我與孩子的數學對話

二進位要怎麼數數？
除法的直式為什麼要這樣寫？
分數要怎麼加減乘除？
為什麼可以用短除法找最小公倍數？
輾轉相除法的原理是什麼？
有沒有周長大、面積卻小的形狀？
有沒有體積大、表面積卻小的形體？
負數加減口訣的由來是什麼？
要怎麼算時差？
閏年的規則是什麼？
十三號星期五很少見嗎？
身分證號碼有什麼秘密？
為什麼內項乘積＝外項乘積？
交換位子有幾種方法？
判斷3的倍數為什麼要每位加起來？
「打九折」和「加一成服務費」可不可以抵銷？



使用指南
慢讀、慢想。本書對孩子而言可能不太合適當小說一般快速翻看，想造出果子，會需要的是時間和沈靜。高斯說的一句話影響我許多：「寧可少些，但要好些」。

本書可用於：
1.親子共讀材料。
每個禮拜固定一個時段，開設家庭讀書會，讓孩子與爸爸媽媽選擇一個小單元共讀，作為親子互動的數學土壤。

2.高年級寒暑假指定書籍。
可提供孩子在寒暑假階段，進入第二輪的概念再建構，有些是具體物的講解，有些是不同方向的討論，這將對孩子的內化有所益處。也可作為預習自學、或書寫心得感想的書單。

3.教師備課參考。
供老師們作觀念切入點的選擇，以及講解的補充，這100個主題都是我課堂實驗過的項目，供學校老師作連結激盪之用。

羅一亮

數學教師、作家、國際志工。

輕微閱讀障礙，但仍然樂觀讀書與創作。
熱愛旅行，喜歡收集不同國家的lays洋芋片。

目前正在找尋一種方法，協助孩子能有小型創業的機會。

敝人於教學現場摸索約20年，面對數學課堂有感，這一科，教學環境改革不快，但是上課速度總是飛快。
觀察許多學習情況中等的學生，天天面對考試，面對這過於快速的節奏，經常都只是模模糊糊的，有時不得已先得過且過，但一不小心沒跟上，常常就被拋在後面了。這種學習方式，像是餐桌上有滿漢全席108道大菜，但卻被規定30分鐘內要全部吃完，吃完還要背菜名，孩子能怎麼做？只能越吃越快，甚至先吞下去再說，完全沒有知覺或享受可言。
但我們都知道，只有細嚼慢嚥才能有益於身體和胃口，真正的滿漢全席是整整兩天，分著四餐慢慢吃。對大部分的孩子來說，學習更是應該如此，但孩子又能選擇什麼呢！我們當大人、當前輩的，是否要執行一些改變，無論是什麼原因，如何讓孩子不要再枯坐在課堂上，能有個1%的空間，我們都應該要努力看看，教育雖是複雜的，但若我們願意陪伴孩子同行，領頭去作點更新，孩子必會看見，而果效也就在這之中慢慢滋長。

以下有一些觀點分享給各位父母親、或是初入教學領域的教學者：

1. 要陪伴孩子「一起」學習數學一段時間。

2. 對於一個預備好心思要學習數學的孩子而言，唯一的原則是：慢慢建構。尊重孩子現在有的能力，先看「他目前在哪裡」，再說「他應該在哪裡」。

3. 事實上也沒有「該在哪裡」這回事，數學就是一種工具，一種建立規律的語言，這和生活經驗積累有極大的關係，所以一下子數學這科沒有在分數上跳出來，並不代表未來不行，一邊積累生活的總量，一邊等待時機，數學都來得及。以上這句話的意思是說：一個資質中等，但從來沒碰過數學課本的15歲孩子，他要在一年之內，想把小一到國三的數學課本消化好，並且展現出這個年紀的常態表現，這一點是確實可以做得到。我已經見識過幾位了。

4. 若零都可以，慢又為何不行。數學不是天才兒童才能學，我們要鼓勵孩子，慢慢來，面對自己的優勢和短缺之處，尋求一些方法，慢慢的去改變處境。

5. 再談到數學老師，無論我們自己過去在數學市場上多風光，智商多高、數學能力多強，我們數學老師天天要奮鬥的是，是否有試著把每一個觀念，為孩子好好的：「定清楚」、「講清楚」、「推理清楚」。這是最優先的事，是數學教育的核心。這件事的優先順位，甚至有些時候高於把數學教得好玩，這將會有助於孩子擴張他的境界，累積未來進入抽象領域時的基礎經驗。

6. 數學這個科目有個特色，有時即使觀念並不難，但仍舊難以親近，原因在符號和術語，的確，數學就連名詞都不太容易入門，這一點和數學歷史發展有關，數學老師也要能擔任好的翻譯橋樑，才能使孩子在學習上能夠更加適應一些。

7. 考試是個診斷，但也就當它是一個診斷就好，不要看低它，但也不必要高估它。特別是在50分鐘內，卻有超過25題的試卷，這種等級的考試，結果是隨時可翻轉的，父母親們，如果您的孩子在這種「快考試」、「機械型反射」總能考得很好，您最好確認一下他是花了多少時間反覆練習或背誦，才成為這麼「快速」的人，並也確認一下他的「慢考試」、或「觀念型」又考得如何？

8. 學習數學之路必將走向抽象的領域，確實不可能永遠只問「好不好玩」、「好不好學」，但若是教學對象是小學生、國中生，或是初學者，那他有權力需要「先求有趣」，「先求信心」，至少要求「先具體再抽象」，這總是合理的，總不能叫嬰兒大口啃雞腿，或要他自己拿刀切牛排吧，再好吃也吃不下去。在初級數學中，老師有時是在做「數學保母」的工作，孩子紅蘿蔔不吃，我切碎煎成海鮮餅，引導他不挑食、不畏懼，這是一個階段性的角色專業。

9. 身為教育者不論科別，都要有足夠強的心理素質，成功不必在己，我們造就的是生命；老師心裡永遠要有孩子，特別是較弱勢的孩子，我們不斷地鑽研新的方法作教育，很希望孩子能有更多理解和思辨的機會。若願意嘗試去做到這一點，我們除了是位努力的教師，再看深入一些，一位想使一切能「從無到有」的老師、父母親或自學者，從定義上，我們都是勇敢的創業者！

最後，引用孩子們很喜歡的哆啦A夢卡通裡，有一集胖虎媽媽對胖虎說的話，與大家共勉：

『努力去做還做不好，這種事在人生中，多得數不清。』

試想一下清澈的水！多麼透明、沁涼，簡單，這個味道，就是數學的原味，就讓孩子大杯暢飲吧，我們在教學路上，無論別人看我們是成功還失敗，都先反省自己，我們有沒有傳遞一些數學精神出去。

讓我們都繼續努力吧！

本書內的訊息，如果對您有所共鳴，請不必客氣，操作實驗在學生和兒女身上，歡迎與我分享，在此留下我的email，還請各位先進不吝指導斧正。

祝福各位平安！

羅一亮老師

使用指南
序言
本書動機
1.數和進位制（一）
2.數和進位制（二）
3.奇偶數
4.數和進位制（三）
5.為什麼要加零？
6.整數乘法直式
7.乘法的畫圖法
8.除法使用時機（一）
9.除法使用時機（二）
10.整數除法直式
11.整除和除盡
12.概數（一）
13.概數（二）
14.四則運算次序
15.什麼叫等值分數、擴分、約分、通分？
16.為什麼要找等值分數？
17.分數的加減法
18.分數的乘法
19.分數乘法為什麼可以約分（一）？
20.分數乘法為什麼可以約分（二）？
21.分數除法的情境
22.分數的除法
23.分數除法為什麼可以約分？
24.整數除法與分數
25.移動小數點
26.小數的意義與特色
27.小數的乘法
28.小數乘法的直式
29.小數除法的情境
30.小數除法的直式
31.小數除法的直式（有餘數版）
32.面積與周長
33.短除法（一）
34.短除法（二）
35.最大公因數與公因數
36.公因數與差
37.反覆相減法
38.為什麼相鄰兩數必定互質
39.兩數互為因倍數時，怎麼找最大公因數和最小公倍數？
40.怎麼找到所有公倍數？
41.為什麼互質的兩數的最小公倍數是兩數相乘？
42.為什麼最大公因數和最小公倍數的積，會等於兩數相乘？
43.怎麼用短除法找到最小公倍數？
44.三個數的短除法
45.輾轉相除法的原理
46.用正方形想輾轉相除法
47.質數
48.找因數（一）
49.找因數（二）
50.找質數
51.為什麼「內項乘積＝外項乘積」？
52.正方形家族的面積
53.長度、面積單位
54.表面積與體積
55.三個律
56.負數加法
57.負數減法（一）
58.負數減法（二）
59.時差（一）
60.時差（二）
61.甲子
62.閏年
63.中點公式
64.共幾人、差幾天？
65.倍數判別（一）
66.倍數判別（二）
67.倍數判別（三）
68.去1減2法（7的倍數）
69.為什麼兩邊和大於第三邊？
70.種樹問題
71.去括號（一）
72.去括號（二）
73.一度水
74.速度（一）
75.速度（二）
76.比率
77.排列數
78.分數除法可以「分母除以分母，分子除以分子」嗎？
79.循環小數
80.除法、分數、和循環小數（一）
81.除法、分數、和循環小數（二）
82.明年的生日星期幾？
83.十三號黑色星期五
84.除和除以
85.身份證號碼的秘密
86.梯形面積公式的新想法
87.關於3.14的乘法
88.「打九折」和「加一成服務費」的抵銷
89.加服務費怎麼算？
90.折扣和服務費的順序
91.買一送一是打幾折？
92.幾則新聞中常見的數學問題
93.怎麼共享火車座位？
94.越加越大嗎？
95.加減法可以從高位去做嗎？
96.乘除法可以不要照規定算嗎？
97.請問16−7＝？
98.假分數的存在
99.乘法交換律8×3=3×8
100.除以0
寫在後面

92. 幾則電視上常見的數學問題
【新聞標題】
1. 新聞報導，一個有名的歌星，在網路上放了自己的新專輯主打歌，才短短一天點閱率突破300萬。
2. 新聞報導，農村的房價飆漲，由過去一坪10萬，今年變成一坪100萬，整整增加了10倍。
3. 新聞報導，捷運徵人競爭激烈，1個職缺居然來了100個人應徵，錄取率只有百分之一趴。
4. 新聞報導，某麵店週年慶促銷，紅燒牛肉麵原價119元，算整數100，只限今天。
5. 新聞報導，因霸王級寒流來襲，今天逛夜市人數減少了3倍。

【討論】
1. 比率我們已經提過，就像近視率、出席率。就算全世界都近視，近視率也才100%，也就是1。點閱率不可能3000000。揣測新聞記者想講的是點閱次數。

2. 從一坪10萬變成100萬，是增為10倍。若想用「增加」表達，那麼會是：增加了9倍。

3. 1％＝百分之一＝1 percent＝1趴≠百分之一趴
一般人說的趴，是percent的意思，和日文發音有關。
所以百分之一趴，是1/100%，也就是一萬分之一。小心別誤用了。

4. 奇怪，119不是整數嗎？

5. 假設昨天逛夜市有1000人。1000的1倍是1000，所以減少1倍是什麼意思？代表減少1000人，也就是逛夜市人數：0人。

那，什麼是減少3倍？是的，很可怕，大家翻頁，不要問。

 

 

98. 假分數的存在
到這邊作個分享，關於帶分數和假分數。

學生發現，為什麼帶分數和假分數經常在作互換？其實不是因為題目愛整學生，一直要求換來換去，而是它們有各自的特色、專長。

帶分數重點在於量的理解和估計，一聽到帶分數就知道大約量有多少，而假分數的份量就很模糊。但假分數在計算上有很強的功能，加減乘除都有對假分數的依賴，相對於帶分數的計算，就不是那麼便利。

所以既然各有意義，我們要鼓勵孩子，跟帶分數、假分數都要當好朋友，不要太排斥它們某一個，互換也要熟練些。

雖然假分數在中年級已經引入，但並不太容易內化，到了五年級後，孩子抽象能力較為成熟了，而且計算也慢慢的看到例子，再引導一次帶分數、假分數的特色和優缺，孩子在觀念內化上將會更上一層樓。

 

 

寫在後面
我們都感受一下，看不見是一種怎麼樣的心情？

「有些時候，即使努力了，我仍舊讀不懂。在這個環境裡學習很孤獨，我好像是個失明的人，我真的讀不懂」。

大人抽象經驗總是多一些，而我們老師更以數學教育為職業，我們的數學視線也可能相對敏銳光明一點。所以我們容易忘記，有人學數學時和我們的「感覺」不同。

我們對學生得要求學習態度，但我們也要更尊重孩子個人學習速度差異。數學老師的專業素養中，有一部分極重要的：「要能夠帶著視力不同的孩子去爬山，去看風景，而且都要能看到風景」。

技術上不能只有一種套路，得要有不同軌的語言，隨時作變速。心態上，也要調整水位高低，這是一個學習落差大的科目，我們並不容易成功，但是我們就是要作足教學準備，不要放棄每一次有更好建構的機會。

互動的時候，如何與孩子抵抗到最後一秒，老師的口袋裡永遠得有預備招式：「你不懂的時候，我該如何具體讓你懂」、「你懂了以後，我如何能找機會，再挑戰你抽象的下一步」。

一堂好的課堂，必須要能夠激勵到孩子，讓他們享受到思考的樂趣，也去欣賞每個人不同的見解，一個題目願意嘗試兩三種不同方法，並且很誠心的敞開心胸，這樣熱血的數學課如果你經歷過，你會明白集體的力量有多大，會的人拼命去教不會的人，不會的人奮力不懈的去追問，老師主攻初步建構，最終也在適當時機，進行遠觀點、高觀點的知識整合，這是一幅多麼美好的畫面。

學習若能敞開、再敞開，這將會鼓舞起一種隱形的力量，我們這些愛學數學的人，好不願意看見永遠安安靜靜的數學教室，只有老師在講，學生不知道聽不聽得懂，不問也不想改變，會的人也從不去幫助別人。
一堂引人入勝的數學課是要思考互動，甚至要有些適度的激動，「合作」應該要出現在今日普遍乾渴、孤獨的數學課堂裡。

而老師的角色，除了要有觀念立基、穿針引線的能力和作為，每個人都應該要多輸出自己的資訊，新的教法，分享給其他老師，無論教得好不好，誠實說出來，我這個單元怎麼教，我遇到什麼問題，有沒有別的教法，背後數學歷史有哪些，更高度的思考又是什麼。我們心裡都清楚，我們從《數學教材教法》裡學的東西已經遺忘，也用不出來，學生給我們的反饋，現場看到一幕一幕最真實的反應，課後老師之間不斷的檢討修正，這才是我們老師實際成長的營養來源。

我們和一般父母差異是什麼？老師們獨有的專業是什麼？如果沒有差異、也沒有獨有專業，甚至沒有熱情，沒有技巧，說真的，我們恐怕也未完全盡到責任。

都把話說出來吧，你怎麼教，我怎麼教，我願意把我的爛方法拿出來講，我下次想教得更好，我也願意分享我的好方法，我就可以幫助到更多人，如同我們所鼓勵孩子的，我們老師也要合作、也要敞開。

根據著這個信念，這兩年多來，筆者花了零碎的時間，把一部分對話紀錄作了整理，編輯出了這本小書，我勉勵自己，就由自己開始，參與這樣的改變，就算我很普通，我也願意把我的普通說出來，只要說出來，我就得益，也會有不認識的老師、父母有所思考、有所震盪，最重要的，會有孩子那端的收成，而一切努力就值得了。

基礎科目教學我始終認為，不需要有智慧保留，成功不必在我，任何好方法，讓孩子能夠爬上山，我都樂意當個階梯石。

小在改變學習氛圍，大到影響孩子正向心智，老師的努力，絕對都值得。而路雖有蜿蜒，但每開啟一個步伐，便又離終點近了一點。與大家相勉。

羅一亮 交稿 慕雅出版社