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《非線性波的可積性與解析方法》主要研究非線性微分方程、超對稱方程和超離散方程的可積性與解析方法，包括方程之間的變換關系、可積簇的構造、對稱與守恒律、孤立子解與擬周期波解和可積性質。《非線性波的可積性與解析方法》共五部分：第一部分介紹孤立子與可積系統的研究背景和發展歷史；第二部分討論微分方程之間的變換關系、算法及應用，非線性波方程的Darboux與Backlund變換，以及構造近似解的微分變換方法及應用；第三部分系統分析微分方程的對稱與守恒律，為了尋找微分方程更豐富的解析性質，進一步討論非局域守恒律、非局域對稱和廣義群不變解；第四部分討論微分方程的孤立子解和擬周期波的構造性理論，并分析擬周期波解的極限性行為；第五部分介紹微分方程、超對稱方程和超離散方程的可積性及其解析性等。
目次
目錄
前言
第一部分 非線性波的發展史
第1章 孤立子理論與可積系統的發展史 3
1.1 孤立子的研究概要 3
1.2 可積系統的研究概要 5
1.2.1 有窮維哈密頓系統 6
1.2.2 無窮維哈密頓系統 7
1.2.3 無窮與有窮維哈密頓系統之間的聯系 10
1.2.4 代數幾何解 10
1.3 非線性微分方程求解的發展概要 11
1.3.1 反散射方法 11
1.3.2 Backlund和Darboux變換 12
1.3.3 Hirota雙線性方法 12
1.3.4 李對稱理論 13
1.3.5 其他方法的研究 14
1.4 超對稱方程和超離散方程的發展概要 14
參考文獻 16
第二部分 變換方法與可積簇
第2章 微分方程之間變換方法 29
2.1 AC=BD模式的介紹 29
2.2 李對稱群在微分方程之間變換的理論 30
2.3 李對稱群在AC=BD理論框架下的應用 32
2.3.1 多個因變量的非線性PDE到線性PDE的可逆變換 32
2.3.2 單個因變量的非線性PDE到線性PDE的可逆變換 35
2.3.3 變系數線性PDE到常系數線性PDE的可逆變換 37
參考文獻 39
第3章 非線性微分方程的Darboux和Backlund變換及其應用 41
3.1 三類N-重Darboux變換 41
3.1.1 廣義導數NLS方程的N重Darboux變換 41
3.1.2 廣義導數NLS方程的周期波解 49
3.2 Backlund和Darboux變換 55
3.2.1 Painleve截斷展開的奇異流形法 55
3.2.2 Darboux變換及其Grammian形式解 59
3.3 非線性微分方程的微分變換-Pade逼近方法 63
3.3.1 微分變換-Pade逼近方法 63
3.3.2 淺水波Camassa-Holm方程 64
參考文獻 67
第4章 哈密頓Lattice簇的Lax可積性、約化及其Darboux變換 69
4.1 一類新的多哈密頓Lattice簇的Lax可積性及其約化 69
4.2 一類新的多哈密頓Lattice簇的Darboux變換 76
參考文獻 79
第5章 自容源mKP方程簇 80
5.1 自容源mKP方程及其向前、向后和二元Darboux變換 80
5.1.1mKP方程向前的Darboux變換 80
5.1.2mKP方程向后的Darboux變換 81
5.1.3mKP方程的二元Darboux變換 81
5.2 自容源mKP方程的廣義二元Darboux變換 83
5.3 自容源mKP方程的幾種類型的解 89
參考文獻 93
第三部分 對稱與守恒律及其應用
第6章 非局域對稱與守恒律 97
6.1 Euler算子與守恒律乘子 97
6.1.1 Euler算子與守恒律乘子簡介 97
6.1.2 非線性微分方程的守恒律 98
6.2 Noether定理和Boyer定理在守恒律乘子算法下的局限性 100
6.3 非局域相關PDE系統及其樹形結構 101
6.3.1 非線性微分方程的勢系統和子系統 101
6.3.2 非線性擴散方程的非局域PDE系統及其樹形結構 103
6.4 非局域理論的應用 108
6.5 非線性擴散方程的非局域對稱、非局域守恒律與非局域線性化 110
6.5.1 非線性擴散方程的非局域對稱與非局域守恒律 110
6.5.2 非線性擴散方程的非局域線性化 111
參考文獻 113
第7章 廣義群不變解 115
7.1 非局域對稱的廣義群不變解 115
7.1.1 非局域對稱的算法 115
7.1.2 非線性擴散方程 116
7.2 Kompaneets方程的非經典群不變解及其穩態解 119
參考文獻 124
第四部分 孤立子解和擬周期波解
第8章 非線性微分方程的擬周期波解及其極限特性分析 127
8.1 非線性微分方程的廣義Hirota-Riemann方法 127
8.1.1 雙線性形式 127
8.1.2 非線性微分方程的周期波解 129
8.2 CDGSK方程 133
8.2.1 CDGSK方程的周期波解 133
8.2.2 CDGSK周期波的極限特性 135
8.3 (2+1)維的爆破孤立子方程 143
8.3.1 (2+1)維BS方程的周期波解 143
8.3.2 (2+1)維DBS方程的極限特性 147
參考文獻 148
第9章 超對稱方程的擬周期波解及其極限特性分析 149
9.1 超空間、超Hirota雙線性算子和超Riemann Theta函數 149
9.2 超對稱方程的超Hirota-Riemann方法 153
9.2.1 超對稱方程的超Hirota雙線性形式 153
9.2.2 超對稱方程的超周期波解 154
9.3 超對稱KdV-Burgers方程 160
9.3.1 超對稱KdV-Burgers方程的超周期波解 161
9.3.2 超對稱KdV-Burgers方程超周期波解的極限漸近特性 162
參考文獻 165
第10章 超離散方程的擬周期波解及其極限特性分析 166
10.1 廣義的離散mKdV方程的擬周期波解及其超離散化形式 166
10.1.1 廣義的離散mKdV方程的擬周期波解 166
10.1.2 廣義的離散mKdV方程的超離散化及其超周期波解 171
10.2 廣義的(2+1)維Toda Lattice方程的超離散化及其超周期波解 173
參考文獻 174
第五部分 可積性質
第11章 非線性微分方程的可積性質 177
11.1 多維的二元Bell多項式 177
11.2 廣義變系數KP方程的可積性質 179
11.3 5 階KdV方程的可積性質 198
參考文獻 201
第12章 超空間上微分方程的可積性質 203
12.1 多維的超Bell多項式 203
12.2 多維的二元超Bell多項式 205
12.3 超對稱方程的可積性質 207
12.4 廣義超離散方程的Lax可積性 212
12.4.1 超離散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可積性 213
12.4.2 幾類廣義超離散方程的Lax可積性 217
12.5 有限虧格G的Riemann Theta函數的超離散化及其應用 221
12.5.1 帶有有限虧格G的Riemann Theta函數的超離散化 221
12.5.2 廣義耦合的超離散mKdV方程 223
參考文獻 225
附錄 非線性擴散方程的局部與非局部對稱表 227
前言
第一部分 非線性波的發展史
第1章 孤立子理論與可積系統的發展史 3
1.1 孤立子的研究概要 3
1.2 可積系統的研究概要 5
1.2.1 有窮維哈密頓系統 6
1.2.2 無窮維哈密頓系統 7
1.2.3 無窮與有窮維哈密頓系統之間的聯系 10
1.2.4 代數幾何解 10
1.3 非線性微分方程求解的發展概要 11
1.3.1 反散射方法 11
1.3.2 Backlund和Darboux變換 12
1.3.3 Hirota雙線性方法 12
1.3.4 李對稱理論 13
1.3.5 其他方法的研究 14
1.4 超對稱方程和超離散方程的發展概要 14
參考文獻 16
第二部分 變換方法與可積簇
第2章 微分方程之間變換方法 29
2.1 AC=BD模式的介紹 29
2.2 李對稱群在微分方程之間變換的理論 30
2.3 李對稱群在AC=BD理論框架下的應用 32
2.3.1 多個因變量的非線性PDE到線性PDE的可逆變換 32
2.3.2 單個因變量的非線性PDE到線性PDE的可逆變換 35
2.3.3 變系數線性PDE到常系數線性PDE的可逆變換 37
參考文獻 39
第3章 非線性微分方程的Darboux和Backlund變換及其應用 41
3.1 三類N-重Darboux變換 41
3.1.1 廣義導數NLS方程的N重Darboux變換 41
3.1.2 廣義導數NLS方程的周期波解 49
3.2 Backlund和Darboux變換 55
3.2.1 Painleve截斷展開的奇異流形法 55
3.2.2 Darboux變換及其Grammian形式解 59
3.3 非線性微分方程的微分變換-Pade逼近方法 63
3.3.1 微分變換-Pade逼近方法 63
3.3.2 淺水波Camassa-Holm方程 64
參考文獻 67
第4章 哈密頓Lattice簇的Lax可積性、約化及其Darboux變換 69
4.1 一類新的多哈密頓Lattice簇的Lax可積性及其約化 69
4.2 一類新的多哈密頓Lattice簇的Darboux變換 76
參考文獻 79
第5章 自容源mKP方程簇 80
5.1 自容源mKP方程及其向前、向后和二元Darboux變換 80
5.1.1mKP方程向前的Darboux變換 80
5.1.2mKP方程向后的Darboux變換 81
5.1.3mKP方程的二元Darboux變換 81
5.2 自容源mKP方程的廣義二元Darboux變換 83
5.3 自容源mKP方程的幾種類型的解 89
參考文獻 93
第三部分 對稱與守恒律及其應用
第6章 非局域對稱與守恒律 97
6.1 Euler算子與守恒律乘子 97
6.1.1 Euler算子與守恒律乘子簡介 97
6.1.2 非線性微分方程的守恒律 98
6.2 Noether定理和Boyer定理在守恒律乘子算法下的局限性 100
6.3 非局域相關PDE系統及其樹形結構 101
6.3.1 非線性微分方程的勢系統和子系統 101
6.3.2 非線性擴散方程的非局域PDE系統及其樹形結構 103
6.4 非局域理論的應用 108
6.5 非線性擴散方程的非局域對稱、非局域守恒律與非局域線性化 110
6.5.1 非線性擴散方程的非局域對稱與非局域守恒律 110
6.5.2 非線性擴散方程的非局域線性化 111
參考文獻 113
第7章 廣義群不變解 115
7.1 非局域對稱的廣義群不變解 115
7.1.1 非局域對稱的算法 115
7.1.2 非線性擴散方程 116
7.2 Kompaneets方程的非經典群不變解及其穩態解 119
參考文獻 124
第四部分 孤立子解和擬周期波解
第8章 非線性微分方程的擬周期波解及其極限特性分析 127
8.1 非線性微分方程的廣義Hirota-Riemann方法 127
8.1.1 雙線性形式 127
8.1.2 非線性微分方程的周期波解 129
8.2 CDGSK方程 133
8.2.1 CDGSK方程的周期波解 133
8.2.2 CDGSK周期波的極限特性 135
8.3 (2+1)維的爆破孤立子方程 143
8.3.1 (2+1)維BS方程的周期波解 143
8.3.2 (2+1)維DBS方程的極限特性 147
參考文獻 148
第9章 超對稱方程的擬周期波解及其極限特性分析 149
9.1 超空間、超Hirota雙線性算子和超Riemann Theta函數 149
9.2 超對稱方程的超Hirota-Riemann方法 153
9.2.1 超對稱方程的超Hirota雙線性形式 153
9.2.2 超對稱方程的超周期波解 154
9.3 超對稱KdV-Burgers方程 160
9.3.1 超對稱KdV-Burgers方程的超周期波解 161
9.3.2 超對稱KdV-Burgers方程超周期波解的極限漸近特性 162
參考文獻 165
第10章 超離散方程的擬周期波解及其極限特性分析 166
10.1 廣義的離散mKdV方程的擬周期波解及其超離散化形式 166
10.1.1 廣義的離散mKdV方程的擬周期波解 166
10.1.2 廣義的離散mKdV方程的超離散化及其超周期波解 171
10.2 廣義的(2+1)維Toda Lattice方程的超離散化及其超周期波解 173
參考文獻 174
第五部分 可積性質
第11章 非線性微分方程的可積性質 177
11.1 多維的二元Bell多項式 177
11.2 廣義變系數KP方程的可積性質 179
11.3 5 階KdV方程的可積性質 198
參考文獻 201
第12章 超空間上微分方程的可積性質 203
12.1 多維的超Bell多項式 203
12.2 多維的二元超Bell多項式 205
12.3 超對稱方程的可積性質 207
12.4 廣義超離散方程的Lax可積性 212
12.4.1 超離散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可積性 213
12.4.2 幾類廣義超離散方程的Lax可積性 217
12.5 有限虧格G的Riemann Theta函數的超離散化及其應用 221
12.5.1 帶有有限虧格G的Riemann Theta函數的超離散化 221
12.5.2 廣義耦合的超離散mKdV方程 223
參考文獻 225
附錄 非線性擴散方程的局部與非局部對稱表 227
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