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目次
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本書的基本內容散見於近年的諸多文獻及作者近年的學術研究成果中。李群分析方法把群論中的代數方法和解析幾何中的微積分有機地結合在一起，可以用來求解眾多複雜微分方程系統，由此簡化微分方程所描述的物理問題的分析過程，尤其在處理非線性問題上已經成為除數值方法外最為有效和重要的方法之一。自求解複雜微分方程的李群方法被提出以來，此方法雖在理論分析方面相對成熟，但在應用方面相對薄弱。近年來，李群方法不僅在理論上取得了更大進展，而且在工程應用領域也獲得了廣泛關注，但目前國內對這方面的認識仍較為缺乏。
目次
目 錄
緒論.1
0.1 李群方法的基本介紹 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念與基本理論 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定義 4
1.1.2 無窮小變換 6
1.1.3 李**基本定理與無窮小生成元 7
1.1.4 正則坐標 14
1.2 微分方程延拓的無窮小生成元 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不變解與不變性準則 32
1.3.1 微分方程的不變解 33
1.3.2 常微分方程的不變性準則.33
1.3.3 偏微分方程的不變性準則.36
1.4 李第二、第三基本定理與李代數 40
第 2 章 整數階微分方程的不變解與精確解 44
2.1 常微分方程在正則坐標下的精確解.44
2.1.1 一階常微分方程情形 .44
2.1.2 二階常微分方程情形 .46
2.2 幾類偏微分方程的不變解與精確解.52
2.2.1 (1+1) 維熱方程情形 52
2.2.2 組合 KdV-mKdV 方程情形 55
2.2.3 (3+1) 維 Yu-Toda-Sasa-Fukuyama 方程情形.60
2.2.4 廣義 Kaup-Boussinesq 方程組情形 65
2.2.5 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.71
第 3 章 分數階微分方程的李群理論 77
3.1 Riemann-Liouville 分數階導數的基本概念.77
3.1.1 特殊函數 77
3.1.2 Riemann-Liouville 分數階導數的定義和性質 78
3.2 幾類分數階微分方程的不變性準則.79
3.2.1 分數階常微分方程情形.79
3.2.2 時間分數階偏微分方程情形 84
3.2.3 時間分數階偏微分方程組情形 91
3.3 幾類分數階微分方程的李群分析 93
3.3.1 分數階 Riccati 方程情形 93
3.3.2 線性時間分數階變系數偏微分方程情形 95
3.3.3 非線性時間分數階對流擴散方程情形 99
3.3.4 非線性時間分數階反應對流擴散方程情形 103
3.3.5 時間分數階耦合 It^o 方程組的不變解 111
第 4 章 偏微分方程守恒向量的構造 115
4.1 整數階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 115
4.1.1 共軛性概念 115
4.1.2 守恒向量定理 117
4.2 兩類整數階非線性偏微分方程的守恒向量構造 121
4.2.1 拓展的 (2+1) 維量子 Zakharov-Kuznetsov 方程情形 121
4.2.2 變系數 Davey-Stewartson 方程組情形 124
4.3 時間分數階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 130
4.3.1 共軛性概念 131
4.3.2 守恒向量定理 133
4.4 幾類時間分數階偏微分方程的守恒向量構造 134
4.4.1 時間分數階耦合 It^o 方程組情形 134
4.4.2 時間分數階變系數耦合 Burgers 方程組情形.136
4.4.3 時間分數階廣義 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 方程組情形.138
4.4.4 時間分數階耦合 Hirota 方程組情形 140
第 5 章 偏微分方程基於守恒向量的精確解求解 145
5.1 具有外部源的各向異性非線性擴散方程的精確解 145
5.1.1 非線性自共軛 145
5.1.2 守恒向量約化 148
5.1.3 穩態及非穩態精確解求解 152
5.1.4 修正守恒律下的精確解.157
5.2 具有外部源的各向異性波動方程的精確解 158
5.2.1 非線性自共軛 158
5.2.2 守恒向量約化 161
5.2.3 三角函數型精確解求解.164
5.3 一類非線性色散演化方程組的精確解 165
5.3.1 非線性自共軛 166
5.3.2 守恒向量構造 167
5.3.3 精確解求解 169
第 6 章 李群方法的其他應用 172
6.1 雙平方根利率期限結構方程的李群分析.172
6.1.1 無窮小生成元 173
6.1.2 不變解求解 173
6.2 Novikov 方程基於不變解的單尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 單尖峰孤子解 179
6.3 分數階微分{積分方程的李群分析.182
6.3.1 不變性準則 182
6.3.2 無窮小生成元 185
6.3.3 基於核函數和自由項的李群分析 188
參考文獻.191
附錄 96
附錄 A 無窮小生成元的 Maple 實現 196
A.1 組合 KdV-mKdV 方程情形 196
A.2 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.196
附錄 B Bernoulli 型輔助方程法 197
附錄 C tanh 函數型輔助方程法.198
附錄 D 分數階無窮小生成元相關推導 199
緒論.1
0.1 李群方法的基本介紹 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念與基本理論 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定義 4
1.1.2 無窮小變換 6
1.1.3 李**基本定理與無窮小生成元 7
1.1.4 正則坐標 14
1.2 微分方程延拓的無窮小生成元 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不變解與不變性準則 32
1.3.1 微分方程的不變解 33
1.3.2 常微分方程的不變性準則.33
1.3.3 偏微分方程的不變性準則.36
1.4 李第二、第三基本定理與李代數 40
第 2 章 整數階微分方程的不變解與精確解 44
2.1 常微分方程在正則坐標下的精確解.44
2.1.1 一階常微分方程情形 .44
2.1.2 二階常微分方程情形 .46
2.2 幾類偏微分方程的不變解與精確解.52
2.2.1 (1+1) 維熱方程情形 52
2.2.2 組合 KdV-mKdV 方程情形 55
2.2.3 (3+1) 維 Yu-Toda-Sasa-Fukuyama 方程情形.60
2.2.4 廣義 Kaup-Boussinesq 方程組情形 65
2.2.5 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.71
第 3 章 分數階微分方程的李群理論 77
3.1 Riemann-Liouville 分數階導數的基本概念.77
3.1.1 特殊函數 77
3.1.2 Riemann-Liouville 分數階導數的定義和性質 78
3.2 幾類分數階微分方程的不變性準則.79
3.2.1 分數階常微分方程情形.79
3.2.2 時間分數階偏微分方程情形 84
3.2.3 時間分數階偏微分方程組情形 91
3.3 幾類分數階微分方程的李群分析 93
3.3.1 分數階 Riccati 方程情形 93
3.3.2 線性時間分數階變系數偏微分方程情形 95
3.3.3 非線性時間分數階對流擴散方程情形 99
3.3.4 非線性時間分數階反應對流擴散方程情形 103
3.3.5 時間分數階耦合 It^o 方程組的不變解 111
第 4 章 偏微分方程守恒向量的構造 115
4.1 整數階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 115
4.1.1 共軛性概念 115
4.1.2 守恒向量定理 117
4.2 兩類整數階非線性偏微分方程的守恒向量構造 121
4.2.1 拓展的 (2+1) 維量子 Zakharov-Kuznetsov 方程情形 121
4.2.2 變系數 Davey-Stewartson 方程組情形 124
4.3 時間分數階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 130
4.3.1 共軛性概念 131
4.3.2 守恒向量定理 133
4.4 幾類時間分數階偏微分方程的守恒向量構造 134
4.4.1 時間分數階耦合 It^o 方程組情形 134
4.4.2 時間分數階變系數耦合 Burgers 方程組情形.136
4.4.3 時間分數階廣義 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 方程組情形.138
4.4.4 時間分數階耦合 Hirota 方程組情形 140
第 5 章 偏微分方程基於守恒向量的精確解求解 145
5.1 具有外部源的各向異性非線性擴散方程的精確解 145
5.1.1 非線性自共軛 145
5.1.2 守恒向量約化 148
5.1.3 穩態及非穩態精確解求解 152
5.1.4 修正守恒律下的精確解.157
5.2 具有外部源的各向異性波動方程的精確解 158
5.2.1 非線性自共軛 158
5.2.2 守恒向量約化 161
5.2.3 三角函數型精確解求解.164
5.3 一類非線性色散演化方程組的精確解 165
5.3.1 非線性自共軛 166
5.3.2 守恒向量構造 167
5.3.3 精確解求解 169
第 6 章 李群方法的其他應用 172
6.1 雙平方根利率期限結構方程的李群分析.172
6.1.1 無窮小生成元 173
6.1.2 不變解求解 173
6.2 Novikov 方程基於不變解的單尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 單尖峰孤子解 179
6.3 分數階微分{積分方程的李群分析.182
6.3.1 不變性準則 182
6.3.2 無窮小生成元 185
6.3.3 基於核函數和自由項的李群分析 188
參考文獻.191
附錄 96
附錄 A 無窮小生成元的 Maple 實現 196
A.1 組合 KdV-mKdV 方程情形 196
A.2 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.196
附錄 B Bernoulli 型輔助方程法 197
附錄 C tanh 函數型輔助方程法.198
附錄 D 分數階無窮小生成元相關推導 199
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