羅巴切夫斯基幾何學及幾何基礎概要 （簡體書）

“幾何基礎”是數學的一個分支，其中主要的是建立並探討幾何學的基本概念和公理，每一公理在幾何學結構中的作用和地位以及某些公理用其他公理代替的可能性和這種代替之後的結果。一起來學習《數學．統計學系列：羅巴切夫斯基幾何學及幾何基礎概要》吧！．

《羅巴切夫斯基幾何學及幾何基礎概要》適合大、中學師生及數學愛好者的使用和收藏。內容介紹：“幾何基礎”是數學的一個分支，其中主要的是建立并探討幾何學的基本概念和公理，每一公理在幾何學結構中的作用和地位以及某些公理用其他公理代替的可能性和這種代替之后的結果。

緒論
＆1 引入平等線以前的基本定理概述
＆2 關於三角形（內）角和的勒讓德一薩謝利定理
＆3 帕斯公設
＆4 有二直角的四邊形及其性質
第一章 與歐幾裡得公設等價的一些命題
＆5 三角形內角和等於二直角：跟歐氏公設等價的命題
＆6 每一三角形的內角和都相同：跟歐氏公設等價的命題
＆7 勒讓德定理：“三角形內角和不能小於二直角的錯誤證明
＆8 通過一角內任一點可作與此角兩邊相交的截線：跟歐氏公設等價的命題
＆9 存在兩個相似而不全等的三角形：跟歐氏公設等價的命題
＆10 克拉維對歐氏公設的一個假的證明
＆11 烏．鮑耶定理
＆12 另外兩個跟歐氏公設等價的命題
＆13 畢達哥拉斯定理”a2+b2+c2：跟歐氏公設等價的命題
＆14 圓內接正六邊形的 邊等於此圓的半徑：跟歐氏公設等價的命題
第二章 關於羅巴切夫斯基幾何的一些事實
＆15 羅巴切夫斯基公設
＆16 在羅巴切夫斯基平面上三角形的內角和
＆17 對一角的一邊的垂線不交另一邊的定理
＆18 等距曲線
＆19 另外一些羅氏幾何的定理
＆20 關於不能作外接圓的三角形
＆21 圓內接正六邊形的一邊大於此圓的半徑
第三章 在羅巴切夫斯基平面上直線的相互位置
＆22 平行線和超平行線
＆23 平行線的性質
＆24 平行角
＆25 羅巴切夫斯基超平行線的性質
＆26 在羅巴切夫斯基平面上直線相互位置的一些特別情況
第四章 羅巴切夫斯基幾何的面積論
＆27 薩氏四邊形的合同性
＆28 三角形的角欠及三角形、多邊形的面積
＆29 三角形的極限情形
＆30 三角形隨意大的面積存在：跟歐氏公設等價的命題
＆31 羅巴切夫斯基在數學上所作的貢獻概觀
第五章 歐幾裡得《幾何原本》概觀
＆32 歐幾裡得《幾何原本》的內容
＆33 《幾何原本》的敘述方法
＆34 《幾何原本》的基本命題
＆35 《幾何原本）的某些優缺點及其歷史的意義
第六章 基本對象、基本對象問的基本關係及幾何公理
＆36 公理法的幾何結構和基本概念
＆37 第一組公理：結合公理（屬￿關係）
＆38 第二組公理：次序公理
＆39 第三組公理：合同公理和運動公理
＆40 第四組公理：平行公理
＆41 第五組公理：連續公理
第七章 幾何體系的解釋觀念
＆42 歐幾裡得平面幾何解釋的例子
＆43 費得洛夫的解釋
＆44 歐幾裡得幾何的解析解釋
＆45 羅巴切夫斯基幾何的貝爾特拉米一克萊因解釋
＆46 羅巴切夫斯基平面幾何的龐加萊解釋
＆47 羅巴切夫斯基空間幾何的龐加萊解釋
＆48 等距面、極限面和極限球．把的幾何學
第八章 公理的協和性和獨立性．同構
＆49 公理體系的協和性
＆50 公理體系的獨立性
＆51 兩種公理體系的等價性
＆52 關於同構的概念
＆53 結束語
參考書
附錄一 非歐幾裡得幾何學一百周年之回顧
附錄二 射影幾何．公理派．非歐幾何
附錄三 非歐幾何的創立
附錄四 羅巴切犬斯基幾何學的一種實現法：龐加萊方法
編輯手記．

我們來證明點R屬于第二組，也就是說，R屬于從它作OD的垂線不與邊OB相交的那些點，事實上，假如這個垂線與OB相交于一點S，則在S的不含O的那一側取一點T，從T作OD的垂線，將必得到這樣的一點U，它屬于第一組，或許有人以為U在及之右，但第一組的各點都在點R之左（圖32），所以，在過點R的垂線與OB相交的前提之下帶來矛盾，可見，點R必屬于第二組，換句話說，從點R（兩組點的分點）作直線OD的垂線不與角之邊OB相交。在第一組點的所有垂線里沒有最后的，但在第二組點的所有垂線里有一個最先的，此即過點R的垂線。
所證明的對任意銳角一邊第一條的垂線不與此角另一邊相交的定理是羅氏幾何學中最重要的定理之一。
從直觀上來設想直線有這樣的行為是很不容易的，在歐氏幾何學中有類似的事實，如考慮雙曲線及其漸近線（圖33）設OB為雙曲線，OD為與其相交的直線，從點及作OD的垂線——雙曲線的漸近線，則在R左面的各點都屬于第一組，在點R右面的各點都屬于第二組。
18 等距曲線
在10里我們說過：如果在一直線a的同側且與此直線有一定距離的點之軌跡是一直線，則歐氏公設成立，在羅氏幾何體系中這個公設不成立，因之，所有跟歐氏公設等價的命題也不成立。