數學的故事

寫給青少年的最佳數學讀本

從統計學來看，諸葛亮不可能用草船借到十萬支箭？
托爾斯泰的小說裡，其實暗藏巧妙的幾何題目？
吸引眾多偉大數學家與數學愛好者永不停歇尋找的「完全數」到底有什麼驚人魔力？
讓人廢寢忘食玩不膩的數學遊戲「冰雹猜想」又是什麼？

數學的故事自古迄今，遍及人類社會的每一個角落。

從黃金分割談到五角星，從大禹治水談到杜勒的畫作，愛與數學家交朋友的拿破崙、宛如傳奇般的印度自學數學天才拉馬努金、二次大戰時接力破譯德軍密碼的數學家們……

書中每一篇故事都揉合了東西方數學傳奇，講述的範圍從純粹數學、應用數學到數學之美，也提及了懸而未決的數學難題，通俗易懂中又有一定的深度。

一如作者蔡天新所說：「這本書的意義不言自明：它可以幫助更多人瞭解和喜歡數學。」

蔡天新

一九六三年生，浙江台州人。曾是「少年大學生」，山東大學理學博士，浙江大學特聘教授。

專攻數論，近年亦致力於推廣數學文化，先後應邀到北京、東京、上海、西安、南京、香港、重慶、成都、瀋陽、舊金山、芝加哥、西雅圖、普林斯頓、利馬、阿迪斯阿貝巴等地的大專院校與高中、書店和圖書館等舉行了三百多場相關講座。

也是詩人、作家、攝影師，攝影師，曾獲貝魯特Naji Naaman詩歌獎（2013）和達卡Kathak 詩歌獎（2019），近作有詩集《美好的午餐》、《日內瓦湖》，隨筆集《數學傳奇》、《輕輕掐了她幾下》，遊記《從A數到Z：我心儀的城市》、《里約的誘惑：回憶拉丁美洲》，回憶錄《小回憶》、《我的大學》，攝影集《從看見到發現》，以及科普著作《數之書》、《數學大歷史》，主編《現代詩110首》（藍、紅、黃卷）、《漫遊之詩》和《冥想之詩》等。

曾在紐約、巴黎、劍橋、洛杉磯、法蘭克福、墨西哥城、奈洛比等地舉辦詩歌朗誦會，攝影展則先後在深圳、杭州、南京、鄭州、合肥、上海、天津、休士頓等城市舉行。上大學時第一次見到火車，如今足跡已遍及包括埃及、巴比倫、印度、波斯、腓尼基、迦太基、馬雅、印加和希臘在內的一百多個國家和地區。

序言

輯一 數學的故事

從大禹治水到杜勒的〈憂鬱〉
馬可‧波羅和阿拉伯數字的旅行
公雞、母雞、小雞與兔子
黃金分割與五角星的故事
自行車的發明與黎曼幾何學
玄妙的統計：從諸葛亮借箭說起
恩尼格瑪，從戚繼光到圖靈

輯二 數學家的故事

第一個留名的泰勒斯
疇人之家出身的祖沖之
會造橋和打仗的秦九韶
拿破崙與他的數學家師友
皇帝、女皇與大數學家
婚禮，從婆什迦羅到拉馬努金
馮‧諾依曼的午餐和家教
戰俘營、棉花店與客座教授

輯三 有趣的數學問題

陰陽完全數的故事
埃及分數與狄多女王
回文數與角谷猜想
布豐的實驗與蒙特卡羅
堆球問題與克卜勒猜想

後記

獄中成才的彭賽列

數學史上不乏逆境成才的故事，也不乏謙讓或提攜後輩的故事，接下來我們要講述其中的幾則。前面我們談過法國「一代梟雄」拿破崙與他的三位數學家師友。事實上，還有一位更年輕的數學家彭賽列（Jean-Victor Poncelet），他可能從未見過拿破崙（至少沒有往來），卻與之共命運。不僅如此，他還因禍得福，成就了自己。

一七八八年，彭賽列出生在法國東北部名城梅斯，由於是私生子，從小被寄養在法德邊境小城聖阿沃爾德的親戚家中。中學時由於成績優秀，順利成為大學預科生。十九歲那年，他考入巴黎綜合理工學院，當時該校有許多知名教授，除了數學家出身的校長蒙日，還有物理學家安培（André-Marie Ampère）。大學三年級時彭賽列因為生病，成績下滑，回鄉進入一所軍事工程學院就讀，畢業後前往荷蘭西南部的要塞小島上工作。

不到半年，即一八一二年夏天，已加冕為皇帝的拿破崙一世未經宣戰便入侵俄國，不滿二十歲的彭賽列以工兵部隊中尉的身分隨軍前往。起初，快速推進的法軍迫使俄軍向後撤退。與此同時，俄軍也展開積極防禦，雙方均有不少傷亡。八月二十日，沙皇亞歷山大一世任命庫圖佐夫（M. I. Kutuzov）為俄軍總司令，戰事隨後升級。九月十三日，在一次大會戰中消滅近六萬法軍後，俄軍有計畫地撤出了莫斯科。

當時俄國的首都在聖彼得堡，疲憊的法軍雖然占領了莫斯科，卻未能獲得食物和休息，西郊還不時爆發小規模戰事。拿破崙試圖議和卻遭到拒絕，一個月後被迫從莫斯科撤退。又過了一個月，拿破崙下令全線撤退。十一月十八日，在莫斯科西南的克拉斯諾耶一役中，彭賽列被捕，被關押在俄國南方伏爾加河下游的薩拉托夫戰俘營裡長達一年半之久。

在獄中，彭賽列利用取暖的木炭在牆上作圖，探索幾何問題。由於手邊沒有參考資料，他便從最基本的理論開始研究，充分利用牢獄時光，也大大發揮了數學的自由本性，只要一張紙和一枝筆便可展開豐富聯想，只不過他的筆和紙比較特殊。彭賽列先著手研究純理論性的解析幾何，隨後研究圓錐曲線的投影性質，獨創中心投影法，也就是從投射中心出發，讓投射線交匯於一點的投影法，這是今日 3D 投影的出發點，更是彭賽列成為一名數學家的轉捩點。

一八一四年夏天，彭賽列被釋放回國，晉升為上尉，並在故鄉梅斯的兵工廠擔任工程師。他利用業餘時間繼續研究幾何學，還接連寫了幾篇重要的論文，包括《論圖形的射影性質》（Traité des propriétés projectives des figures）。彭賽列考察了無窮遠點消失或變為虛元素的點和線，引入了圓上無窮遠點、球上無窮遠圓等新概念，把針對圓錐曲線性質的研究轉化為對圓性質的研究，把一般四邊形問題轉化為平行四邊形問題。這篇論文對於十九世紀投影幾何的研究和發展具有決定性影響。

投影幾何是由十七世紀初的法國數學家笛沙格（Girard Desargues）創建的，以便回答文藝復興時期義大利畫家阿伯提（Leon Battista Alberti）提出的以下問題。當時，畫家利用透視原理畫模特兒或景物時，會在中間放一塊玻璃屏板，並在玻璃和畫布上都畫好方格。模特兒的影像穿透玻璃時會出現一個輪廓，畫家就能借此臨摹。阿伯提問，假如把玻璃平行移動一下，那麼新舊輪廓之間有何數學關係？這個問題讓數學家頭痛了兩個多世紀，最終被笛沙格解決了。

彭賽列成名後，把他在戰俘營裡的數學筆記本稱為「薩拉托夫備忘錄」。除了投影幾何，他也在應用力學領域做出了傑出貢獻。例如，他首次提出「力作功」的概念，把位移與力的投影之積稱為「功」，並以千克米為單位。一八三四年，彭賽列當選為法蘭西科學院院士，後又晉升為準將，並出任母校巴黎綜合理工學院校長。一八六八年，即他去世隔年，法蘭西科學院開始頒發獎勵力學家或應用數學家的彭賽列獎。

二戰期間，法國還有另外兩位大數學家在獄中做出重要發現。一位是讓.勒雷（Jean Leray），他在德軍俘虜營中待了五年，因為擔心被迫為德軍服務，隱藏自己在力學和流體動力學方面的技能，把研究興趣轉向理論性較強的拓撲學，並創立了層論。數論學家韋伊（Aandré Weil）因為不願當兵而逃往芬蘭，結果被俄軍逮捕，後來幾經周折回國後又被關進監獄，結果他靈感如泉湧。在寫給妻子的信上他說：「是否每年都要把我關上兩三個月呢？」一九七九年，讓.勒雷和韋伊雙雙獲得象徵終身榮譽的沃爾夫獎。

越戰期間，有位美國人也在獄中有所成就，他就是海軍中將史托戴爾（J. Stockdale）。一九六五年秋天，四十二歲的史托戴爾駕機執行任務時被越南炮兵擊落，成為級別最高的美國俘虜，在河內監獄待了七年半。在此期間，他利用自己的數學知識發明了一套密碼，供獄友交流之用。