彈性轉子動力學（簡體書）

《彈性轉子動力學》系統闡述了彈性轉子動力學的基礎理論和分析方法，主要內容包括彈性轉子的渦動特性、彈性盤-軸轉子系統的渦動特性、旋轉彈性板轉子系統的渦動特性、旋轉大撓度彈性板的非線性動力學特性、充液彈性轉子系統的渦動特性、彈性盤片軸耦合轉子系統的渦動特性、葉盤轉子熱-流-彈多場耦合的動力學特性等。

目錄
前言
第1章 彈性體的動力學理論基礎 1
1.1 彈性體的動力學方程 1
1.1.1 彈性體的基本動力學方程 1
1.1.2 彈性體系統的變分原理 3
1.2 彈性系統的應變能與動能 4
1.2.1 應變能 5
1.2.2 動能 8
1.3 彈性體動力學近似求解方法 11
1.3.1 瑞利法 11
1.3.2 裡茨法 14
1.3.3 伽遼金法 16
1.3.4 有限單元法 17
1.4 彈性體動力學方程的數值求解方法 21
1.4.1 Wilson-θ法 21
1.4.2 Newmark法 25
1.4.3 龍格-庫塔法 27
1.4.4 精細積分法 29
第2章 彈性轉子的渦動特性 33
2.1 彈性轉子旋轉梁模型的渦動 33
2.1.1 基於Rayleigh梁的動力學模型 33
2.1.2 基於Timoshenko梁的動力學模型 35
2.1.3 基於Bernoulli-Euler梁的動力學模型 36
2.1.4 彈性轉子自由渦動的解析解 36
2.2 含剛性圓盤的彈性轉子動力學特性 38
2.3 受周期移動載荷的彈性轉子渦動 43
2.3.1 運動微分方程 44
2.3.2 外載荷分析 46
2.3.3 離散化控制方程 47
2.4 彈性轉子離散化方法的計算實例 48
2.4.1 集總參數法 48
2.4.2 變速器齒輪傳動系統的分析實例 49
第3章 彈性盤-軸轉子系統的渦動特性 55
3.1 彈性盤-軸轉子系統模型 55
3.1.1 轉子系統坐標系 55
3.1.2 旋轉彈性盤的動力學模型 56
3.1.3 彈性盤-軸轉子系統的動力學模型 59
3.2 單彈性盤-軸轉子系統的動力學特性 65
3.3 雙彈性盤-軸轉子系統的動力學特性 69
3.4 滑動軸承支承下彈性盤-軸轉子的動力響應 71
3.4.1 油膜力引起轉子系統失穩的機理 71
3.4.2 軸承油膜力模型 73
3.4.3 軸承-轉子系統的動力學模型 77
3.4.4 軸承-轉子系統的非線性動力學特性 80
3.5 氣流激振力作用下彈性盤-軸轉子的動力響應 99
3.5.1 氣流激振力引起轉子失穩的機理 99
3.5.2 氣流激振力模型 101
3.5.3 氣流激振力下彈性盤-軸轉子系統的動力學模型 104
3.5.4 氣流激振力下彈性盤-軸轉子系統的動力學響應 105
第4章 旋轉彈性板轉子系統的渦動特性 118
4.1 旋轉彈性板轉子系統的動力學模型 118
4.2 旋轉彈性板轉子系統的動力學響應 122
4.2.1 動力學響應的解析解 122
4.2.2 基於差分法的動力學響應的數值解 128
4.3 旋轉彈性板轉子系統的固有特性 130
4.4 旋轉彈性板碰摩的動力學響應 134
4.4.1 動力學模型 134
4.4.2 碰摩薄板振動的解析解 137
4.4.3 旋轉彈性板碰摩的動力學特性 140
4.5 基礎激勵下旋轉彈性板碰摩的動力學響應 145
4.5.1 動力學模型 145
4.5.2 基礎激勵下旋轉彈性板碰摩解析解 148
4.5.3 基礎激勵下彈性板碰摩的動力學特性 151
4.6 熱衝擊下旋轉彈性板碰摩的動力學響應 154
4.6.1 旋轉彈性板熱彈耦合的理論基礎 154
4.6.2 碰摩彈性板的熱衝擊動力學模型 155
4.6.3 旋轉彈性板熱衝擊振動解析解 158
4.6.4 熱衝擊下旋轉彈性板碰摩的動力學特性 164
第5章 旋轉大撓度彈性板的非線性動力學特性 169
5.1 旋轉大變形板振動的高階非線性效應 169
5.1.1 中心剛體-旋轉大變形板的變分原理 169
5.1.2 中心剛體-旋轉大變形板的動力特性 175
5.2 旋轉大變形板碰摩的非線性振動特性 179
5.2.1 非線性動力學模型 179
5.2.2 大撓度的非線性動力學特性 193
5.3 熱衝擊下旋轉大變形板碰摩的非線性振動特性 199
5.3.1 旋轉大變形板熱衝擊-碰摩耦合的動力學模型 200
5.3.2 旋轉大變形板碰摩的動力學特性 211
5.3.3 轉子系統非線性振動的分岔與混沌 216
第6章 充液彈性轉子系統的渦動特性 223
6.1 充有理想流體的彈性轉子的動力穩定性 223
6.1.1 腔內流體作用力的解析式 223
6.1.2 轉子系統穩定性 227
6.1.3 轉子系統穩定性的影響因素 229
6.2 充有黏性流體的彈性轉子的渦動穩定性 232
6.2.1 腔內流體作用力的解析式 232
6.2.2 轉子系統渦動的特徵方程 236
6.2.3 轉子系統的穩定性及其影響因素 240
6.3 充液彈性轉子系統的渦動特性 244
6.4 充液彈性轉子系統的動力學響應 247
6.4.1 流體動壓力的分布特性 247
6.4.2 充液彈性轉子系統的穩態動力學響應 262
第7章 彈性盤片軸耦合轉子系統的渦動特性 268
7.1 盤片軸耦合轉子系統動力學響應的解析解法 268
7.1.1 動力學模型 268
7.1.2 運動微分方程 270
7.1.3 自由振動轉子系統的固有特性 274
7.2 盤片軸一體化結構分析的預應力模態綜合法 275
7.2.1 預應力模態綜合法理論 275
7.2.2 盤片軸系統的強迫激勵力模型 277
7.2.3 預應力模態綜合法的分析流程 278
7.3 整體葉盤耦合結構的動力學特性 280
7.3.1 整體葉盤的動力學模型 280
7.3.2 整體葉盤耦合結構的模態分析 281
7.3.3 整體葉盤結構的振動響應 285
7.4 盤片軸一體化結構的動力學特性研究 291
7.4.1 盤片軸一體化結構的動力學模型 291
7.4.2 盤片軸一體化結構的模態 295
7.4.3 盤片軸一體化結構的動力學響應 297
第8章 葉盤轉子熱-流-彈多場耦合的動力學特性 300
8.1 彈性葉盤轉子的動力學模型 300
8.1.1 葉盤轉子系統的受載情況 300
8.1.2 榫接觸葉盤轉子的動力學模型 301
8.1.3 失諧參數的剛度識別方法 307
8.2 彈性葉盤轉子多場耦合的動力學分析方法 309
8.2.1 葉盤轉子熱-流場力學特性的分析方法 310
8.2.2 葉盤轉子熱-流-彈多場耦合動力學特性分析方法 314
8.3 基於Kriging法耦合界面的數據傳遞 319
8.3.1 Kriging模型理論 319
8.3.2 載荷數據的傳遞過程 320
8.4 熱-流-彈多場耦合的動力學特性 320
8.4.1 熱-流-彈多場耦合的分析結果及迭代收斂性 320
8.4.2 三類數據的傳遞精度 326
8.4.3 失諧對葉片-輪盤系統的影響 330
主要參考文獻 332

第1章 彈性體的動力學理論基礎

結構動力學分析理論一般可以分為集中質量與彈性體兩個部分。雖然所有結構都具有質量，但在計算精度允許的情況下進行簡化處理時，可以將結構看成是由具有有限數量的點質量的剛性體和無質量的變形體組成的，即為集中質量分析理論。彈性體動力學理論則將結構的質量和剛度均視為連續分布，具有無窮多質量點組成，其分析結果較集中質量法省去了簡化過程，因此具有更高的計算準確度，但分析過程更為複雜與困難。本章將介紹彈性體分析的基礎性理論，為後續章節中的分析計算提供理論基礎。

1.1 彈性體的動力學方程

彈性體動力學分析可以按照微元體的動態平衡建立基本微分方程，但按照能量觀點建立的變分方程可更廣泛地應用於梁、板、殼等各類結構動力學分析，該方法涉及動力學變分原理，同時還需要考慮動能、變形能及外力功等概念。

1.1.1 彈性體的基本動力學方程

利用直角坐標系將彈性體內任一點的位移投影到x、y、z三個軸上，位移分量通常用u、v、w表示，沿坐標軸正向為正，反向為負。在外載荷的作用下，彈性體將產生應力與應變，六個應變分量分別表示如下：沿x、y、z方向的正應變為、、；y與z、z與x、x與y兩方向的剪應變分別為、、。正應變以伸長為正，縮短為負，剪應變以直角變小為正，變大為負。在直角坐標系中，取出正六面彈性微元體，它的各個面與坐標軸垂直，每個面存在一個正應力和兩個切應力，垂直於x、y、z軸的正應力分別表示為、、，切應力分別為、、、、、，下標中前一個坐標表示作用面垂直於該坐標軸，後一個坐標表示作用方向沿著該坐標軸，根據微元體的力矩平衡可得出

(1.1-1)

通過幾何學推導，可以建立形變分量與位移分量。如果忽略高階微量，那麼對於微小形變和位移可列出六個幾何方程：

(1.1-2)

對於完全彈性的各向同性體，形變分量與應力分量之間的關係有下列六個物理方程，即胡克定律：

(1.1-3)

式中，E為彈性模量；G為剪切模量；為泊松比，這三者的關係為

(1.1-4)

對於一般勻質的各向同性體，這些彈性常數均不是坐標、時間和方向的函數。由式(1.1-3)可解得應變分量表示的應力分量表達式：

(1.1-5)

式中，e為體積應變，其表達式為

(1.1-6)

在直角坐標系中，根據取出的正六面彈性微元體的受力平衡，計入體積力沿三個坐標的分量Fx、Fy、Fz及運動慣性力，可以得到運動微分方程：

(1.1-7)

式中，為彈性體單位體積的密度。將幾何方程式(1.1-2)代入物理方程式(1.1-5)，然後再代入運動微分方程式(1.1-7)，就可以得到彈性體動力學的基本方程。

1.1.2 彈性體系統的變分原理

彈性體因受力發生形變，在內部產生相應的應變和應力，具有一定的彈性形變勢能，其單位體積的形變勢能或稱比能為

(1.1-8)

它與六個應變分量和六個應力分量有關。將其代入物理方程式(1.1-5)可以單獨用應變分量表示為

(1.1-9)

若代入物理方程式(1.1-3)，可單獨用應力分量表示為

(1.1-10)

將幾何方程式(1.1-2)代入式(1.1-9)中，並在整個彈性體內積分，可得彈性體形變勢能或變形能的一般表達式

(1.1-11)

式(1.1-11)中，位移分量u、v、w均是時間的函數，因此變形能也為時間的函數。

彈性體運動過程中各質量點具有速度，將產生動能T，對於靜止的彈性體動能可以表示為

(1.1-12)

對於彈性轉子，動能將含有由旋轉引起的科氏力與陀螺效應等表達式，這在第3～5章中將具體介紹。在彈性體動力學中，可採用與彈性力學的最小勢能原理相對應的位移變分原理獲得系統的運動微分方程，即哈密頓(Hamilton)原理。它指出從到狀態過程中，滿足位移邊界條件的所有可能的幾何運動狀態中真實的運動狀態滿足如下表達式：

(1.1-13)

式中，、、為體積力分量；、、為在給定力邊界條件面s上作用的面載荷分量。將式(1.1-13)經變分運算及分部積分可得到

(1.1-14)

以式(1.1-12)所示的動能為例，代入式(1.1-13)中，經變分運算可以得到下列方程：

(1.1-15)

式中，l、m、n為彈性微元體截面外法線N的方向余弦，其具有如下關係式：

(1.1-16)

由於幾何可能位移、、的任意性，必然有其前面的每個表達式為零才能使式(1.1-14)成立。於是可以得到由式、、確定的運動微分方程和由式、、確定的力的邊界條件，顯然這是運動狀態的真正解，也就是說式(1.1-14)是和運動方程及邊界條件等價的。因此，滿足位移邊界條件的位移解可以通過變分方程式(1.1-14)來求取真正解，而不需要1.1.1節中的各基本方程。利用變分原理求解彈性體動力學問題較為簡單，也是廣泛採用的方法。

1.2 彈性系統的應變能與動能

能量原理在彈性體動力學中有著重要的應用，它從功和能的角度出發，得到了一系列很重要的定理，對於建立運動微分方程，尤其是求解這些微分方程時，應用這些定理，可以獲得較大的方便，下面介紹彈性體涉及的能量方程。

1.2.1 應變能

當彈性體受到外力作用時，將發生體積或形狀的改變，彈性系統內將產生應變能，這類應變能是存儲在彈性系統內部的能量，它屬於彈性體的勢能。應變能是狀態函數，其大小只與彈性體的變形狀態有關，而與如何達到這個狀態沒有關係。彈性體單位體積的應變能表達式如式(1.1-8)所示。下面介紹常見的多種類型的彈性體的應變能計算結果。

1.受拉直桿的應變能

直桿軸力為N，截面積為A，桿長為L，材料的彈性模量為E。彈性直桿的軸力與應力、應變及位移之間的關係為

(1.2-1)

將式(1.2-1)代入式(1.1-8)，並考慮物理方程式(1.1-3)，可以得到

(1.2-2)

因此全桿長的應變能可以表示為

(1.2-3)

2.扭轉變形下直桿的應變能

參照直桿拉伸的應變能和應變余能，可得到直桿扭轉的應變能為

(1.2-4)

式中，為直桿的扭轉角；G為材料的剪切彈性模量；Jd為扭轉轉動慣量。

3.梁的應變能

設梁的長度為L，截面慣性矩為J，材料的彈性模量為E。若僅考慮彎曲變形，則對於梁的某一微元，根據材料力學知識可知應變量為

(1.2-5)

式中，為撓曲角；r為dx微段上中性層變形的曲率半徑；yr為截面上任一點到中性層的距離。設梁的撓度曲線為y(x)，則式(1.2-5)可用y(x)表示如下：

(1.2-6)

在彈性體動力學中，撓度曲線y也是時間t的函數，需要將式(1.2-6)單變量導數的符號改為偏導數符號：

(1.2-7)

由物理方程可知應力的表達式如下：

(1.2-8)

將式(1.2-7)和式(1.2-8)代入應變比能的表達式(1.1-8)中，可以得到

(1.2-9)

式(1.2-9)經過積分可以得到梁彎曲的應變能為

(1.2-10)

若僅考慮梁的剪切變形，參照式(1.2-9)可得到其應變能的表達式為

(1.2-11)

式中，為剪切變形曲線；G為材料的剪切彈性模量；A為載荷面積；為剪切截面系數，其數值隨截面形式的變化而改變。對於同時考慮軸向變形、彎曲變形、剪切變形及扭轉變形的一根梁來說，其總應變能為

(1.2-12)