給忙碌青少年講數學之美：發現數字與生活的神奇關聯（簡體書）

2014 年，伊朗人瑪麗安·米爾札哈尼成為第一位獲得數學最高榮譽菲爾茲獎的女性。在她看來，數學常常讓人感覺像是“迷失在叢林中，你必須利用所有你可以找到的知識去尋找新的技巧”。“再加上一些運氣，”她補充說，“你也許可以找到一條出路。”

2017 年7 月，年僅40 歲的米爾札哈尼去世。她比大多數人更深入地涉足數學叢林。這本書正是為那些徘徊在外圍想要了解這門學科的人準備的。

不管願不願意，我們大多數人都已經對數學領域有了一些了解。這裡有符號、方程和幾何圖形，也有存在正確答案的問題、看似普適的真理以及邏輯上無懈可擊的證明。最重要的是，這裡都有數字。

但是，它們是如何聯系在一起的呢？是什麼使得數字和數學變得如此特別—並且，其中的一些數字和數學顯得更為特別呢？這是一個十分寬泛的主題，很難給出一個全面的概述。但是，我們希望通過借鑒頂尖研究人員和《新科學家》最出色的思想勾勒出一幅圖景。

在簡要介紹數學性質和涉及的範圍之後，我們從數學開始的地方—數字的迷人性質談起。我們先來了解零、無窮、素數和不可忽視的古怪數，如“超越數”e、π 和虛數單位i。在對概率和統計問題簡要介紹後，我們來到現代數學方法的前沿，舉例說明如何將其應用到生活中某些意想不到的領域，最後再考慮所有問題中最深層次的問題：數學到底是如何與現實關聯的？

對於許多局外人而言，數學的奇妙之處在於，它似乎是一種幫助我們更好地了解世界的通用語言。許多從事數學研究的工作者都會同意這種說法，但是他們補充說，它的美在於如何從簡單開始，僅使用最純粹的抽象邏輯就可以建造一個似乎超越我們自己的世界。

米爾札哈尼研究了模空間的幾何，模空間可以被設想為一個宇宙，在它上面的每一個點本身也是一個宇宙。她描述了光束在二維宇宙中以閉環形式傳播的方式—這個答案你不可能在你所在的宇宙中找到，只能通過進入整個多重宇宙中才能找到。

這是我們大多數人無法想象的。但是，我希望本書能為你提供一次滿意的數學發現之旅，至少是一個入門指南。

1 數學是什麼

2 零

3 無窮大

4 素數

5 π、φ、e 和i

6 概率論、隨機性和統計學

7 數學中的難題

8 日常生活中的數學

9 數字與現實

10 結論

49 個想法

名詞表

如何思考數學

數學從業者是如何進行數學思考的？英國華威大學的伊恩·斯圖爾特認為研究這一問題的學科類似於一門語言，但是由於其內在的邏輯性，這門語言可以自我發展。他說：“你可以在不確切知道它們是什麼東西的情況下開始寫，而語言會為你提供建議。”掌握足夠的基礎知識，你就可以快速進入球類運動員所稱的“區域”。斯圖爾特發現，在這種狀態下，事情變得簡單了許多，你會被數學推著向前走。

但是，如果你缺乏這樣的數學能力呢？數學家兼作家亞歷克斯·貝羅斯認為，將這一切都歸功於天賦是錯誤的：即使是最好的數學理論領軍人物，可能也需要幾十年才能掌握他們的技藝。他認為人們不懂數學的原因之一就是他們根本沒有足夠的時間來學習。

勾勒出問題的輪廓會對解決問題有所幫助。比如負數。五只羊很容易想象，但是想象負五只羊真的有點難。只有當有人想出了一個聰明的主意，將所有現有數字0，1，2，3……排列在一條直在線時，負數的位置才變得明顯。同樣的情況，復數只有在描述它們的“復平面”出現後才真正興起（請參閱第5 章）。

類比也是有幫助的。斯圖爾特的建議是，如果想到橢圓時會給你壓力，那麼想象一個被壓扁的圓圈，然後從那兒開始思考。總的來說，與把數學作為一門死板的邏輯學科的印象相反，解決任何問題的最好辦法往往是對它進行簡短的概述，跳過你無法解決的問題，然後回頭補全細節。很多數學家說過，能夠進行模糊思考是很重要的。