數值計算方法（簡體書）

本書主要介紹了數值計算方法的基本內容，主要包括引論、線性方程組數值方法、非線性方程(組)數值方法、函數插值、函數逼近、矩陣特徵值與特徵向量的數值方法、數值積分及數值微分、常微分方程的數值方法等，在每章內容中都附有一些思考問題，激發學生對本章相關內容進行思考。本書內容比較全面，系統性較強，基本概念清晰準確，語言敘述通俗易懂，理論分析科學嚴謹，結構編排由淺入深，注重啟發性，易於教學。每章後面都附有一定數量的習題，供讀者學習時進行練習。 本書可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、計算機科學等高年級本科生教材或參考用書，也可供從事科學與工程計算的科技工作者參考。

第1章 引論
1.1 數值計算方法的研究內容
1.2 誤差基礎知識
1.2.1 誤差來源與分類
1.2.2 絕對誤差和相對誤差
1.2.3 有效數字
1.2.4 數據誤差在運算中的傳播
1.3 數值計算中應注意的問題
1.3.1 算法的數值穩定性
1.3.2 避免誤差的若干原則
習題1
第2章 線性方程組數值方法
2.1 高斯消去法
2.1.1 高斯順序消去法
2.1.2 高斯主元消去法
2.2 矩陣的三角分解
2.2.1 直接三角分解法
2.2.2 平方根法
2.2.3 解三對角方程組的追趕法
2.3 向量範數與矩陣範數
2.3.1 向量範數
2.3.2 矩陣範數
2.4 矩陣的條件數與方程組的性態
2.5 線性方程組的迭代解法
2.6 基本迭代法
2.6.1 雅克比迭代法(J迭代法)
2.6.2 高斯-賽德爾迭代法(GS迭代法)
2.6.3 逐次超鬆弛迭代法(SOR迭代法)
2.7 迭代法的收斂性
2.7.1 一般迭代法的基本收斂定理
2.7.2 J迭代法和GS迭代法收斂判定定理
2.7.3 SOR迭代法收斂性判定定理
2.8 最速下降法與共軛梯度法
2.8.1 最速下降法
2.8.2 共軛梯度法
習題2
第3章 非線性方程(組)數值方法
3.1 二分法
3.1.1 逐步搜索法
3.1.2 二分法
3.2 迭代法
3.2.1 不動點迭代法
3.2.2 不動點迭代的一般理論
3.3 加速迭代收斂的方法
3.3.1 兩個迭代值組合的加速方法
3.3.2 三個迭代值組合的加速方法
3.4 牛頓迭代法
3.4.1 單根情形的牛頓迭代法
3.4.2 重根情形的牛頓迭代法
3.4.3 牛頓下山法
3.5 弦割法與拋物線法
3.5.1 弦割法
3.5.2 拋物線法
3.6 非線性方程組零點的迭代方法
3.6.1 實值向量函數的基本概念與性質
3.6.2 壓縮映射原理與不動點迭代法
3.6.3 牛頓迭代法
習題3
第4章 函數插值
4.1 多項式插值問題
4.1.1 代數插值問題
4.1.2 代數插值多項式的存在性與唯一性
4.1.3 誤差估計
4.2 拉格朗日插值法
4.2.1 拉格朗日插值基函數
4.2.2 拉格朗日插值多項式
4.2.3 拉格朗日插值法截斷誤差及其實用估計
4.2.4 拉格朗日反插值方法
4.3 牛頓插值法
4.3.1 差商的概念與性質
4.3.2 牛頓插值公式
4.4 等距節點插值公式
4.4.1 差分的定義及運算
4.4.2 差分與差商的關係
4.4.3 等距節點插值公式
4.5 埃爾米特插值公式
4.5.1 一般情形的埃爾米特插值問題
4.5.2 特殊情況的埃爾米特插值問題
4.6 分段低次插值
4.7 三次樣條插值方法
4.7.1 三次樣條插值的基本概念
4.7.2 三彎矩插值法
4.7.3 樣條插值函數的誤差估計
習題4
第5章 函數逼近
5.1 內積與正交多項式
5.1.1 權函數
5.1.2 內積定義及性質
5.1.3 正交性
5.1.4 正交多項式系的性質
5.2 常見正交多項式系
5.2.1 勒讓德多項式系
5.2.2
第一類切比雪夫多項式系
5.2.3
第二類切比雪夫多項式系
5.2.4 拉蓋爾多項式系
5.2.5 埃爾米特多項式系
5.3 最佳一致逼近
5.3.1 最佳一致逼近概念
5.3.2 最佳逼近多項式的存在性及唯一性
5.3.3 最佳逼近多項式的構造
5.4 最佳平方逼近
5.4.1 最佳平方逼近的概念
5.4.2 最佳平方逼近函數的求法
5.4.3 正交多項式作基函數的最佳平方逼近
5.5 曲線擬合的最小二乘法
5.5.1 最小二乘曲線擬合問題的求解及誤差分析
5.5.2 多項式擬合的求解過程
5.5.3 正交函數系的最小二乘曲線擬合
5.5.4 用最小二乘法求解超定方程組
習題5
第6章 矩陣特徵值與特徵向量數值方法
6.1 預備知識
6.2 乘冪法
6.2.1 主特徵值與主特徵向量的計算
6.2.2 加速收斂技術
6.3 反冪法
6.4 雅克比方法
6.5 QIR方法
6.5.1 反射矩陣
6.5.2 平面旋轉矩陣
6.5.3 矩陣的QR分解
6.5.4 豪斯霍爾德方法
6.5.5 QR方法的收斂性
6.6 對稱三對角矩陣特徵值的計算
6.6.1 對稱三對角矩陣的特徵多項式序列及其性質
6.6.2 實對稱三對角矩陣特徵值的計算
習題6
第7章 數值積分及數值微分
7.1 數值積分的基本概念
7.1.1 數值求積的基本思想
7.1.2 插值型求積公式
7.1.3 代數精度
7.2 牛頓-柯特斯求積公式
7.2.1 牛頓-柯特斯公式
7.2.2 幾個低階求積公式
7.3 複化求積方法
7.3.1 複化求積公式
7.3.2 變步長求積公式
7.4 龍貝格求積公式
7.4.1 龍貝格求積公式的推導
7.4.2 龍貝格求積算法的計算步驟
7.5 高斯型求積公式
7.5.1 高斯型求積公式的理論
7.5.2 幾個常用高斯型求積公式
7.6 二重積分的求