數值計算方法及其程序實現(第2版)（簡體書）

本書旨在講述現代科學計算中常用的數值計算方法及其理論，包括插值法、數值積分和數值微分、非線性方程求根、線性方程組的迭代法和直接法、常微分方程的數值解法。每章都配有相應的習題和數值實驗題，書末附有部分習題答案和相關附錄。本書著重基本思想的闡述、內容的實用性和數值計算方法的應用。

目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 引論 1
導讀 1
1.1 數值計算方法 2
1.2 誤差的種類及其來源 12
1.3 絕對誤差和相對誤差 14
1.3.1 絕對誤差和絕對誤差限 14
1.3.2 相對誤差和相對誤差限 15
1.4 有效數字及其與誤差的關係 16
1.4.1 有效數字 16
1.4.2 有效數字與相對誤差的關係 17
1.5 誤差的傳播與估計 18
1.5.1 誤差估計的一般公式 19
1.5.2 誤差在算術運算中的傳播 20
1.6 算法的數值穩定性及其注意事項 23
1.6.1 算法的數值穩定性 23
1.6.2 數值計算中應該注意的問題 25
數值實驗 26
小結 29
習題1 29
實驗1 30
秦九韶簡介 30
主要參考文獻 31
第2章 插值方法 33
導讀 33
2.1 插值概念 34
2.1.1 多項式插值問題 34
2.1.2 插值多項式的存在唯一性 35
2.2 拉格朗日插值公式 36
2.2.1 兩點插值 36
2.2.2 三點插值 38
2.2.3 多點插值 40
2.2.4 插值余項 41
2.3 埃特金算法 44
2.4 埃爾米特插值公式 47
2.4.1 泰勒插值 47
2.4.2 埃爾米特插值 49
2.5 分段插值 52
2.5.1 高次插值的龍格現象 52
2.5.2 分段插值的概念 53
2.5.3 分段線性插值 53
2.5.4 分段三次埃爾米特插值 55
2.6 樣條插值 56
2.6.1 樣條函數的概念 56
2.6.2 三次樣條插值 57
2.6.3 三次樣條插值函數的導出 59
2.7 曲線擬合的最小二乘法 63
2.7.1 直線擬合 63
2.7.2 多項式擬合 65
2.7.3 其他擬合類型 66
數值實驗 67
小結 72
習題2 73
實驗2 74
拉格朗日簡介 76
主要參考文獻 77
第3章 數值積分與數值微分 79
導讀 79
3.1 數值積分基本概念 80
3.1.1 數值積分法 80
3.1.2 代數精度 81
3.2 插值型數值積分公式 83
3.2.1 低階插值型數值積分公式 83
3.2.2 牛頓-柯特斯公式 85
3.3 複合數值積分公式 87
3.3.1 複合梯形公式 87
3.3.2 複合辛普森公式 88
3.3.3 變步長梯形公式 90
3.3.4 龍貝格算法 93
3.4 高斯型數值積分公式 98
3.4.1 定義及其特徵 98
3.4.2 高斯公式的一般構造法 101
3.5 數值微分 102
3.5.1 差商與微商 102
3.5.2 插值函數與數值微分 103
3.5.3 數值積分與數值微分 105
數值實驗 105
小結 110
習題3 111
實驗3 112
勒讓德簡介 113
主要參考文獻 113
第4章 非線性方程求根 115
導讀 115
4.1 根的搜索 116
4.1.1 逐步搜索法(掃描法) 116
4.1.2 區間二分法 116
4.2 迭代法 118
4.2.1 迭代法的設計思想 118
4.2.2 線性迭代的啟示 120
4.2.3 壓縮映像原理(不動點原理) 121
4.2.4 迭代法的局部收斂性 125
4.2.5 迭代法的收斂速度 125
4.3 牛頓法 126
4.3.1 牛頓公式及誤差分析 126
4.3.2 牛頓法的局部收斂性 128
4.3.3 牛頓法的應用及算法 129
4.4 牛頓法的改進與變形 131
4.4.1 牛頓下山法 131
4.4.2 弦截法 134
4.4.3 快速弦截法 134
數值實驗 135
小結 145
習題4 145
實驗4 146
牛頓簡介 146
主要參考文獻 147
第5章 線性方程組的迭代法 149
導讀 149
5.1 雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法 150
5.1.1 雅可比迭代法 150
5.1.2 高斯-賽德爾迭代法 154
5.2 迭代法的收斂性 158
5.2.1 迭代收斂的概念 158
5.2.2 嚴格對角占優陣的概念 159
5.2.3 迭代收斂的一個充分條件 159
5.3 超鬆弛迭代 160
數值實驗 163
小結 168
習題5 168
實驗5 169
雅可比簡介 170
主要參考文獻 171
第6章 線性方程組的直接法 172
導讀 172
6.1 追趕法 173
6.1.1 二對角方程組的回代過程 173
6.1.2 追趕法 174
6.2 消去法 177
6.2.1 高斯消去法 177
6.2.2 高斯-若爾當消去法 182
6.2.3 高斯主元素消去法 183
6.3 收斂性 185
6.3.1 病態方程組 185
6.3.2 精度分析 189
數值實驗 189
小結 196
習題6 197
實驗6 198
高斯簡介 198
主要參考文獻 199
第7章 微分方程的數值解法 201
導讀 201
7.1 歐拉方法 202
7.1.1 歐拉格式 202
7.1.2 單步法的局部截斷誤差和階 205
7.1.3 梯形方法 206
7.1.4 改進的歐拉格式 207
7.2 龍格-庫塔方法 208
7.2.1 龍格-庫塔方法的設計思想 208
7.2.2 龍格-庫塔方法的推導 210
7.3 亞當姆斯方法 212
7.3.1 亞當姆斯格式 212
7.3.2 亞當姆斯預報-校正系統 214
7.4 收斂性和穩定性 214
7.4.1 收斂性 214
7.4.2 穩定性 215
7.5 方程組和高階方程的情形 216
7.5.1 一階方程組 216
7.5.2 高階方程 217
數值實驗 217
小結 222
習題7 223
實驗7 224
歐拉簡介 224
主要參考文獻 225
部分習題參考答案 227