《科學美國人》趣味數學集錦：迷宮與幻方（簡體書）

三顆碩大的骰子從一個波紋斜面上滾落到下面的平面。櫃檯上標著從1至6的巨大白色數字。參與的人願意在哪個數字上押多少錢都行。骰子滾落以後，如果他押錢的數字出現在一顆骰子上，他就可以拿回賭注再加上與賭注同樣多的錢。如果這個數字出現在兩顆骰子上，他不但拿回賭注，還可另得兩倍賭注的錢。如果三顆骰子上都是這個數字，他拿回賭注外，還可另得三倍賭注的錢。從長遠來看，每押一元錢，能期望得到多少？《迷宮與幻方》一書為我們講解的就是此類趣味數學知識，主要供青少年閱讀。·

劉漫萍，女，南京農業大學昆蟲專業理學碩士，就職于上海科技館收藏研究，部，鳴蟲課題組成員。多年來一直從事上海城市環境與生物多樣性的調查工作，以及與昆蟲、蜘蛛、蟎類等節肢動物相關的科普工作，曾在國內核心期刊上發表學術論文五篇，撰寫科普圖書《走近蜘蛛》。白玲：女，上海海事大學畢業，就職於上海科技館收藏研究部，從事藏品信息化和收藏管理工作多年，參與鳴蟲野外生境調查工作，以及展覽、科普夏令營等多項科普教育工作，曾負責上海自然博物館展廳觸摸屏多媒體內容的策劃製作。·

《迷宮與幻方》一書從馬丁·加德納為《科學美國人》雜志撰寫的專欄文章中精選而成。這些文章均系趣味數學問題，內容涉及：五種柏拉圖多面體，變臉四邊形折紙，數碼根，索瑪立方塊，φ黃金分割比，依洛西斯歸納游戲等。主要供青少年閱讀。

本書原名為The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Games，是馬丁·加德納在《科學美國人》雜志上發表的“數學游戲”專欄文章的第二本集子。作者引用大量翔實的資料，將知識性和趣味性融為一體，大多以娛樂和游戲為線索，以嚴密的科學思維和推理為基礎，引導、啟迪讀者去思考和重新思考。作者對傳統數學中那些似乎高深莫測的難題給予了簡單得令人難以置信的解答，對魔術戲法進行了深入淺出的分析，對賭場上的鬼把戲做了科學的剖析和透視……既有娛樂功能，又有教育功能。
本書的出版可謂好事多磨。十多年前我在北京大學，與潘濤兄同住現已不復存在的39樓。潘兄師從何祚庥教授，研讀的外文書大都是有關偽科學(pseudo-science)和靈學(parapsychology)的。隔行如隔山，茶余飯后閱讀《中華讀書報》是我們唯一的共同興趣，很快幾年時間就過去了。北大百年校慶后不久。潘博士決定去上海科技教育出版社發展。我這才想起該社曾出版過馬丁·加德納的書。潘兄顯然沒料到英語語言文學系會有人知道這位數學大師。當我把自己曾翻譯過加德納的趣味數學以及好幾家出版社因無法解決版權問題而一直擱淺的故事講給他，并從我書架底層塵封的文件袋里翻出手稿時，我們兩人都“相見恨晚”。
本書稿的“起死回生”，偶然中有必然。后來，潘博士從上海科技教育出版社版權部來電說，版權問題需要等機會。我也漸漸把書稿放到了腦后，一心忙自己的正業——“毀”人不倦。直到前些時候潘博士電告，版權終于解決。雖屬意料之中，但仍不由得感到驚喜。
再看十多年前為中譯本寫的《譯者前言》，深感“此一時，彼一時”。雖說在汗牛充棟的趣味數學讀物中，馬丁·加德納淵博的學識、獨到的見解、傳奇般的經歷、驚人的洞察力和獨樹一幟的講解與敘事風格值得大力推介，但在已出版了“加德納趣味數學系列”的上海科技教育出版社出版該書，則無需再介紹這位趣味數學大師了。因此，原來那份為之感到有些得意的《譯者前言》只好自動進入垃圾箱。
本書稿能最終面世，我要衷心感謝潘濤博士和上海科技教育出版社。這也算是繼我和同事合作翻譯《美國在線》之后我與上海科技教育出版社的又一次合作。特別要感謝本書責任編輯盧源先生為此付出的辛勞。
由于譯者知識水平有限，譯文中謬誤之處在所難免，請廣大讀者不吝指正。
封宗信
2007年夏清華園

中譯本前言序言第1章 五種柏拉圖多面體第2章 變臉四邊形折紙第3章 亨利·杜德尼：偉大的英國趣味數學家第4章 數碼根第5章 九個問題第6章 索瑪立方塊第7章 趣味拓撲第8章 φ黃金分割比第9章 猴子與椰子第10章 迷宮第11章 趣味邏輯第12章 幻方第13章 詹姆斯·休·賴利演出公司第14章 又是九個問題第15章 依洛西斯歸納遊戲第16章 折紙藝術第17章 化方為方第18章 器具型趣題第19章 概率與歧義第20章 神秘的矩陣博士進階讀物附記·

詹姆斯·休·賴利演出公司是美國最大的巡回游樂團之一，雖然它并不存在。當聽說該團已在城郊開演時，我便驅車前去那里看望我的老朋友吉姆·賴利(Jim Riley)，20多年前我們是芝加哥大學的同學。當時他在修數學研究生課程，可是某一年夏季他參加了一個巡回游樂團，在女子色相表演節目里擔當講解員。據游樂團成員說，在以后數年里，他一直樂于此道。那里的每個人都只叫他教授。而不知他姓甚名誰。不知什么原因，他對數學的熱情沒有減退，因而我們每次相會時，總能指望從他那里學到些不尋常的數學知識。
我找到教授時，他正在畸形動物展覽前和收票員閑聊。他戴著一頂白色斯泰森氈帽，看起來要比我上次見到他時更老也更富態些。“每月都拜讀你的專欄，”我們握手時他說道。“想沒想過寫一寫小圓蓋大圓游戲？”
“說什么來著？”我問道。
“它是這里最古老的游戲之一。”他抓著我的胳膊，推著我在游藝場里走，直到走到了一個展位前。那里有個柜臺，上面涂著一個直徑為1碼的紅色圓點。游戲目標是要把五個金屬圓盤一次一個地放在圓點上，最后完全蓋嚴它。每個圓盤的直徑都是大約22英寸，一旦把圓盤放下，就不能再挪動。如果把第五個放下后，還沒有把紅點全部蓋住，哪怕只露出一丁點兒，也要算輸。
“當然，”教授說，“我們采用的圓點是圓盤能蓋住的最大的一個。多數人認為應該這樣來放。”他把圓盤對稱地排放起來，如圖13.1所示。每個圓盤的邊都碰到圓點的中心，五個圓盤的中心構成了正五邊形的角。圓點邊緣有五個小小的紅色區域還露在外面。
“遺憾的是，”賴利接著說，“這樣并不行。要蓋住一個最大的圓，圓盤應這樣排放。”他用指頭推動圓盤，直到出現圖13.2所示的形狀。他解釋道，1號圓盤的中心應放在直徑AD上，其圓周與直徑交于C點，這個點稍低于紅圓點的圓心B。3號和4號圓盤的圓周應經過C點和D點。2號和5號圓盤如圖所示把剩余的部分蓋住。
自然而然我想知道BC的長度是多少。賴利記不起準確的數字，可他后來寄給我一篇內維爾(Eric H.Neville)寫的參考文章：“論數值函數方程的解法——對一個流行游戲及其解答所做的說明”(《倫敦數學學會公報》(Proceedings of the London Mathematical Society)第二輯，第14卷，第308—326頁；1915年)，其中有這道難題的詳細解答。如果圓點的半徑是1，那么BC的長度是0.0285略大一點，圓盤的最小可能半徑為0.609+。如果圓盤按圖13.1排放，其半徑就必須是0.618 033 9+，才能把圓點完全蓋住。(這個數字是第8章討論的黃金分割比φ的倒數。)此題的一個奇怪的特點是：兩種不同的圓盤排放方法所蓋住的面積差異十分小。除非圓點的直徑大到約1碼，要不然其差別難以覺察。
我說：“這使我想起一個仍未解開的有趣問題——一個最小面積問題。把一塊區域的直徑定義為聯結區域上任意兩點的最長線段。那么請問：能蓋住單位直徑的任何區域的最小平面圖形狀是什么？面積多大？”
教授點了點頭說：“符合這個條件的最小正多邊形是邊長為1/根號3的正六邊形。不過大約30年前有人對此作了改進，把兩個角切掉了。”他從上衣口袋里掏出一支鉛筆和一個拍紙簿畫出了這個圖形(復制在圖13.3里)。這兩個角是沿著(直徑為一個單位的)內接圓的切線切掉的，并且切線垂直于圓心與角的連線。
“這是迄今為止的最佳解答嗎？”我問道。
賴利搖頭說：“我聽說幾年前伊利諾斯大學的某個人又去掉了一小塊，但詳細情況就不知道了。”
我們在游藝場里信步走著，來到了另一個展位前。那里有三顆碩大的骰子從一個波紋斜面上滾落到下面的平面。柜臺上標著從1至6的巨大白色數字。參與的人愿意在哪個數字上押多少錢都行。骰子滾落以后，如果他押錢的數字出現在一顆骰子上，他就可以拿回賭注再加上與賭注同樣多的錢。如果這個數字出現在兩顆骰子上，他不但拿回賭注，還可另得兩倍賭注的錢。如果三顆骰子上都是這個數字，他拿回賭注外，還可另得三倍賭注的錢。當然如果賭的數字不出現。賭注就輸掉了。
“這個游戲怎么賺錢呢？”我問道。“一顆骰子出現某個數字的概率是÷，那么三顆骰子最少出現一次這個數的概率是3/6，即1/2。如果他賭的數字出現在不止一顆骰子上，他贏的倒比他押的錢還多。在我看來這個規則有利于參與者。”
教授聽罷輕聲笑起來。“我們就是要那幫糊涂蛋(mark，游樂團俚語，指容易受騙的人)這么算。你再想想看。”我后來認真考慮這個問題時，大吃一驚。也許有些讀者愿意算算，從長遠來看，他們每押一元錢，能期望得到多少。
我離開那里之前，賴利帶我去了一個他稱之為“特色小吃攤”的地方吃點東西。咖啡很快上來了，可我想等三明治上來后再用。
“你要想讓咖啡保持燙燙的，”教授說，“最好現在就把奶油倒進去。咖啡越燙，熱量損失的速度越快。”
我順從地把奶油倒進咖啡里。
教授的從正中間一切為二的火腿三明治上來后，他盯著它看了一會兒說：“你是否碰巧看到過圖基和斯通寫的那篇推廣的火腿三明治定理的論文？”
“你指的是共同發現那些變臉折紙的圖基和斯通嗎？”
“正是。”
我搖頭說道：“我對此一點情況也不了解。”
賴利又拿出他的拍紙簿，在上面畫了一條線段。“任何一維圖形可以用一個點等分，對嗎？”我點了點頭。這時他又畫了兩個不規則閉曲線和一條切割這兩個圖形的直線(見圖13.4)。“平面上的任何一對區域都能用一條直線等分，是嗎？”
“我相信你的話。”
“證明起來并不難。在庫蘭特(Richard(]ourant)與羅賓斯(HerbeIt Robbins)合著的《數學是什么》(What Is Mathematics)一書中就有一個基本證明。它利用了波爾查諾定理。”
“噢，是的，”我說。“如果一個關于x的連續函數既有正值也有負值，那么它至少有一個零值。”
“不錯。它看起來微不足道，可是在各種各樣的存在性證明中，它是威力極大的一種工具。當然這種證明并沒有告訴我們怎樣來畫這條線。它只證明存在這條線。”
“那么火腿三明治是怎么回事？”
“當我們進入三維空間時，處于任何位置的任意三個立體，無論其形狀和大小有多么古怪，其體積總是能被一個平面同時準確地二等分，就像把兩片面包夾著一片火腿一起二等分一樣。斯通和圖基把這個定理推廣到了所有維數的空間中。他們證明，總會存在一個超平面，可以把四維空間中任何位置的四個四維立體二等分，或把五維空間中任何位置的五個五維立體二等分，依次類推。”
教授端起杯子一飲而盡，然后指著柜臺那邊的一堆炸面餅圈說道：“說起切割立體，你可以向你的讀者提出這個怪問題。一個炸面餅圈同時被三個平面切過，最多能得到多少塊？這個問題是我自己想出來的。”
在旋轉木馬走音的汽笛風琴聲中，我閉上眼睛想象著結果，但直到最后腦子發麻也未能想出眉目，就把問題擱下了。
P151-156