混沌理論（簡體書）

下文介紹的“混沌”反映的是數學和各門科學中的現象，是系統；在這樣的系統中，（沒有作弊的情況下）當前事物的微小差異會對未來事物產生巨大影響。當然，如果事物都是隨機發生，或者所有事物持續激增，永無止境，那就是作弊了。本書勾畫出精彩的豐富內容，這些內容遵從我們稱之為敏感性、決定論性和常返性的三個簡單約束條件。這三個約束條件容許了數學混沌的存在：看似隨機實則不然的行為。當假定為預報中有效成分的一點不確定性被容許時，混沌便重新點燃了長達數個世紀的關於世界性質的爭論。
本書自成體系，如果遇到術語，則對其加以界定。筆者的目標是要展示混沌是什麼，在何處，怎麼樣，同時避開任何需要高等數學背景的“為什麼”議題。幸好，對混沌和預報的描述很適於采用圖形化、幾何化的理解。我們對混沌的考察將把我們帶到未經方程的可料性這一研究前沿，揭示對天氣、氣候及其他相關真實世界現象正在進行的科學研究中的未決問題。
如果把近期大眾對混沌學的興趣與百年前對科學的興趣爆炸拿來比較，就會發現這兩者演化的進程不盡相同；當時，狹義相對論觸動了大眾敏感的神經，且其影響在此後的數十年間歷久不衰。科學對數學混沌的擁抱為什麼會引起公眾不同的反應呢？或許其中一個區別在於，我們中的大多數人早就知道極微小的差異有時會造成巨大的影響。現在稱之為“混沌”的概念既源自科學幻想，亦源自科學事實。確實，這些理念在被接受為事實之前，已經在虛構故事中深深扎下了根：或許公眾對混沌的影響已經極為熟稔，而科學家還在當他們的鴕鳥？偉大的科學家與數學家有足夠的勇氣和洞察力來預見混沌的到來，但是直到最近，主流科學仍在要求一個優質的解應該循規蹈矩：分形物件和混沌曲線被認為不僅是離經叛道的，而且是提法錯誤的問題的標志。對數學家來說，幾乎沒有什麼指控比暗示自己的職業生涯浪費在提法錯誤的問題上更為丟臉了。對那些甚至在理論上也被認為是無法復制其結果的問題，有些科學家仍然感到厭惡。混沌要求的解只是到了近期才在科學圈子裡被廣泛接受，而通常專屬於“專家”的“我早就告訴過你”的得意這次卻被公眾搶先一步享用了。這也說明了為什麼在數學和各門科學中經過了廣泛培育的混沌，卻在氣象學、天文學等應用科學中扎下了根。應用科學受到理解和預測現實的願望之驅使，這一願望克服了當今形式數學的細枝末節，不論這些細枝末節是什麼。這對能夠跨越世界模型和世界本身之間的分歧的極少數個體提出了要求，同時又不令這二者錯綜難分；這些個體能夠區分現實和數學的區別，從而拓展數學的領域。
正如本系列其他各本_樣，篇幅的限制常要求我們對整個整個的研究項目一帶而過或是完全忽略；筆者展示了一些在不同語境中反復出現的主題，而不是一系列粗淺的描述。對於研究工作未能收入本書的，筆者在此對他們表示歉意。同時還要感謝盧恰娜·奧弗萊厄蒂（Luciana O'Flaherty，筆者的編輯）、溫迪·帕克（Wendy Parker）和林·格洛弗（Lyn Grove），她們為區分筆者最感興趣的內容和讀者可能感興趣的內容提供了幫助。

圖目 /VI
前言 /IX
第一章 混沌的萌芽 /1
第二章 指數性增長、非線性與常識 /31
第三章 語境中的混沌：決定論性、隨機性與噪聲 /47
第四章 數學模型中的混沌 /83
第五章 分形、奇異吸引子與維數 /107
第六章 量化不確定性的動力學 /123
第七章 真實的數字、真實的觀測結果， 以及計算
機 /148
第八章 抱歉，數字錯了：統計與混沌 /161
第九章 可料性：混沌能夠約束預報嗎？ /178
第十章 應用混沌學：我們能夠看透模型嗎？ /191
第十一章 混沌中的哲學 /222
詞匯表 /235

混沌對統計估計構成了新的挑戰，但是，看待這些挑戰應該通盤考慮統計學家數百年來所應對的問題。分析出自模型本身的時間序列時，我們可以從統計的角度和良好統計實踐的基本法則中收獲不少洞見。然而物理學家在比較混沌模型和真實世界觀測結果的時候，面臨“蘋果和橘子”的難題；這將統計的角色置於相對陌生的語境中。對混沌系統的研究已經闡明了情勢究竟有多晦暗不明。即便是在如何根據帶噪聲的觀測結果估計某一系統現行狀態的問題上，都存在著分歧，這一點甚至在我們還未開始前就對是否能夠作出預報造成了阻礙。若是這個領域取得了進步，則一系列迥然相異的議題，從預見明天的天氣到影響50年後氣候的變化，都會結出果實。極限的統計和統計的極限
試考慮估計某個特定的統計量，比如全人類的平均身高。在“全人類”的人口定義問題上可能出現分歧（於2000年1月1日在世的人口？今天在世的人口？所有曾經活在這個世界上的人口？……），但我們還不必為此分神。既然這一人口當中每個成員的身高切實存在，那麼一個明確的數值便也切實存在，我們只是不知道這個值是什麼。取自樣本人口的平均身高稱為樣本均值。盡管統計學家在該數值與期望的所有人口均值的關係問題上存在意見分歧，所有人即都認可這個值。（嗯，是幾乎所有人都認可。）但是，樣本李雅普諾夫指數則不同。我們尚不清楚混沌的樣本指數是否可以通過任何合理的方式獨一無二地加以定義。
這裡面有若幹原因。首先，計算分形維數、李雅普諾夫指數等混沌的統計量需要取的極限長度小到難以覺察，極限時間間隔則無限長。這樣的極限不可能依據觀測結果得出。其次，混沌研究已經為我們提供了根據數據制作模型的新方法，這些方法無需準確說明究竟是如何建模的。不同的統計學家根據同一數據集可能得出大相徑庭的樣本統計，這一點使混沌的統計大大有別於樣本均值。混沌改變了“優質”的含義
許多模型都含有“自由”參數，也就是說，我們尚不知道準確數值的不同於光速、冰點這樣的參數。那麼，在模型中我們怎樣給出參數的最優值呢？如果模型的目的是為了作出預報，要是某個其他的參數值能夠提供更好的預報，我們為什麼要采用來自實驗室或某個基本理論的數值呢？為混沌系統建模甚至已迫使我們重新評估，並且可以說重新定義“更佳”這個詞。
在弱版本的完美模型情景中，該模型與生成數據的系統有著別無二致的數學結構，只是我們不知道“真”參數值是什麼。假設我們知道數據是由“邏輯斯諦映射”生成的，卻不知道α值。在此例中，有一個相當明確的“最優”：生成了數據的參數值。如果擁有一個觀測不確定性的完美噪聲模型，考慮到過去帶噪聲的觀測結果，我們如何才能提取可用於明天的最優參數值呢？
倘若模型為線性，則幾個世紀以來的實踐和理論知識表明，最優參數是其預測最接近目標的值。這裡我們得小心，不要過度調整模型，以免新的觀測結果無法使用，但這個問題是統計學家早已熟知的。只要模型是線性的，且觀測噪聲得自鐘形分布，我們便有一個本能地具有吸引力的標的，也就是，極小化預報與目標之間的距離。距離是以通常的最小二乘法定義的：基於狀態每一分量中差的平方和。隨著數據集的增大，估計的參數值會越來越靠近生成數據的參數值；當然，這是在假設線性模型確實生成了數據的情況下。但是，倘若模型為非線性呢？
遇到非線性的情況，我們幾個世紀以來積累的直覺即使算不上是障礙，也可說是幹擾。最小二乘法甚至會害得我們偏離正確的參數值。未能就這一簡單事實作出應對，這對科學建模產生的負面影響可沒法輕描淡寫地蒙混過去。
……