阿草的圓錐曲線

我們在國中時學到平面幾何，到了高中時學圓錐曲線。前者採用（綜合）幾何的方法，後者則採用坐標幾何的方法，因此前者很有幾何味道，後者則淡的多，甚至沒有。古代的圓錐截痕，需要以平面幾何為基礎，更需要有立體幾何的能耐，幾何味道滿點。此書的一大重點就是要呈現圓錐截痕的這些菁華。另外加上坐標成了「圓錐曲線」，能更深入研究圓錐曲線與行星運動之間的連結。最後，再把重點放在射影性質，利用綜合幾何的方法，了解到橢圓、雙曲線和拋物線之間密切的關係。

1943年出生於東京，3歲返台，畢業於國立臺灣大學數學系，1972年獲美國芝加哥大學哲學博士學位，並於1976年回臺任教於臺灣大學數學系，曾任系主任，於2001年退休。多年來以「阿草」為筆名，致力於數學與科普的推廣與寫作，曾任《中國數學雜誌》（改名為《臺灣數學期刊》）總編輯、《科學月刊》總編輯、大學入學考試中心顧問。著作包含《阿草的葫蘆》、《微積分基本要義》、《從月曆學數學》（原書名：《阿草的曆史故事》）、《從生活學數學》（原書名：《阿草的數學聖杯》）、《從天文地理學數學》。

所謂圓錐曲線包括了拋物線、橢圓及雙曲線，它們都可由平面與圓錐以一適當的角度相截而得，所以通稱為圓錐截痕 。圓錐截痕最早由古希臘人開始研究，歐幾里德曾寫過四大冊的圓錐截痕，可惜原著已經遺失。不過歐幾里德後不久的阿波羅尼亞斯 ，約西元前262～190年；本書簡稱其為阿波氏)，參考了他的著作，並發展了許多自己的想法，得到很多研究的成果，寫成了《圓錐截痕》八大冊。歐幾里德的《原本》是古希臘數學的代表作，阿波氏的《圓錐截痕》是古希臘高等幾何學的傑作；阿波氏因而有「偉大幾何學家」的稱號。《圓錐截痕》是純粹的數學研究，幾乎找不到因應需要而有的研究動機。直到1800多年後，的十七世紀初，天文學家刻卜勒 ，1571～1630年)得到他的行星三大運動定律，圓錐截痕才因這麼有用而重新受到重視。也大約在這個時候，伽利略 ，1564～1643年)研究拋物運動，而知道拋物運動的軌跡為拋物線。十七世紀下半的牛頓 ，1642～1727年)更提出了萬有引力的想法，並證明受到引力的影響，行星繞行太陽的軌道為橢圓；彗星的軌道可以是橢圓也可以是雙曲線或拋物線。其實，一個天體繞著相對大得多的另一天體的運動軌跡，就是一圓錐截痕。十七世紀數學的一重要發展是引進了坐標，以兩坐標間的代數（包括級數）關係，來處理曲線。傳統的，需要以幾何方法來處理的圓錐截痕，也很快代數化，於是圓錐截痕又叫做圓錐曲線。而這些曲線的兩變數之間的關係是二次的，所以又叫做二次曲線。有了坐標及代數方法，圓錐截痕許多很難處理的定理就變得相對的簡單。牛頓雖然有辦法用古典的幾何方法，處理引力與行星軌道的關係；不過有了坐標，就容易發展解析方法（微積分），兩者之間的關係就比較容易處理。（牛頓研究引力與軌道的關係時，使用他自己發展的微積分，但寫書時，則用傳統的幾何方法，因為當時大家都還不太懂微積分。）無論用代數或幾何方法，三類圓錐截痕（曲線）似乎有類似的性質（同為圓錐的截痕、二次的曲線），但也有非得分別處理的性質（橢圓及雙曲線有對稱中心、兩條對稱軸、兩個焦點，而拋物線沒有對稱中心，只有一條對稱軸、一個焦點）。十九世紀射影幾何的發展，則把這三種曲線統一在射影的觀點之下。

我們的學生在國中時學平面幾何，到高中時學圓錐曲線。前者採用（綜合）幾何的方法，後者則採用坐標幾何的方法，因此前者很有幾何的味道，後者則幾何的味道淡得多，甚至沒有。其實，古代的圓錐截痕，需要以平面幾何為基礎，更需要有立體幾何的能耐，幾何味道滿點。本書的一個重點，就是要呈現圓錐截痕的這些精華。另外，用了坐標，圓錐截痕變成了圓錐曲線。有了坐標，圓錐曲線更可深入研究，其與行星運動之間的關係才能確立。高中的圓錐曲線其實只是淺嚐即口，本書的另一個重點，就是用坐標的方法，深入探討圓錐曲線。最後，我們把重點放在圓錐曲線的射影性質，使我們了解到橢圓、雙曲線、拋物線有非常密切的關係。非以數學為專業，但對高中幾何有興趣，想再進一步涉獵者，是本書設定的對象。我們放棄用坐標方法來探討射影幾何，他雖然比較定量，但較屬於技術層次。關於射影幾何，我們只介紹綜合幾何的方法，以便得到定性的認識。平面幾何的素材只是簡單的直線與圓，但衍生的內容，已經足夠讓人稱奇。稍微複雜的圓錐曲線，更有曲折的歷史背景，以及豐碩的內涵。如此數學的、甚至是文化的瑰寶，應讓大家有機會欣賞享受。希望對此本書能有些貢獻。

曹亮吉　台北2005年12月