高維彎曲空間：歷史與思想（簡體書）

當直線坐標系中的微分方程過於複雜的時候，通過坐標變換轉換到曲線坐標系中之後，很可能更加便於計算。而曲線坐標系的出現，以及曲線坐標系中的微分運算之所以成為可能，都是因為我們的空間觀念從歐幾裡得幾何學向黎曼幾何學的轉變。另一方面，向量，乃至張量概念的建立，得益于高維空間觀念的形成。而向量分析幫助麥克斯韋構架了電磁學理論，張量分析為電磁現象找到了廣義協變性。這一切都源自思想的解放、內容的拓展。．

《高維彎曲空間:歷史與思想》由中國社會科學出版社出版。

前言第一章 空間哲學第一節 柏拉圖主義的空間觀念第二節 空間的數學化第三節 絕對空間觀念第四節 彎曲空間的實在論分析第二章 彎曲空間的早期探索第一節 非歐幾何思想的形成第二節 羅巴切夫斯基的非歐幾何思想第三節 非歐幾何的後續發展第三章 彎曲空間觀念的新思想第一節 高斯的非歐幾何思想第二節 高斯的內蘊幾何思想第三節 彎曲空間概念的產生第四節 彎曲空間的幾何結構第四章 高維空間觀念的形成第一節 哈密頓建立四元數理論第二節 格拉茲曼建立擴張論第三節 凱萊的n維向量理論第四節 麥克斯韋的向量概念第五章 高維彎曲空間觀念的形成第一節 黎曼“流形”概念的來源第二節 黎曼“流形”概念的內涵第三節 什麼是黎曼空間曲率第六章 高維彎曲空間的數學實現第一節 克裡斯托弗符號的引進第二節 絕對微分法的第一篇論文第三節 愛因斯坦的貢獻第四節 閔可夫斯基的四維流形第五節 外爾與黎曼幾何學的最終形成參考文獻．

所以，羅巴切夫斯基是否構造了模型這一問題就歸結為“羅巴切夫斯基是否達到了希爾伯特的幾何基礎所要求的公理化方案”。羅巴切夫斯基的理論包含一系列命題，有些被指為公理，有些被指為定理。這樣的幾何結構，已經背離了空間直覺。羅氏平行公理呈現了依賴垂直性質規定的平行。通過適當的選擇，可使過一直線外固定點的直線，與已知直線的垂線夾角接近直角。此時，兩直線平行。
“假設三角形內角和小于丌，就導致出圓隨半徑的增長不趨于直線，而趨于一特種曲線，我們稱它為極限圓，球面在這種情況下也趨向于一曲面，類似地，我們稱它為極限球面。”
羅巴切夫斯基的工作，由非歐幾里得空間出發，清楚地表明了放棄第五公設，進入一個不尋常的世界，在邏輯上是合理的。對于直觀，就像歐幾里得幾何這個真實的世界，羅巴切夫斯基的幾何直覺，是在所有的證明第五公設的努力失敗之后，最終彰顯出來的。羅巴切夫斯基說：“在數學中人們使用兩種方法：分析和綜合，這里作為判決依據并導致所有的結論，包括在我們的腦海中，是我們對基本概念的陳述。”
羅巴切夫斯基相信空間直覺和空間體驗的幾何真理的終極來源，是形式化的推理。直覺無法分辨第五公設的唯一性，也無法否定其應被視為合理的公理。我們已經提出的問題“羅巴切夫斯基有他的幾何模型嗎？”與這個問題類似，“歐幾里得是否有他的幾何模型？”我們現在看到，實際上這個問題有一個更具體，更有趣的答案。
羅巴切夫斯基得到的不是完全不相干的概念模型，幾何上的限制和在歐式平面上完全一樣。羅巴切夫斯基引進了非歐幾里得平面的標準模型，即他的新的雙曲幾何模型。羅巴切夫斯基為什么把歐幾里得的概念改造成雙曲幾何的語言，而不是其他方式的幾何呢？
我們在羅巴切夫斯基的思想來源一節中分析過，羅巴切夫斯基在三角學中下了很大的功夫。羅巴切夫斯基發展出雙曲幾何，是建立在歐幾里得雙曲三角的基礎上。他的三角形中邊與角的方程，將分析引進了雙曲幾何，雙曲幾何基本方程與球面幾何是相同的，球面幾何與雙曲幾何之間有著深刻的類比。
球面幾何（包括球面三角）是一個行之有效的歐幾里得幾何，所以沒有理由期望任何矛盾。球面三角是一致的，那么，每個雙曲三角公式是一致的。顯然，羅巴切夫斯基已經構建了非歐幾何的模型，只是與我們現在的模型稍有不同。通過與歐氏三角公式的類比，羅巴切夫斯基作出一種球形幾何上一個假想的球體平面虛幾何半徑，這雖然缺乏直觀感，但確是一個模型。
第三節 非歐幾何的后續發展
1868年，意大利數學家貝爾特拉米發表了著名的論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題與相應的歐幾里得幾何命題是一一對應的，歐幾里得幾何無矛盾，那么非歐幾何也就自然沒有矛盾。
貝爾特拉米（Beltrami，Eugenio，1835—1899，意大利）1853年于帕維亞（Pavia）大學學習數學，這是意大利的著名學府之一，G.卡爾達諾、G.薩凱里（Saccheri）、L.馬斯凱羅尼（Mascheroni）等數學名家曾在此學習或執教。