蝴蝶效應，數學與碎形美學至混沌理論：從自然界圖案到宇宙結構，解構數學美學，探索宇宙最基本的語言

◎碎形美學，從龍形到自然界的無窮迷人圖案
◎混沌理論，從蝴蝶效應到宇宙的秩序與混亂

穿梭於科學與哲學，從混沌魔鬼到碎形天使
由單擺混沌至複雜性科學，宇宙從簡單到複雜的奧祕
圖文並茂＋豐富例子＋易懂語言，趣味解釋複雜科學概念

▎美哉碎形
開篇介紹了碎形的基本概念和特性，從簡單的線性迭代到複雜的非線性迭代，如分形龍和曼德博集，解釋了自相似性和分數維度的原理。作者透過引人入勝的故事和例子，如朱利亞集的形成故事，向讀者展示了數學之美。本節不僅讓讀者理解了碎形的科學原理，還揭示了它們在自然界中的廣泛存在，比如樹木的分枝、河流的分岔等，展現了數學與自然界的深刻連繫。

▎奇哉混沌
本章深入探討混沌理論的起源和發展，從拉普拉斯的決定論到洛倫茲提出的蝴蝶效應，講述了混沌理論如何挑戰傳統物理學的確定性觀點。透過對蝴蝶效應、奇異吸引子等概念的介紹，本書揭示了在看似無序的混沌系統中存在著內在的秩序。此外，還探討了混沌理論在生態學、經濟學等領域的應用，顯示了它的廣泛影響和價值。

▎碎形天使處處逞能
本章聚焦於碎形的應用，從音樂、藝術到影像處理，再到人體內的混沌和碎形現象，如心跳和血管分布的碎形特性。作者用豐富的例子和圖解，展示了碎形理論如何跨越科學與藝術的界限，並在實際應用中發揮巨大作用。這不僅讓讀者了解到碎形美學的魅力，也體現了碎形理論在現代科技和生活中的廣泛用途。

▎天使魔鬼一家人
本章探討了碎形和混沌之間的關聯，以及它們如何共同作用於自然界和人類社會的各個面向。從混沌遊戲產生碎形，到混沌理論與蘭州拉麵之間的趣味比喻，作者巧妙地將複雜的科學概念與日常生活相連結，使讀者能夠更加直觀地理解這些理論的實際意義。

▎混沌魔鬼大有作為
本章進一步深入到混沌理論在更多具體領域的應用，從物理學的單擺實驗到混沌電路，再到經濟學中股市的預測，乃至CDMA通訊技術中的應用。這一節展示了混沌理論如何在科學研究和工程技術中提供新的思路和解決方案，突出了其在推動科技進步中的關鍵作用。

▎從簡單到複雜
本章探討了從簡單規則到複雜現象的演化，如自組織、孤立子以及生命遊戲等現象，這些都是複雜性科學研究的核心。本節不僅總結了碎形和混沌理論的精髓，還展望了複雜性科學的未來發展方向，強調了理解複雜系統對於解決當今世界面臨的挑戰的重要性。


本書特色：本書以生動有趣的語言和豐富圖解深入淺出地介紹了分形和混沌理論。從基本的分形概念到混沌理論的奇妙世界，再到這些理論在自然界和科技領域中的廣泛應用，全書不僅提供了科學知識，還啟發讀者思考科學研究的方法和創新的重要性。作者精心講述科學家的思路和發現過程，旨在激發讀者的好奇心和創造力。

張天蓉，科普作家，美國德州奧斯汀大學理論物理博士，現居美國芝加哥。研究課題包括廣義相對論、黑洞輻射、費曼路徑積分、飛秒雷射、雷射探測晶體性質、高頻及微波通訊、EDA積體電路軟體等，發表專業論文三十餘篇。2012年開始出版了一系列科普著作，其文風深入淺出，趣味盎然，亦保持科學的嚴謹性，深得讀者喜愛，代表作品有《從骰子遊戲到AlphaGo》、《可以，這很科學》、《相對的宇宙，愛因斯坦的困惑》、《第一支火箭》、《同時與異界，多維時空的宇宙奧祕》、《從人類飛出地球的那天開始》等。

前言
有一首譯為中文的英文詩：「釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。」（For Want of a Nail，多譯為〈只因少了一顆釘〉）
蘇軾詩：「斫得龍光竹兩竿，持歸嶺北萬人看。竹中一滴曹溪水，漲起西江十八灘。」
成語：「失之毫釐，謬以千里。」
以上文字可用一個現代著名而熱門的科學術語來概括──蝴蝶效應。
什麼是「蝴蝶效應」？此名詞最早起始於1960年代研究非線性效應的美國氣象學家羅倫茲，它的原意指的是氣象預報對初始條件的敏感性。初始值上很小的偏差，會導致結果偏離十萬八千里！
例如1998年，太平洋上出現「聖嬰」現象，氣象學家們便說：這是大氣運動引起的「蝴蝶效應」。好比美國紐約的一隻蝴蝶拍了拍翅膀，就可能在大氣中引發一系列的連鎖事件，從而導致之後的某一天，某個城市將出現一場暴風雨！
也許如此比喻有些譁眾取寵、言過其實。但無論如何，它擊中了結果對於初始值之變化無比敏感的這點要害和精髓，因此，如今各行各業的人都喜歡使用它。
毫不起眼的小改變，可能釀成大災難。名人一件芝麻綠豆大的小事，經過一傳十、十傳百，可能被放大成一條面目全非的大新聞，有人也將此比喻為「蝴蝶效應」。
股票市場中，快速的電腦程序控制交易，透過網路的回饋來調節，有時會使得很小的一則壞消息被迅速傳遞和放大，以致於促使股市災難性下跌，造成如「黑色星期一」、「黑色星期五」這類為期一天的災禍。更有甚者，一點很小的經濟擾動，有可能被放大後變成一場巨大的金融危機。這時，股市中的人們會說「這是『蝴蝶效應』」。
有人還用了一個不太恰當的比喻，來解釋社會現象中的「蝴蝶效應」：如果希特勒在孩童時期就得一場大病而夭折了的話，在1933年還會爆發第二次世界大戰嗎？對此我們很難給出答案，但是卻可以肯定，起碼戰爭的發展過程可能會大不相同了。
「蝴蝶效應」一詞還激發了眾多文人作家無比的想像力，多次被用於科幻小說和電影。
然而，在這個原始的科學術語中，究竟隱藏著一些什麼樣的科學奧祕呢？它所涉及的學科領域有哪些？這些學科領域的歷史、現狀和未來如何？其中有哪些人物活躍著？他們為何造就了這個奇怪的術語？這裡所涉及的科學思想和概念，與我們的日常生活真的有關係嗎？這些概念在當今突飛猛進發展的高科技中有何應用？又如何應用？
從這些一個接一個的疑問出發，作者將用講故事的方式，帶你輕鬆愉快地走進科技世界中最美妙、最神奇的一個角落，向你展示「蝴蝶效應」之奧祕──碎形和混沌理論，數學物理百花園中這兩朵美麗的奇葩！同時，作者將帶你廣開眼界，從碎形和混沌這兩朵數學和物理學中的奇葩，走向如今整個學術界都有所研究、也許都能用得上的「複雜性科學」！
碎形和混沌既簡單又複雜，從複雜的系統中尋找簡單的規律，反映了大自然及人類社會中許多相似的共性。從1970至80年代開始，學術界興起了一個「複雜性科學」建立和發展的高潮。
數學上，從馮紐曼（John von Neumann）開始就有研究了多年的細胞自動機；化學上，有普里高津（Ilya Romanovich Prigogine）遠離非平衡態的耗散理論、自組織過程；物理學中，固體物理延拓成為凝聚態物理後，不僅研究對象之範圍得以極大的擴充，還包括變因數量的多寡對於整體性質之影響造成的深刻改變。安德森（Philip Anderson）曾從「多則異」角度，提倡用「湧現論」的觀點來看待複雜體系的行為。複雜性科學研究的各種複雜現象，在心理學、生物學、電腦科學、網路理論等領域都有表現。
因此，1984年，一批從事物理學、經濟學、生物學、電腦科學的學者，包括諾貝爾獎得主、夸克之父默里．蓋爾曼（Murray Gell-Mann）與喬治．考恩（George Cowan）等人，建立了一個研究複雜性科學的「聖塔菲研究所」，全力支持年輕人探索這個世界各方面的複雜系統。為此，我們對這一新興領域稍作介紹。
僅以此書獻給我的家人。
張天蓉

序一　科學可以很有趣
序二　玄機妙語話混沌
前言
第一篇　美哉碎形
1.1 有趣的碎形龍
1.2 簡單碎形
1.3 分數維是怎麼回事？
1.4 再回到碎形龍
1.5 大自然中的碎形
1.6 碎形之父的啟示
1.7 魔鬼的聚合物—曼德博集合
1.8 朱利亞的故事
第二篇　奇哉混沌
2.1 拉普拉斯惡魔
2.2 羅倫茲的困惑
2.3 奇異吸子
2.4 蝴蝶效應
2.5 超越時代的龐加萊
2.6 三體問題及趣聞
2.7 生態繁衍和混沌
2.8 從有序到混沌
2.9 混沌魔鬼「不穩定」
第三篇　碎形天使處處逞能
3.1 碎形音樂
3.2 碎形藝術
3.3 碎形用於影像處理
3.4 人體中的碎形和混沌
第四篇　天使魔鬼一家人
4.1 萬變之不變
4.2 再回魔鬼聚合物
4.3 混沌遊戲產生碎形
4.4 混沌和蘭州拉麵
第五篇　混沌魔鬼大有作為
5.1 單擺也混沌
5.2 混沌電路
5.3 股市大海找混沌
5.4 混沌在CDMA通訊中的應用
第六篇　從簡單到複雜
6.1 三生混沌
6.2 自組織現象
6.3 孤立子的故事
6.4 生命遊戲
6.5 木匠眼中的月亮
6.6 凝聚態物理和湧現論
6.7 複雜性科學
參考文獻
從數學遊戲到真實世界

2.1　拉普拉斯惡魔
碎形的確太奇妙了，尤其是電腦產生的影像，真可算是一門特別的藝術！然而，碎形與科學有什麼關係呢？讀者也許注意到，在很多文章中，碎形總是和混沌連繫在一起，混沌是科學中常見的現象。所以也可以說，混沌現象是碎形在現實中的表現。
什麼叫混沌？要用一個簡單的方法來講清楚混沌理論是很困難的。不過，我們的老祖宗早就使用混沌這個詞來描述和表達古代中國人的宇宙觀了：
「天地混沌如雞子，盤古生其中。」
盤古開天闢地是我們十分熟悉的神話，無愧於古中國幾千年的文明，古代人早就意識到人們有序的文明社會是誕生於混沌之中：「天地混沌如雞子」有點像現代物理學所描述的宇宙大霹靂之初的世界。
不過，盤古開天地的故事只說了一半，說的是有關人們過去的那一半。就算宇宙的過去是天地混沌一片吧。宇宙的未來如何呢？預測未來總是比探討過去更具誘惑力和實用性。不是嗎？氣象預報讓你能未雨綢繆，預測股市的走向可能使你發大財，研究未來的學者文人頗受人尊重。
我們將要解釋的混沌理論，就與預測未來有點關係。
其實，科學的目的之一就是要解釋世界、放眼未來。問題是這些「未來事件」在什麼條件下可以被預測？在多大程度上可以被預測？有先見之明者能有多少遠見？預測的準確性又如何？常言道：「天有不測風雲，人有旦夕禍福。」利用今後日新月異的科學技術，是否就能完全預知將要發生的「旦夕禍福」與「不測風雲」以及未來的一切呢？這一類有關「將來」的問題，用現今學術的語言來說，叫做「研究一個動力系統的長期行為」。
1975年，美國數學家約克（James Yorke）和他的華裔研究生李天岩，將「混沌」這個詞賦予科學的定義，用以描述某些系統長期表現的奇異行為。因此，這裡我們將討論的混沌理論，有別於通常意義上的混沌，有別於盤古開天地時的混沌。它探索的課題，與「世界的可知／不可知」這類哲學問題有關……
混沌理論研究的是一個動力系統的長期行為。我們重溫一下曼德博圖是如何畫出來的。那時我們考慮的是一個非線性方程式在進行無限次疊代後，結果產生的不同行為。對於不同的初始值，無限次疊代後的結果將不一樣，有些跑到無窮遠處，有些保持有限數值。事實上，在碎形中「無限次疊代後的行為」就相當於混沌理論中所說的「長期行為」！
我們所做的「無限次疊代」的操作，反映在生物學中，或者說反映在自然界動物、植物的形態上，就是代代相傳。傳承中，既有繼承自相似性的遺傳因素，也有因隨機偶然因素引起的變異，一代又一代地綿延下去，形成了大自然中處處可見的碎形結構。
疊代表達了「一代代」，也就是時間的概念，而我們在寫碎形程式時所用的疊代方程式，就對應於物理系統遵循的物理規律。如果疊代的長期行為出現混沌，就是說方程式表達的物理規律導致了混沌現象。那麼，什麼樣的物理理論會導致混沌呢？以我們大家熟知的牛頓力學定律為例，從牛頓定律也可能得出混沌嗎？是的，例如著名的「三體問題」。牛頓力學中的混沌現象也啟發了人們對「決定論」的哲學思考。
世界到底是決定論的，還是非決定論的？是可預測的，還是不可預測的？這一直是令古今中外的學者、哲人們困惑和爭論的基本問題。300多年前牛頓力學的誕生是科學史上的一個重要的里程碑。牛頓主義的因果律和機械決定論認為：世界是可以精確預測的。根據牛頓物理學，宇宙似乎可以被想像成一個巨大的機器，其中的每個事件都是有序的、規則的及可預測的。牛頓三大定律似乎放之四海而皆準，用於萬物無不可。有了運動方程式，只要初始條件給定了，物體的運動軌跡則應該完全可知、可預測，直到宇宙毀滅的那一天。
可以想像，這樣一個決定論的、簡單的、井井有條的、可預測的、似乎已經完美無缺的理論體系和世界圖景是何等誘人，它使當年的科學界人士歡呼雀躍、陶醉不已，以至於連神學界主宰一切的上帝也想來插一手。因此，在牛頓力學的時代，宿命論、神祕主義甚囂一時。天才的牛頓也未能免俗，認為造物主實在偉大非凡，造出的世界精妙絕倫、天衣無縫。因此，晚年的牛頓潛心研究神學。
牛頓走了，拉普拉斯來了。拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）也醉心於牛頓力學完美的理論體系，他把萬有引力定律應用到整個太陽系，研究太陽系及其他天體的穩定性問題，被譽為「天體力學之父」。不過，和牛頓不一樣，拉普拉斯並不將功勞歸之於上帝，而是把上帝趕出了宇宙。
拿破崙看過拉普拉斯所寫的《天體力學》（Traité de mécanique céleste）一書之後，奇怪其中為何隻字未提上帝。拉普拉斯自豪地說了一句話，令拿破崙目瞪口呆。拉普拉斯說：「我不需要上帝這個假設！」
拉普拉斯不相信上帝的存在，卻仍然堅信決定論。他不需要假設上帝存在並造出了宇宙，但他卻假設有某個智者，後人稱為「拉普拉斯惡魔」的東西，能完全計算出宇宙的過去和未來。當年的阿基米德（Archimedes）對國王說：「給我一個支點，我就能撐起地球！」拉普拉斯仿效阿基米德的口氣，對世人立下這樣的豪言壯語：
「假設知道宇宙中每個原子現在的確切位置和動量，智者便能根據牛頓定律，計算出宇宙中事件的整個過程！計算結果中，過去和未來都將一目了然！」
過去和未來，盡在拉普拉斯惡魔的掌控之中，這代表了拉普拉斯信奉的決定論哲學。
不可否認，決定論的牛頓力學迄今為止已取得，也必將繼續取得輝煌的成就。它是人類揭開宇宙奧祕、尋找大自然秩序的漫漫長途上的一個偉大的里程碑。它曾用簡單而精確的計算結果，預測了海王星、冥王星的存在及其他天體的運動；又以具普適性而優美的數學表述，對各種地面物體的複雜現象做出了統一的解釋。藉助牛頓力學，人類發明了各類機械裝置，設計了各種運載火箭，並把太空梭送到了宇宙空間。縱觀周圍環繞我們的事物：穿梭於雲層裡的飛機、高速公路上飛駛的汽車、城市中高聳入雲的摩天大樓、遍布全球的鐵路橋梁，無一不包含著牛頓力學的功勞。
繼拉普拉斯之後，19世紀物理學發現的不可逆過程、熵增加定律等，已經使拉普拉斯惡魔的預言成為不可能。再之後，量子力學中的不確定性原理（亦稱測不準原理），以及混沌理論所展示的確定性系統出現內在隨機過程的可能性，更是給了決定論致命的一擊。
任何理論都毫無例外地有其局限性。20世紀初期的量子物理和相對論的發展打破了經典力學的天真。相對論挑戰了牛頓的絕對時空觀，量子力學則質疑微觀世界的物理因果律。根據量子力學中海森堡（Werner Heisenberg）的不確定性原理，在同一時刻，你不可能同時獲知某個粒子的精確位置和它的精確動量；你也無法分兩步來測量，因為對於微觀世界而言，測量本身就已經改變了被測量物的狀態。所以拉普拉斯所需要的數據是不可能精確得到的，自然也不可能存在可以預知一切的物理學理論。
量子力學的規律揭示了微觀世界的不可預測性，混沌理論則從根本上否定了事件的確定性，把非決定論推至成熟。混沌現象表明，避開微觀世界的量子效應不說，即使在只遵循牛頓定律的、通常尺度下的、完全決定論的系統中，也可以出現隨機行為。除了廣泛存在的外在隨機性之外，確定論系統本身也普遍具有內在的隨機性。也就是說，混沌能產生有序，有序中也能產生隨機的、不可預測的混沌結果。即使某些決定的系統，也表現出複雜的、奇異的、非決定的、不同於經典理論可預測的那種長期行為。
從另一個角度說，混沌理論揭示了有序與無序的統一、確定性與隨機性的統一，使得決定論和機率論，這兩大長期對立、互不相容的對於統一的自然界的描述體系之間的鴻溝正在逐步消除。有人將混沌理論與相對論、量子力學同列為20世紀的最偉大的三次科學革命，認為牛頓力學的建立象徵科學理論的開端，而包括相對論、量子物理、混沌理論三大革命的完成，則象徵科學理論的成熟。