無窮區間上的廣義積分
5.4.2無界函數的廣義積分
習題5.4
5.5定積分在幾何上的應用
5.5.1平面圖形的面積
5.5.2旋轉體的體積
5.5.3曲線的弧長
習題5.5
5.6積分方程模型
復習題五
第6章常微分方程
6.1常微分方程的基本概念
6.1.1定義
6.1.2可分離變量的微分方程
6.1.3一階齊次微分方程
6.1.4高階微分方程
習題6.1
6.2一階線性微分方程
6.2.1一階線性微分方程與常數變易法
6.2.2一階線性微分方程求解舉例
6.2.3全微分方程
6.2.4利用伯努利方程求解
習題6.2
6.3可降階的二階微分方程
6.3.1 y"=f（x，y'）型
6.3.2 y"=f（y，y'）型
習題6.3
6.4二階常系數線性微分方程
6.4.1二階常系數線性微分方程解的性質及通解結構
6.4.2二階常系數齊次線性微分方程的解法
6.4.3二階常系數非齊次線性微分方程的解法
習題6.4
6.5常微分方程與數學建模
6.5.1數學建模簡介
6.5.2經濟模型舉例
習題6.5
復習題六
第7章多元函數微積分
7.1多元函數的基本概念
7.1.1多元函數的概念
7.1.2二元函數的極限
7.1.3二元函數的連續性
7.1.4二元連續函數在有界閉區域上的性質
習題7.1
7.2偏導數
7.2.1偏導數概念與計算
7.2.2高階偏導數
習題7.2
7.3全微分
7.3.1全微分的定義
7.3.2全微分在近似計算方面的應用
習題7.3
7.4多元復合函數與隱函數的求導
7.4.1復合函數的求導法則
7.4.2隱函數的求導公式
習題7.4
7.5多元函數的極值和最值
7.5.1二元函數的極值
7.5.2多元函數的最值
7.5.3二元函數的條件極值
習題7.5
7.6二重積分的概念與性質
……
第8章 無窮級數

7.5 多元函數的極值和最值
【本節導引】
在求一元函數的最值問題時，往往是利用其一階導數求得一元函數的極值，再進一步求得最大、最小值，在許多實際問題中，通常需要解決多元函數的最值問題。例如，要設計一個容量為V的長方體無蓋水箱，問水箱的長、寬、高各等於多少時，其表面積最小？這是三元函數的最小值問題。解決這類問題時，是否可以與一元函數類似，先利用偏導數求得多元函數的局部極值，再進一步求得最大、最小值？本節著重討論二元函數的情形。
7.5.1二元函數的極值
1.二元函數的極值定義
定義7.5.1 設z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某一鄰域內有定義，若對於該鄰域內任一異於P0的點P（x，y）都有f（x，y）f（x0，y0）），則稱函數z=f（x，y）在點P0取得極大（或極小）值，點P0稱為z=f（x，y）的極大（或極小）值點。極大值和極小值統稱為極值；極大值點和極小值點統稱為極值點。
因為極大值、極小值f（x0，y0）是與某個鄰域內的函數值相較而言，因此精確地說，只是局部極值。為此也稱極大值為峰值，極小值為穀值。
對一般的函數，判定極值的存在與否就不那麼直觀了。與一元函數類似，可以應用偏導數來研究二元函數取得極值的必要條件和充分條件。
2.極值存在的必要條件
假設函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）取得極值，則當固定y=y0時，一元函數f（x，y0）必定在x=x0處取得極值，據一元函數極值存在的必要條件，應有，fx（x0，y0）=0；同理，一元函數f（x0，y）在y=y0處取得極值，應有fy（x0，y0）=0。
7.5.2 多元函數的最值
本章第一節中已指出，如果函數x=f（x，y）在有界閉區域D上連續，則函數在D上一定存在最大值和最小值。函數最大（小）值的求法與一元函數最值的求法類似，考察函數z=f（x，y）的所有駐點、一階偏導數不存在的點以及邊界上的點的函數值。比較這些值，其中最大者（或最小者）即為函數在D上的最大（小）值。但是這遠比一元函數復雜，首先二元函數的駐點可能有無限個，其次二元函數的邊界通常是曲線，邊界點也是無限個，比較無限個函數值，從中找出最值，常常還要再次解決求極值問題。
在實際中，如果根據問題的實際意義，知道函數在區域D內存在最大值（或最小值），又知函數在D內可微，且只有唯一的駐點，則該點處的函數值就是所求的最大值（或最小值），不必再花費時間去驗證了。