程式設計必修的數學課

結城 浩
1963年生。2014年獲得日本数学会出版賞。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩／費馬最後定理》、2012《數學女孩／哥德爾不完備定理》、2013《數學女孩／隨機演算法》、2014《數學女孩／伽羅瓦理論》（世茂出版）、2016—2017《數學女孩秘密筆記》系列。

譯者簡介
衛宮紘
清華大學原子科學院學士班畢。現為自由譯者。譯作有《上司完全使用手冊》（東販）、《超慢跑入門》（商周）、《男人懂了這些更成功》（潮客風）、《世界第一簡單電力系統》（世茂）等。

第1章 0的故事
第2章 邏輯
第3章 剩餘
第4章 數學歸納法
第5章 排列組合
第6章 遞迴
第7章 指數爆發
第8章 不可計算的問題
第9章 程式設計必修的數學課

數學思維的例子
「數學思維」感覺過於抽象，以下就稍微舉例說明！

【條件分歧與邏輯】
在設計程式時，我們會根據條件來「分歧」處理，C、Java 等多數程式語言是使用if 敘述。若滿足條件，執行這邊的處理；若不滿足條件，執行那邊的處理，像這樣控制處理的流程。此時，我們是使用數學領域中的「邏輯」來控管程式，因此在程式設計上，必須熟習「且」「或」「非……」「若……則……」等邏輯要素。

【循環與數學歸納法】
為了處理大量資訊，我們會使用程式來執行「循環」。例如，使用for敘述能夠循環處理大量數據，而循環的基礎就是「數學歸納法」。【區分討論與計數原理】
在「區分討論」複數條件、數據時，程式設計師得注意絕對不能有所遺漏。此時，加法原理、乘法原理、排列組合等「計數原理」可帶來幫助。這是程式設計師應該不斷磨練的數學工具。
此外，本書也可學習遞迴、指數、對數、餘數等基本且重要的思維。

人類與電腦的共同戰線
我們編寫程式是為了解決單靠人類無法解決的問題，程式設計師理解問題、編寫程式後，由電腦執行該程式來解決問題。
人類不擅長反覆執行，一下子就會覺得厭煩並犯下錯誤，但卻擅長解決問題；電腦則擅長反覆執行，但無法自行解決問題。
換言之，解決問題需要結合人類和電腦的力量。
遭遇困難問題時，單靠人類或電腦並無法解決，但結合兩者之力就能迎刃而解。本書的目的之一就是描述人機合作的情況。
然而，編寫程式有其困難性，即便人機合作仍有無法解決的問題。本書中，我們也會探究人類和電腦的極限。
期望各位讀完本書後，能夠對人類使用程式與電腦協作有更深刻的理解。

0 的功用：確保場所
在本小節，我們來討論 0 的功用。例如，十進制 2503 的 0 發揮了什麼樣的功用？2503 的 0表示「沒有」十位，但就算「沒有」十位，2503 也必須寫出 0 。因為若省略 0 寫成 253 ，會變成其他的數。
在進位計數法，數位具有重要的意義，所以即便「沒有」十位的數，該處也必須放置數字。此時就輪到 0 登場了。0 的功用是確保場所，就像是支撐著上面的數位不讓它掉下來。
多虧「存在」用來表示「沒有」的 0 ，才能夠正確表達數目的意義。在進位計數法中，0 可說是不可欠缺的存在。

日常生活中的 0
在日常生活中，有時也可以看到用0表示「什麼都沒有」。

 沒有安排計畫的行程
我們會使用行事曆管理預定行程，在上頭填寫「文書工作」「出差」「研討會」等預定行程。那麼，相當於「0」的預定行程是什麼樣的行程呢？
例如，我們可以設定一個假想行程「空計畫」來表示「沒有安排計畫的行程」。在電腦的行事曆上檢索「空計畫」，就能夠找出有空閒的日子。如同尋找預定的行程，我們可以找到「沒有計畫」的行程。
另外，「不安排計畫的行程」也可想成是 0。事先在行事曆上填入「不安排計畫的行程」，就能預防生活全被工作埋沒。這跟進位計數法使用 0 來確保場所有幾分類似。

 沒有藥效的藥物
假設某病人必須規律服用某種膠囊藥物，每四天需停藥一天。換言之，需要反覆「服藥三天後休息一天」的循環。想要病人記住循環地持續服藥，是相當困難的事情。
因此，有人想出如下的點子：讓病人每天都服用膠囊藥物，但 4 粒膠囊裡面有 1 粒是「沒有任何效果」的假膠囊。若是能夠準備標有日期的藥盒，裡頭放入「今日藥物」就更好了。
如此一來，病人就不需要判斷「今天是不是服藥的日子？」多虧「沒有」藥效的藥物「存在」，才能產生「每天服用1粒膠囊」的簡化規則。
這個假膠囊，發揮了如同進位計數法中「0」的功用。