原來數學家就是這樣想問題：掌握5個元素讓你思考更有效【硬殼精裝版】

如何有效思考、突破瓶頸？
數學家兼專業教育家根據實際經驗，
提煉出五個元素，讓你提綱挈領，
輕鬆化解思考與決策上的各種難題。

／這是一本為想發揮最大潛力者所寫的書／

以教導數學享譽學術界的愛德華‧柏格與麥可‧史塔博德兩位作者，職涯剛開始是傳授數學的抽象概念，然而多年經驗下來，他們發現聰明的人並非具有天生的血統，只是特別懂得善用思考的方法去學習、了解與創新。

這些有效的思考方法都是可以被描述、教導與學習的，包含了「土、火、風、水、精華」等五大元素。它們沒有那麼深奧，而且實務上已經讓學生、專業人士、企業領袖、藝術家、作家、政治人物……等在各領域中變得更成功、更富有。

本書透過真實生活的事例、明確的行動方針，以及具體可行的方法，確保每個人都能輕鬆學會這些思考技巧。不管你是誰，你將會用前所未見的方式看待這個世界，並且揭露過去許多被隱藏的機會，讓你能以更具創意、更聰明和更有效的方式去實現所有的目標。

愛德華‧柏格（Edward B. Burger）

為威廉斯學院數學教授兼教育與企業顧問，並曾擔任貝勒大學副院長。是逾65篇文章、眾多書籍和系列錄影帶的作者與共同作者；在世界各地發表超過500場演講和講座；並曾出現在超過50個廣播與電視節目中。其教導與學術論述曾贏得25座獎項和榮譽，包括黛博拉與富蘭克林‧譚波‧海默全國傑出數學教學獎、波耶教學獎、喬維奈特獎，雷斯特‧福特獎、泰利獎……等等。2006年獲選為《讀者文摘》年度「美國最佳100」的美國最佳數學教師。2007年獲頒威廉斯學院的學術與教學尼爾森‧布希納爾獎。2010年榮獲羅勃‧佛斯特‧雪利傑出教學獎，這是英語世界各類高等教育最崇高和最知名的獎項。《哈芬頓郵報》則評選他為「2010年改變大勢者」之一。

麥可‧史塔博德（Michael Starbird）

為奧斯丁德州大學傑出的數學教授，曾任新澤西州普林斯頓大學高級研究所客座教授，也是加州帕薩迪納噴射推進實驗室的技術人員。曾經獲得15項重大教學獎項，包括黛博拉與富蘭克林‧譚波‧海默全國傑出數學教學獎、德州明尼‧史蒂文斯‧派柏教授獎、德州大學傑出教學創始年獎，以及幾乎所有德州大學頒發的大學教學獎，包括琴恩‧霍羅威獎、修士學會百年紀念授課助教獎，以及傑出教學人員校長獎。身為德州大學傑出教師學會的成員，曾在全國各大學院校和各種會議上發表數百場演說，並曾主持數十個研討會，特別是針對協助教導有效思考的主題。

譯者簡介
吳國卿

台北市人，1956年生，為資深新聞從業人員，從事翻譯工作十數年。譯作包括《新世紀道式理論》、《華爾街爭霸戰》、《趨勢力》、《箱子》、《亞洲未來衝擊》、《碳交易》、《向巴菲特學管理》等（以上皆由財信出版）。

【各界推薦】

／強力推薦／（依姓名筆畫排序）
林福來 國立臺灣師範大學數學系教授
陳偉泓 建國中學校長
張碧娟 北一女中校長
童子賢 和碩聯合科技董事長

*** *** ***

我記得小時候在學校，老師告訴我們要用力思考，但我們實在不知道該怎麼做。本書一勞永逸地解決了這個問題。我們現在有了一本指南，可以教導所有年齡層的人學習如何更有效的思考。我極力推薦這本書。
──坎菲爾（Jack Canfield）
《心靈雞湯》作者

思考……失敗……問題……了解……改變……學習：在這本字字珠璣的新書裡，柏格和史塔博德告訴學生、老師和所有人如何駕馭學習的天賦。這本書告訴我們，通往知識的大門不會因為一場神奇的考試被打開，而是我們每一個人應該不畏失敗、敢於堅持正確的思考方法。本書不僅協助我們掌握正確的思考，並且引導我們去過滿足而豐富的心智生活。
──羅克爾（Dennis Van Roekel）
全國教育協會會長

本書舉喬丹、巴菲特與邱吉爾為例，說明如何以務實的方法通達理解、創造力和智慧──包括失敗的例子。他們的見解適用於練習從運動、學校、領導到公民生活等各領域的技巧，而這是當今每個人都迫切需要的一本書。
──布朗（Janet Brown）
總統辯論委員會執行董事

在這本精簡卻豐富的書中，兩位教授把數十年的教育經驗分享給所有人，提供如何提升技巧與擴大學習的建議。讀者應該閱讀、研究並珍藏這本書，更要經常重讀它。
──文森（Fay Vincent）
職棒大聯盟前理事、哥倫比亞製片公司前總裁

本書正是當前教育界所迫切需要的，它保證能帶來創新與發現。
──摩根（Barbara Morgan）
前美國太空總署「太空教師」太空人

本書針對有效思考做了極為深刻的探討，每個人都可以從書中找到價值。
──夏彼洛
西北大學校長

我向關心學生超過測驗分數的老師，以及關心學習超過成績的學生極力推薦這本書。我也向關心為大眾謀福祉超過增加獲利的社會領袖與各界傑出人士，以及不斷提醒我們人類所處情況的藝術家推薦這本書。《原來數學家就是這樣想問題》為這個失去平衡的世界帶來了一些安慰。
──坎畢薩諾
普林斯頓大學教學準備計畫部主任

愛德華．柏格與麥可．史塔博德證明一般人都能專精數學，而不限於擁有「正確」才能者，他們也因而享譽學術界。藉由出版這本充滿智慧與實用的書，他們把教學的原則擴展到實際事務的領域，並延伸到課業學習的整個範圍。不管讀者的背景為何，《原來數學家就是這樣想問題》提供了極為實用的原創指導。
──錢德勒
漢密爾頓學院與威廉斯學院名譽校長

牛頓就是這樣站在巨人的肩膀上！愛德華．柏格和麥可．史塔博德列舉出天才使用的基本方法──以便平凡人也能看得比其他人更遠。
──庫斯查
博伊西州立大學校長

我超愛這本書，它對我造成了無比的好影響，因為書中的概念深得我心，而且我在最好的時機讀到它。讀完《原來數學家就是這樣想問題》讓我充滿喜悅與感激，對自己和未來的前途也充滿信心。
──凱爾
大學部數學系學生

本書帶給我有如坐雲霄飛車般的感受，釐清一些我對於自己的偏見，並協助我以新方式看世界。
──艾莉
大學部生物系學生

本書有許多精彩的內容，裡面充滿雋永的引句、機智的幽默、有趣的練習、歷史和個人的例子，以及許多促使你思考的東西。我發現自己在看本書時，忍不住大笑好幾次。我已經推薦本書給一些想用不同方法思考的人。我很幸運，有時候我想是命運使然，讓我在進入大學的第一天就得到這本書。
──路易斯
大學部歷史系學生

我在讀《原來數學家就是這樣想問題》時，學到了更多我應該如何思考、學習和了解的事，遠超過我一生中的其他經驗。本書的每一章都深深引起我的共鳴，現在我已經改變自己上課、做作業和生活的方式。
──尼拉弗
大學部機械工程系學生

這本書讓人愛不釋手，因為它教導新的思維方法，並以現今學生和歷史天才的例子來加以說明。本書證明天才就是用不同方式思考與學習的平凡人。我覺得這個新觀念帶給我許多啟發。
──羅蘭
大學部心理系學生

當我挑選本書做為一門課的讀物時，內心有點害怕。但在閱讀幾頁後，我已經捨不得放下它了。我一直覺得自己應該設法變成更的學生，而本書的內容不僅充滿啟發性，讀起來也很有趣。學習、了解和創造的基本方法盡在本書裡。
──史考特
大學部木土工程系學生

有效思考讓你變得更好

我思故我在。
──笛卡兒（René Descartes）

一切事物──包括從學術、經營企業、領導、人際關係和所有事情──的成功都源自思考，不管是偽裝成直覺、好的價值觀、決策、解決問題的方案或創造力的思考，它們全都是思考。

因此不足為奇的是，更有效的思考就是學生、專業人士、企業領袖、藝術家、作家、政治人物，以及所有人每天生活的成功關鍵。想把任何事做好都需要有效的思考──換句話說，就是能想出更富於想像力的點子，面對複雜的問題，找出解決它們的新方法，更能了解隱藏的可能性，然後採取行動。

令人驚奇的是，不管是在生活的哪一個領域──在學校、企業、藝術、個人生活、運動以及所有的事情─更清楚、更有創意、更有效的思考方法基本上沒有什麼不同。另一個驚奇之處是，這些有效的思考方法可以被描述、教導和學習。它們不是少數特殊人士與生俱來的天分。它們沒有那麼深奧，以至於只有天才才能掌握其訣竅。我們所有人都能學會並使用它們，而這正是本書的內容。

身為本書作者的我們，並非跨入職業生涯時就懷抱著發掘有效思考方法的目標。我們的職涯剛開始是教導數學的抽象觀念，然而多年下來，我們發現人們只要在每日的生活當中善用幾種思考習慣，就能得到大不相同的成果，而且這些思考方法與數學沒有關係。本書提供富於啟發性的刺激思考方法，這些策略曾激勵過生活各領域的許多人變得更成功，而我們希望你也能藉由有效的思考來創造成功。

【前言】
有效思考、學習與創造的元素

我很確定知道自己沒有特殊才能。
好奇、偏執和堅持不懈，加上自我批判，
讓我能夠想出點子。
──愛因斯坦（Albert Einstein）

有一種極為浪漫的觀念是，聰明的學生天生就很聰明，而聰明的思想家能像變魔法般想出聰明的點子：A+，明星學生輕輕鬆鬆就能在考試中拿高分；變！愛迪生就發明出燈泡；飛！萊特兄弟從此翱翔在天空；阿布拉卡達布拉（abracadabra，咒語），羅琳（J. K. Rowling）就變出《哈利波特》；沒錯，美國的開國元老們想出了「人權法案」（Bill of Rights）；看！羅蘭（Ralph Lauren）霎時讓人把目光集中在時裝伸展台上；有了！愛因斯坦抓抓頭髮，相對論便掉了出來。我們可以對這些天才的神奇表現感到讚嘆，但不能誤以為天才真的是與生俱來的。聰明的學生和聰明的發明家之所以成功，都是藉由練習思考習慣而帶領他們一步步邁向偉大。這其中並不牽涉神奇之處，只要幾項思考的基本方法就能帶來有效的學習、了解和創新。更重要的是，你自己就能熟練並應用這些方法。本書提出實用且經過驗證的有效思考和創造的方法，能帶領你在生活中達致最終的成功。

身為本書作者的我們是教師。我們曾教導過成千上萬的學生和成人如何更有效地思考。我們曾無數次碰到有潛力的個人，並看著他們人生的轉變展開──或者未展開。安妮和亞當深入研究概念、了解基本原則、從錯誤中學習、提出問題，因此一帆風順。菲奧娜和法蘭克擁有同樣的天分、從相同的地方出發，但他們只知強記而不求甚解、害怕錯誤、逃避不確定，因此未能成功。本書將探究是什麼原因造成這種差異。

教育並不停止於正式學校的結束。即使你正式就學的日子早已過去，你還是個學生，而且很可能永遠都是。你可以選擇學習良好的思考習慣，協助你克服不斷出現的人生挑戰──來自於個人、職業和社會各方面的挑戰。

想像居禮夫人（Marie Curie）、愛因斯坦和莎士比亞都是學生。今日我們知道他們是著名的天才，但當他們還在學校時，他們並未別著一枚「未來天才」的胸章四處遊走。他們只是透過不同的思考習慣，以不同的方式看世界，因而能發現和創造深入的新點子。儘管我們欽佩著名的天才，並受到他們非凡的故事所激勵，但本書的主角卻是你──一個有著優點和弱點、真實的人──而非神話中的英雄。看看你自己─如果你也沒看到一枚「未來天才」的胸章，那麼你也一樣有創新的潛力。創造力與神奇的靈感無關。本書討論的思考習慣將自動讓你定期產生新知識與洞見。請記住：非凡者只是以不同方式思考的平凡人──而那可能就是你。

平凡的學生可以達到非凡的水準。馬克是我們數學課的學生，他在學期開始時的表現真的令人失望。他漫無頭緒到所寫的家庭作業毫無對錯可言──因為完全不知所云。他只是重複在課堂討論中記下的數學符號，完全不知道它們的意思。那像是他用一種連自己都不了解的語言來寫詩。雖然馬克真的很用功，但他似乎是注定失敗的典型例子。

不過，到了學期末，馬克已轉變成不同的人──一個懂得用聰明和富於想像力的方法來思考數學的人。當學期即將結束時，他針對一則班上一直沒有人能解開的困難題目，想出一個有創意、而且正確的解題方法。在學期中某個時候，馬克突然領悟到數學是有意義的事，而且他可以了解它。他重新溫習這個學科的大部分基本原理──這些原理是他多年來從未真正理解的。在他還把學習視為強記技巧與背誦字句時，他老是出差錯。而當他開始設法了解深入的基本原理後，很快便能得心應手。有了這種新心態後，徹底了解這門學科變得容易多了，他在課堂上的成功也就很理所當然。

了解未知以及尋找創意與洞見的原則，改變了馬克的生活，而這些原則是可以教導、學習，並廣泛運用在各種學科與職業上。我們曾見過原本平凡的人運用這些思考方法後，改變成創造力十足的領袖、作家、藝術家、金融大師、教師、製片家、科學家，還讓其中的許多人變成了百萬富翁。

教育就是學過之後被遺忘了卻又存活下來的東西。
──史金納（B. F. Skinner）

由於身為作者的我們是教授，本書中許多故事發生在課堂上也就不足為奇了。不過，我們也教過成千上萬名的終身學習者。因此當我們提供學校經驗的例子時，你可以把它們看成你真正置身於教室中（不管是當學生或教師），也可以延伸到你置身常春藤牆外的環境中。當伊索（Aesop）寫〈龜兔賽跑〉時，他並非只瞄準烏龜市場。在整個人生中，我們經常面對類似考試、得高分和了解教材的挑戰，或者我們並非參加正式考試，而是碰上來自於雇主、甚至是親戚朋友所提出的艱難問題；我們並非得拿高分不可，卻不免在職場與社會情境中被評分；我們不是要了解教材，而是必須不斷學會新技術和吸收新知識，以跟上世界快速變遷的腳步。所有我們敘述的故事，都直接與你和你的生活有關。

思考與學習的五大元素

有一個令人驚訝的事實是，只要學會幾個思考方法，就可以讓你在教室、董事會和起居室裡更有效率。你可以透過採用五種可學習的習慣而變得更成功，而我們在本書中不但會詳細解釋這些習慣，也會舉出具體和實用的例子。以下就是這些重要習慣的簡單介紹。

深入了解：
別硬碰硬思考複雜的問題；先深入了解簡單的概念。清理雜亂的理路，掌握真正的重點。但對你知道和不知道的部分要絕對誠實。然後檢討少了哪些東西，辨識差距，然後填補差距。拋棄成見、偏頗和先入為主的想法。了解有各種不同的程度（這並非是或不是的問題），而你永遠可以加深你的了解。扎實的了解就是成功的基礎。

犯錯：
未能成功。故意犯錯以便最後能夠做得更正確。錯誤是絕佳的老師──它們凸顯未預見的機會，讓你了解其中的漏洞。它們也告訴你，下一個轉彎處在哪裡，並且點燃你的想像力。

提出問題：
不斷提出問題，以釐清和擴展你的了解。真正的問題是什麼？努力解決錯誤的問題，可能浪費一生的時間。點子飄在空中──正確的問題能讓它們浮現，並幫助你看出原本看不見的關聯。

追隨創意的流動：
回顧創意的起源，然後往前眺望這些創意可能帶領你到何處。一個新點子是一個開端，而不是就此結束。創意很稀罕──好好利用它們。追隨小創意的結果，可以獲得大大的回報。

這四塊積木是有效思考的基本元素，我們設計一套簡單的方法，好讓你能記住它們。你只需要回想被認為是所有自然界與物質基本成分的古典元素，這些元素可回溯到蘇格拉底和文藝復興時代的文化與思想，也就是土、火、風與水。為了幫助你刺激記憶以便運用這些技巧，我們把每一種古典元素連結到一項我們的有效思考、學習與創造的策略：

土 深入了解
火 犯錯
風 提出問題
水 追隨創意的流動

藉由熟練這些策略，你可以、而且一定會有所改變。大自然的古典元素包括一個特別的第五元素─精華元素（quintessential element）─打造天堂所使用的永恆不變的物質。諷刺的是，在我們的思考和學習中，精華元素就是改變本身。

精華元素 改變

改變：
永恆不變的元素是改變─藉由熟練前述的四大元素，你可以改變思考與學習的方法。你可以永遠進步、成長，從你的教育、你自己以及你生活的方式萃取出更多東西。改變是共通的常數，讓你從生活與學習中發揮最大效用。

媒體學者告訴我們，在任何電影、戲劇或文學作品裡如何判斷誰是故事真正的主角─就是到最後改變最多的個人。你的人生是一段刺激的旅程。當你擁抱改變時，你是藉由有意識地決定人生的戲碼如何開展，而把自己放在舞台的前面和中央。當你這麼做時，你會變成自己人生冒險故事裡的英雄。
後面的章節將詳細說明前述內容，更充分解釋我們的五種有效思考元素。每一章的練習、行動項目、例子和故事，都把這些元素轉變成實際的方法，可以用來大幅改善個人和組織。

這些元素和練習將提供你思考的導航，幫助你在人生中航行。我們見過無數令人振奮的例子，他們獲得的成功遠遠超過預期。這些故事鼓勵我們樂觀地堅信，我們都有能力過更成功的生活。我們的希望是，學生將發現這些元素帶來改變的力量；教師將可利用這些課程讓他們的教學更豐富；社會上的領袖，不管在企業、科學、政治或藝術等領域，都可善用這些策略，以變得更具創意；終身學習者將應用這些原則，以改善生活，成為這個世界不斷進步的學生。

當教授發回打過分數的試卷時，席拉斯像其他同學一樣感覺既緊張又興奮。但當席拉斯看到試卷上方寫著紅色的「58分」時，他感到挫折、惱怒又困惑。「我真的了解試卷上的那些題目。我只是犯了一些愚蠢的小錯誤。我真的懂，真的。」他真的相信他懂。真的。可惜的是，這種不愉快的驚訝在我們拿到畢業證書後，不見得就不再發生。許多人終其職業生涯都（錯誤地）自信他們懂得很多，而且應該得到比實際更高的評價、薪水與成功。

了解並非是非題，也不是非開即關的開關。席拉斯花很多時間在準備考試上，但他把時間花在死背事實、而非建立深入的了解。如果他把同樣多的時間投資在熟練根本原理、認識基本概念、把每個概念連結到核心架構，最後再想像他研讀的教材所環繞或延伸的東西，那麼他應該可以得到更高分。然而席拉斯的策略像是一個有心用功的小學生，只是一絲不苟地背誦兩位數加法的規則，卻不知道這個程序的道理，以至於三位數加法就像造訪另一個星球般陌生。席拉斯的了解最多只能以薄弱和一知半解來形容。即使一點小變化也會難倒他，因為他把自己的責任定在得出孤立事實的特定數字，而非了解概念的意義與關聯性。

當你學習任何事情時，要深入了解，扎穩堅實的基礎。如果你是學習一首鋼琴曲，那麼你不只是要記住手指的動作，還要學習聆聽每個音符，並且了解整首曲子的結構。問問自己：「我能不能彈右手的音符，同時只哼出左手的音符？」如果你學習內戰（Civil War）歷史，不要只記住一些重點──例如林肯是總統，羅伯特．李（Robert Lee）是將軍，都在奴隸制度中扮演重要的角色──你可以嘗試了解背景、互相抗衡的勢力，以及引發流血衝突的社會價值變遷。當你做選舉決定時，不要專注在候選人的外貌和15秒鐘的新聞集錦，你可以客觀地學習選舉議題，並發展出你自己的理性意見。

你對任何事情的了解都可以比目前來得更深入。更深入的了解能徹底改變你對世界的看法，在這方面，你要為了解設定一個較高的標準。以下的步驟可以說明，為什麼深入的了解能為未來的思考與學習奠定深厚的基礎。

深入了解簡單的事物

對任何主題基本概念的了解，都可以永遠不斷地更深入。職業網球選手觀察球；數學家了解精細的數字概念；成功的學生溫故知新，從學過的課程跨入更高階的教材；成功人士持續專注在職業生活的核心目標。真正的專家總是堅持不懈地進一步嫻熟基本工夫。

大師的教訓。東尼．普羅格（Tony Plog）是一位國際知名的小號演奏家、作曲家和老師。幾年前，我們有機會觀察他為一群學藝有成的演奏家主持一個技巧課程。在課堂上，每個學生演奏一段自選的炫技曲。他們演奏得很精彩。東尼有禮貌地傾聽，並且總是以這樣的話開始他的評論：「很好、很好。這是一首很有挑戰性的曲子，不是嗎？」一如大家的預期，他接著建議學生如何更優美地演奏該首曲子，提出有關具體技巧和音樂素質的意見。這並不令人意外。不過，接下來他改變了語氣。

他要求學生演奏一段很簡單的暖身練習，那是所有的小號新手都可能會被指定演奏的練習曲。他們演奏了幾個簡單的音符，與先前演奏的複雜曲子既快且生動的音符相較，它們顯得很幼稚。他們演奏完這個簡單的樂句後，東尼首度在上課中拿起小號，他也吹出相同的樂句，但他的演奏一點也不幼稚，反而細膩動人。每個音符都是豐富悠揚的聲音。他賦予那個樂句優美的曲調，展現出一種流暢的能量，讓人能聽出這些簡單音符的意義。那些學生的吹奏當然難以望其項背──其差距之大十分驚人。真正的大師與那些有天分的學生之間的基本差異，顯然發生在更根本的層次上，而非在曲子是否複雜。東尼解釋說，要能純熟且精細地演奏簡單的曲子，才能以更成熟的控制和技巧，演奏偉大而困難的曲子。

這個教訓很簡單，大師建議那些進階的學生把更多時間花在密集練習簡單的曲子──學習以高度技巧和精緻優雅來演奏它們。在簡單、基本的概念扎下深刻的工夫，有助於建立真正的技巧──這不只適用在音樂上，也適用於一切事情。

什麼是深入的了解？你如何知道你還未深入了解某件事？當那些學習小喇叭的資深學生演奏簡單的樂句音符時，自己聽起來都覺得很滿意。在還沒有聽到他們的詮釋和真正大師表演的對比前，學生大概不知道那些樂句有可能演奏得遠比自己的演奏還要好。

在你做每一件事時，要不斷提升你對基本概念和簡單情況的技巧與知識。一次永遠不夠。當你重溫基本概念時，將帶給你新的領悟。重溫基本概念可能看起來像退一步，而且需要花費額外的時間與精力；然而藉由奠定堅實的基礎，你很快就會發現自己真正的能力正大幅向前躍進。

（本文摘自「1　讓思考深入根本」）