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《數學奧林匹克小叢書?高中卷10:數論(第2版)》結合高中數學競賽,介紹了初等數論中一些基礎知識,如整除、最大公約數與最小公倍數、同余、不定方程等,同時又介紹了一些著名數論定理,如素數及唯一分解定理、中國剩余定理、費馬小定理等。并輔以練習鞏固。
作者簡介
余紅兵,中國數學奧林匹克委員會委員,數學奧林匹克國家集訓隊教練。蘇州大學數學科學學院教授、博士生導師,理學博士。主要研究方向是數論,并長期有興趣于數學普及工作,著作主要有《不定方程》、《奧數教程(高三年級)》、《構造法解題》等。
名人/編輯推薦
《數學奧林匹克小叢書?高中卷10:數論(第2版)》通過數學競賽問題介紹初等數論的一些基本概念和方法。希望讀者閱讀此書時,帶著紙和筆,在看例題的解答之前,先試著自己動手,這樣才能真正體味出解題的竅門。
目次
1整除
2最大公約數與最小公倍數
3素數及唯一分解定理
4不定方程(一)
5競賽問題選講(一)
6同余
7幾個著名的數論定理
8階及其應用
9不定方程(二)
10競賽問題選講(二)
習題解答
2最大公約數與最小公倍數
3素數及唯一分解定理
4不定方程(一)
5競賽問題選講(一)
6同余
7幾個著名的數論定理
8階及其應用
9不定方程(二)
10競賽問題選講(二)
習題解答
書摘/試閱
最大公約數是數論中的一個重要概念。
設a、b不全為零,同時整除a、b的整數(如±1)稱為它們的公約數。因a、b不全為零,故由第1單元中性質(3)推知,a、b的公約數只有有限多個,我們將其中最大的一個稱為a、b的最大公約數,用符號(a,b)表示。顯然,最大公約數是一個正整數。
當(a,b)=1時(即a,b的公約數只有±1),我們稱a與b互素(互質)。讀者在后面將看到,這種情形特別重要。
對于多于兩個的(不全為零的)整數a,b,…,c,可類似地定義它們的最大公約數(a,b,…,c),若(a,b,…,c)=1,則稱a,b,…,c互素。請注意,此時并不能推出a,b,…,c兩兩互素(即其中任意兩個都互素);但反過來,若a,b,…,c兩兩互素,則顯然有(a,b,…,c)=1。
由定義不難得出最大公約數的一些簡單性質:
任意改變a、b的符號不改變(a,b)的值,即有(±a,±b)=(a,b);
(a,b)關于a、b對稱,即有(a,b)=(b,a);
(a,b)作為b的函數,以a為周期,即對任意整數x,有(a,b+ax)=(a,b)。
下面(1)中的結論,是建立最大公約數的性質的基礎,通常稱為裴蜀等式。
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