數論初步（簡體書）

數論是研究整數性質的一個重要數學分支。本書向讀者介紹了整數的整除理論、同余理論、不定方程和原根、指標與數論函數等的基礎知識和常用方法。本書主要分為5章，為方便中學生學習數論，每章均配備了初等而有趣的應用問題，即中學數學競賽中的數論題目。本書既可作為高等院校數學專業的教學用書，也可作為對初等數論感興趣人員的參考用書。

朱偉義，博士，教授。工作以來一直從事基礎數學的教學與研究工作，擔任《初等數論》、《微分幾何》、《解析幾何》、《高等幾何》等課程的教學工作，教學考評連續多年優秀，受到學生好評，曾獲學校"學生心目中好老師”和"睿達教學突出奉獻獎”。期間主持參加多項省基金和國家基金研究工作。發表科研論文近30篇。論文獲高校科研成果三等獎一項，省自然科學優秀論文二等獎二項，另外關於教學研究和指導學生主要有：①基於數學專業師範本科生核心素養培養實證研究獲省高教學會2020重點研究課題；②基於中學數學教師核心素養提升實證研究、浙江省教育科學規劃課題重點項目，在研；③《職前職後一體化背景下的卓越數學教師培養》、浙師大校級課題、榮獲校教學成果獎一等獎，主要成員；④《高等幾何》省重點教材主編；⑤浙師大初等數論、微分幾何網絡課程，《高等幾何》浙江省在線課程；⑥發表相關論文中學論文近五十篇。；⑦2019年指導東芝杯師範技能比賽獲全國二等獎和2017年省師範技能比賽獲二等獎一項，2019長三角地區師範技能比賽獲一等獎一項指導全國數學建模競賽獲全國二等獎一項和省賽多項。

第1章 整除理論 1
1.1　整除與帶余除法 1
習題 5
1.2　公因數與小公倍數 5
1.2.1 公因數 6
1.2.2 小公倍數 9
習題 11
1.3　素數與算術基本定理 11
1.3.1 素數 12
1.3.2 算術基本定理 14
習題 16
1.4　函數[x]與{x} 17
習題 19
1.5　探究與拓展 20
真題薈萃 20
習題 26
第2章 同余 27
2.1 同余的概念和性質 27
習題 32
2.2 完全剩餘系與簡化剩餘系 33
2.2.1　完全剩餘系 33
2.2.2　簡化剩餘系 35
習題 37
2.3 歐拉定理與費馬小定理 38
習題 42
2.4 探究與拓展 42
真題薈萃 42
習題 49
第3章 不定方程 50
3.1 一次不定方程 50
3.1.1　二元一次不定方程 50
3.1.2　多元一次不定方程 52
習題 54
3.2 特殊的二次不定方程 55
3.2.1　商高方程x2+y2=z2 55
3.2.2　佩爾方程 60
習題 62
3.3 幾類特殊不定方程的初等解法 62
習題 66
3.4 探究與拓展 66
真題薈萃 66
習題 73
第4章 同余式 75
4.1 同余式的基本概念 75
習題 78
4.2 一次同余式組和孫子定理 78
習題 84
4.3 模p?的同余式與素數模的同余式 84
4.3.1　模p?的同余式 84
4.3.2　素數模同余式的性質 86
習題 89
4.4 二次同余式和平方剩餘 90
4.4.1　素數模的二次同余式 90
4.4.2　Jacobi符號 102
4.4.3　合數模兩次同余式 106
習題 108
4.5 探究與拓展 108
真題薈萃 108
習題 115
第5章 原根、指標與數論函數 116
5.1 原根及其存在性 116
5.1.1　階數與原根的概念及基本性質 116
習題 119
5.1.2　原根存在的條件 119
習題 125
5.2 指標與指標組 125
5.2.1　指標與n次剩餘 125
習題 130
5.2.2　模2n及合數模的指標組 131
習題 134
5.3 數論函數 134
5.3.1　數論函數的概念及應用 134
習題 136
5.3.2　積性函數 136
習題 139
5.3.3　M?bius變換 140
習題 143
5.4 探究與拓展 143
習題 147
參考文獻 148