帶有臨界指數的二階橢圓型方程（簡體書）

《帶有臨界指數的二階橢圓型方程》系統地介紹了帶有臨界指數的二階橢圓型方程的基本理論和基本方法。這類方程主要來源於物理學、幾何學以及泛函分析理論的研究中。研究內容主要包括極小能量正解、變號解、無窮多解以及漸近行為等；所用方法主要是大範圍變分法中的山路定理和環繞定理。·

韓丕功、劉朝霞編寫的《帶有臨界指數的二階橢圓型方程》共分6章。第1章介紹一些基本的不等式、Sobolev空間的基礎知識和臨界點理論中的一些基本定理。第2章主要考慮臨界增長的半線性橢圓問題，給出了極小能量正解的存在性。第3章主要介紹兩類幾乎臨界增長的橢圓方程正解的漸近行為，并且給出了爆破速率和爆破點的位置。第4章研究了一類典型的帶臨界Sobolev指數和強奇異項的半線性橢圓方程的第一邊值問題，建立了非平凡解的存在性。第5章考慮一類典型的具有臨界增長的Hamilton型橢圓方程組，利用對偶變分泛函和山路定理，證明了非平凡解的存在性。第6章研究具有臨界增長的位勢型橢圓方程組，證明了Brezis-Nirenberg型的結果。
本書作為具有臨界增長的現代橢圓方程理論的入門書，適宜作為數學及相關專業人員的閱讀材料和研究生學習的教材，也可作為高年級研究生和青年教師進行深入研究的參考書。

前言符號表第1章 預備知識1.1 常用不等式和Sobolev空間理論1.1.1 幾個常用不等式1.1.2 Sobolev空間理論1.1.3 臨界點理論1.1.4 符號和定義1.2 結構安排習題一第2章 橢圓型方程的第一邊值問題2.1 極小能量正解的存在性2.2 極小能量解的證明2.3 Palais-Smale序列的全域表示2.4 變號解的存在性2.5 無窮多解的存在性2.6 第二邊值問題2.6.1 一般性存在定理2.6.2 非常數解的存在性習題二第3章 幾乎臨界增長的橢圓方程3.1 解的漸近行為3.2 主要結果的證明習題三第4章 帶強奇異性的臨界橢圓方程4.1 特徵函數在奇異點處的漸近行為4.2 Ferrero和Gazzola公開問題的解決4.3 橢圓問題解的奇性階數估計習題四第5章 具有強不確定性結構的臨界橢圓方程組5.1 預備知識和主要結果5.2 極小能量解的存在性5.3 一些公開問題習題五第6章 位勢型臨界橢圓方程組6.1 Brezis-Nirenberg型的結果6.2 一些非存在性結果習題六參考文獻·

第1章預備知識
作為全書的預備知識,本章主要介紹一些Sobolev空間的基本理論和臨界點理論中的一些常用定理.為了緊縮篇幅,這些結果都沒有給出證明,但將指出有詳細證明的參考文獻.我們假定讀者了解實變函數理論和泛函分析的基本知識.某些需要用到的結果將在各章適當的地方加以介紹.
1.1常用不等式和Sobolev空間理論
本節介紹偏微分方程理論中一些常用的不等式,Sobolev空間的基本知識和臨界點理論中的一些常用結果。如果存在有限錐V,使得每一點x∈Ω是包含于Ω內且全等于V的有限錐Vx的頂點.則稱區域Ω具有錐性質.
1.1.3臨界點理論
本節不加證明地給出臨界點理論中的一些基礎知識,主要是山路定理和環繞定理,這兩個定理在本書中是研究橢圓方程的基礎.令.是定義在Banach空間X上的泛函,u∈U,其中U是X中的開子集.如果存在f∈X.(X的對偶空間),使得對任意的h∈X。
1.1.4符號和定義
為了對本書中的結果進行準確的說明,這里引進一些符號和定義.我們始終定義2.=N.2(N.3)是臨界Sobolev指標;用C(有時也用C1,C2,???)表示正常數,它們在不同的地方可以不同;O(t)和o(t)分別表示|O(t)|.Ct和o(tt).→0。
1.2結構安排
近幾十年來,對半線性橢圓方程和方程組的研究日益受到重視,這是因為一方面這些方程(組)所涉及的大量問題來源于物理學、化學和生物學中的眾多數學模型,因而有強烈的實際應用背景.另一方面,在對這些問題的研究中,對數學本身也提出了許多挑戰性的問題,從而引起愈來愈多的數學家、物理學家、生物學家等的關注.本書共分6章,第2章主要考慮如下形式的半線性橢圓問題:這里f(x,u)滿足某些特殊的假設條件,Ω.RN(N.3)是光滑區域.
長期以來,問題(1.2.1)一直受到人們的廣泛關注,其原因是許多數學物理問題,如源于非線性源的非線性擴散理論(參見文獻[36]),熱力學中的氣體燃燒理論(參見文獻[19,44]),量子場論和統計力學(參見文獻[5,14,49])以及星系的重力平衡理論(參見文獻[44])等都與方程(1.2.1)有著極大的淵源.而且,數學內部的許多分支,如幾何中的Yamabe問題(參見文獻[6])和等周不等式(參見文獻[43])、調和分析中的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式(參見文獻[35])以及人口動力系統(參見文獻[17])等問題都與方程(1.2.1)有著深刻的聯系.
對于方程(1.2.1)的研究,重點之一是在Sobolev空間H01(Ω)中建立正解及多解的存在性.其研究方法主要是非線性分析中的度理論(參見文獻[36])和變分理論(參見文獻[3,47,50]),而且變分理論被越來越多的實例證明是一種最為有力的工具之一[17].其具體過程為,當f(x,u)對(x,u)滿足連續性條件,對u滿足某些增長性條件,即當|u|→+∞時。