高考數學培優40講：函數與導數（簡體書）

《 高考數學培優4 0講》 針對高考數學中的重難點內容, 分為四個分冊: 函數與導數; 解析幾何; 三角、 向量、 數列、 不等式與復數; 立
體幾何與概率統計. 全套書用高觀點的視角、 聯繫變化的眼光分析問題, 洞悉問題背後的本質, 達到“ 萬理歸一, 大道至簡” 的境界.
本書為“ 函數與導數” 分冊, 重點研究函數性質與思想、 函數形態處理策略、 導數三大主要問題, 豐富的方法和技巧貫穿始末, 精彩
紛呈. 本書適合數學成績優秀的學生挑戰高分甚至滿分使用, 也適合高中數學教師、 高考數學研究者, 以及廣大數學愛好者參考使用.

高中數學培優，助力你高考數學挑戰140分

《高考數學培優40講》是一套誕生於新高考時代，面向數學培優的教輔作品.
自2017年實行新課程標準以來，我國高中數學的教學和考試發生了根本性的變化.新課程標準明確提出將“學科素養”作為培養人、選拔人的最重要指標，無論是教學還是考試都貫穿“基礎性、綜合性、創新性和應用性”四大特徵，這意味著未來的數學考題，將從偏重經驗歸納，轉向加強思維質量考查，加強考查思維的靈活性，發揮數學學科的高考選拔功能.如何在教學中滲透對數學思維的培養？這對廣大教師和學生提出了新的要求.
2019年起新教材在部分省市被陸續使用.由於各地教學規劃不同，近幾年出現了新教材新高考、老教材老高考、新教材老高考等多種教學現狀，這無疑進一步增加了教學備考的複雜度.與此同時，數學高考也從過去的多省市獨自命題，逐步轉向統一命題.隨著山東省、江蘇省、浙江省等一大批高考強省陸續加入全國卷的隊伍，高考大軍競爭異常激烈.
在過去的兩年中，我們團隊的老師們深入全國10多個省份，陸續為接近100所重點高中作了300多場數學培優講座.在與廣大一線師生的交流中，很多教師最關心的問題就是:“未來高考會怎麼考，我們的數學課堂該如何教，高考培優應該講什麼？”由此可見，在新的時代背景下，如何能組織好教學過程，真正的培養出國家需要的人才讓學生具備較高的數學素養進而在高考中脫穎而出，成為了最核心的問題.
這套書最大的亮點就是完全出自教學實踐.由於我們的課程是面向數學功底較好的學生開展進行，所以在300多場講座中經歷了無數次教師和學生之間、學生和學生之間的思想交鋒.甚至在一些互動交流過程中，出現了學生和老師分成不同陣營，相互辯論的場面.而每一次的交流辯論都讓我們更加接近數學解題的本質，更加明白數學培優課程應該講什麼、怎麼講.所以書中的內容既包含了團隊老師的辛勤付出，也包含了很多一線教師和數學尖子生的集體智能.綜上所述，本套圖書的內容不是一蹴而就的，它經歷了原創研發——教學實踐——反思優化，再教學實踐——反思優化……這樣一個又一個的輪回，在這樣螺旋式上升的迭代過程中，內容的質量與實用性都達到了我們前所未有的高度.
本套圖書的另一大亮點便是其深邃的思想性，主要體現在以下幾個方面：
1.啟迪智能，知所以然
好的教育永遠都不是告知，而是啟發引導.在本套講義的編寫過程中充分尊重了這一規律，例如通過分而治之的策略拆分函數實現不等式證明時，我們沒有止步於題目本身的解答，而是設置了一系列的問題進行反思，甚至陪同讀者一起走過錯路與彎路，在知識的探索與內化過程中，這些都是必經之路，通過拋出一系列的問題，引導學生的思維步步深入，達到知其然也知其所以然的境界.
2.深入本質，返璞歸真
比勤奮更重要的是深度思考的能力，在紛繁複雜的題目背後抽絲剝繭或追本溯源以接近問題的本質，這是數學精神，也是在書中帶領並幫助讀者習得的一項能力.例如在解析幾何的開篇，講義一針見血地點明了數與形的辯證關係，即以形助數和以數化形，抓住這一本源如同獲取一把鑰匙.大道至簡，衍化至繁，本套圖書一直在通往道的層面上前進不息.
3.引申觸類，遠見卓識
在學習過程中，有縱向的“深”與橫向的“伸”兩個維度，本書兼顧這兩個維度並加以挖掘和拓展.在許多例題後面設置了探究總結等版塊，引申出了更多的定理與推論，它們將帶領讀者進入一個更廣闊的領域.
4.高數視角，知己知彼
會當凌絕頂，一覽眾山小.當我們身處高一級的層面，再反觀原有的層面時，我們會發現問題的布局或背景等原來看不到的事物.本書中有的內容，例如泰勒展開、極點極線等專題就是在高等數學的視角下來俯視問題，進入命題人的思維，這樣真是知己知彼，百戰不殆.
《高考數學培優40講》共含《函數與導數》《解析幾何》《三角、向量、數列、不等式與復數》以及《立體幾何與概率統計》四本分冊.從初稿到出版，我們不斷在教學實踐中調整、完善，歷經了四個版本的迭代，積極采納各方意見，數易其稿.同時，為了滿足部分尖子生的學習需要，我們在內容編寫的過程中，有選擇的加入了一定比例的清北強基考試題目.這部分題目與高考題目相結合，呈現出更加完整且富於變化的知識體系，對培養數學思維能力和綜合能力大有裨益.
在本書的創作過程中，團隊的老師們付出了很多，感謝張宏衛、余臣、孫光磊、李艷麗、張瀟等各位老師的不懈努力，也感謝清華大學出版社給予的大力支持.
路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.
在追求教學創新和培優精進的道路上，注定沒有盡頭.限於編寫水平有限，書中錯漏難免.歡迎各位讀者幫我們糾正錯誤，我們也將在後續版本中不斷修訂、調整.

張永輝
2022年8月

第1講函數的性質及延拓 1
1.1對稱性及延拓 2
1.2單調性及延拓 6
1.3周期性及延拓 10
訓練1 16
第2講函數的圖像及延拓 18
2.1函數圖像的變換 19
2.2等高線問題 21
2.3含參函數零點問題 25
2.4復合函數零點問題 30
2.5分段函數零點問題 33
訓練2 34
第3講函數構造與函數方程思想 36
函數構造 37
3.1轉化等量關係 37
3.2轉化不等關係 40
函數與方程思想 42
3.3函數思想 42
3.4方程思想 43
訓練3 46
第4講三次函數的圖像與性質 47
4.1三次函數的圖像 48
三次函數的性質 49
4.2對稱性 49
4.3切線問題 54
4.4等分面積 56
4.5單調性與最值 58
三次函數的零點問題 60
4.6極值點與零點 60
4.7韋達定理與判別式 63
訓練4 65
第5講含指數、對數函數形式的變形技巧 66
單一含有指數或對數函數不等式的變形技巧 67
5.1指數找朋友，對數單獨走 67
含有lnx,ex混合形式的不等式的變形技巧 70
5.2從數與形看變形轉化 70
5.3凹凸反轉 72
5.4設而不求隱零點 78
5.5切線放縮 82
5.6指數對數同構 86
訓練5 90
第6講導數中含有三角函數形式的處理策略 93
6.1借助導數研究三角函數性質 94
6.2“三看”原則 95
6.3含三角函數不等式的證明 100
6.4三角函數不等式恒成立問題 107
訓練6 111
第7講函數中含絕對值形式的問題探究 114
7.1函數中含絕對值形式的最值問題 115
7.2函數中含絕對值形式的參數取值範圍問題 122
訓練7 126
第8講函數零點問題的研究 128
8.1插值法 129
分類討論結合放縮法 132
8.2含參指數型函數的零點賦值 132
8.3含參對數型函數的零點賦值 138
8.4含參三角型函數的零點賦值 143
訓練8 145
第9講導數中的不等式恒成立問題的解題策略 148
9.1分離自變量與參變量 149
9.2不分離自變量與參變量 155
訓練9 173
第10講極值點偏移問題的深度研究 175
10.1極值點偏移與拐點偏移 176
10.2非常規類型極值點偏移問題 183
10.3極值點偏移問題的加強 188
10.4切割線的放縮與應用 190
訓練10 193
第11講導數中雙變量問題的處理策略 195
11.1主元變更法 196
11.2韋達定理法 199
11.3同構法 200
11.4參數法 203
訓練11 221
第12講泰勒展開在高考壓軸題中的應用 224
12.1求解不等式 225
12.2估值計算 238
訓練12 240
第13講導數中常見的放縮與估值 241
13.1基本不等式放縮 242
13.2指數、對數、三角函數不等式放縮 244
13.3幾何放縮 248
13.4估值分析 250
訓練13 255
參考答案 257