微積分之屠龍寶刀

關於函數的極限，正經八百的教科書會告訴你：
若對所有 ε > 0，存在一個 δ > 0 ，使得| f (z) – c| < ε，
其中0 < |z – a| < δ，則函數 f (z) 有一極限：
limz → a f (z) = c

寫《微積分之屠龍寶刀》的三位教授則會舉實例告訴你：
假設你的鼻尖位置在x，而電風扇的位置在3。
那麼，當你的鼻子朝3 移近，而且愈來愈靠近時（但絕對不要真正到達3），會發生什麼事？

當然，你會覺得風愈來愈強。現在，我們要取limx → 3 b(x)，
其中的b(x) 就是當你的鼻子在點x 時，所感受到的風的強度。

這本微積分寶典，不會讓你正襟危坐；這本寶典著重於觀念的闡釋與釐清。

看不懂一般教科書、聽不懂教授的講解嗎？
請拿起《微積分之屠龍寶刀》，作者會用風扇、山羊、貓頭鷹、雞湯等生動的例子，把獨門妙招傳授給你，引導你過關斬將，樂在微積分。

亞當斯　Colin Adams／作者
亞當斯是美國威廉斯學院（Williams College）數學教授，曾榮獲1998年美國數學協會傑出教學獎，著有《The Knot Book》、《微積分之倚天寶劍》

湯普森　Joel Hass／作者
哈斯與湯普森均為美國加州大學戴維斯分校數學教授，並與亞當斯合著《微積分之倚天寶劍》。

哈斯　Abigail Thompson／作者
哈斯與湯普森均為美國加州大學戴維斯分校數學教授，並與亞當斯合著《微積分之倚天寶劍》。

如果你正打算要讀這篇序文，那麼這本書很可能不適合你。為什麼呢？因為我們預期這本書的讀者，應該是那些一天到晚忙這忙那的微積分學生，壓根兒不會有空來讀這種咬文嚼字、考試又一定不考的序文或導言。當然，也有可能是你還沒有買下這本書，正站在書店裡這邊瞧瞧、那邊翻翻，考慮到底要不要買回去─如果情形果真如此，那就讓我們簡單告訴你，這本書究竟在講什麼。

如果你想探知內行人所知道的祕訣跟竅門，使你的大一上學期微積分修得輕鬆愉快，那麼這本書必然是你所需要的；如果你想在快樂中學習到許多很了不起的數學，這本書也正好是你要找的。甚至當你只是想拿本書在手上做樣子，讓看見你的人以為你很有數學文化氣息，正倘佯、沉醉在知識的波濤裡，這本書也能幫你圓滿達成任務。

曾幾何時，你坐在教室裡聽講卻完全聽不懂，而面露窘態。可能是因為你的注意力，在一個節骨眼地方，被腦中突然閃過的其他念頭支開或打斷，也可能是因為任課老師在講解一些基本觀念時，一時高興過頭，不經意的扯到一些艱深理論去了，搞得你下了課之後是一頭霧水，只好求助於才思敏捷的同窗好友，還得請他一杯咖啡當作賄賂：「剛才那堂課上，教授講了些啥玩意兒呀？」結果，你那位朋友只用了短短五分鐘向你解釋，居然就讓你豁然大悟。

「什麼！就這麼簡單嗎？」你嘴裡這麼說著，心裡可是直嘀咕：「為什麼老師不一開始就如此解釋呢？」從此，你巴不得都有這位同窗在一旁，把課堂上講過的所有內容都向你解說一番。

你有這麼一位益友，可真是前生修來的福氣，不是每個人都這麼好命，這本書的目的就是要取代你那位朋友。本書提供了微積分裡面各種關鍵議題的「非正式」說明，而且盡可能跳過正式教科書中，沒啥用途的技術性細節與一大堆囉哩八唆的文字，而是著重於觀念的闡釋與釐清。本書並不是要取代微積分教科書，而是希望幫助讀者更容易了解教科書中的微言大義。

只要你的出發觀點正確，方法無誤，學習微積分不但是擴展心智的難得經驗，也是叫人心曠神怡的樂事。這本書將告訴你：微積分該怎麼教，如何找最好的老師，該學些什麼，以及考試時可能會考哪些部分。這些內容可都是我們當年在當大學生、必須修微積分時所企盼而不可得的呢！

好啦，你已經磨蹭得夠久了，何不拿著這本書到收銀台，掏腰包付點小錢把它買下來，然後咱們繼續再聊？

 

第1章　導言

第2章　你的任課老師到底是哪號人物？
2.1 選擇你的任課老師
2.2 對任課老師該有啥要求
2.3 如何與任課老師相處

第3章　輕鬆拿高分的十大通則

第4章　問題的好壞
4.1 幹嘛要問問題？
4.2 問題舉例
4.3 不該問的問題

第5章　準備好了嗎？來點先修課程
5.1 你學到了什麼
5.2 在上微積分的第一天，你應該知道什麼
5.3 電腦與計算機：咱們的二位元朋友

第6章　如何應付考試
6.1 會考些什麼
6.2 如何K書
6.3 如何不為考試而K書
6.4 應考須知

第7章　直線、圓、圓錐曲線幫
7.1 笛卡兒平面
7.2 一般繪圖妙方
7.3 直線
7.4 圓
7.5 橢圓、拋物線、雙曲線

第8章　極限：你可少不了它們
8.1 基本觀念
8.2 取極限的一般程序
8.3 單邊極限
8.4 怪異函數的極限
8.5 計算機與極限

第9章　連續性，或你為何不該在不連續的坡道上滑雪
9.1 觀念
9.2 連續性的三個條件

第10章　何謂導數？窮則變，變則通

第11章　導數的極限定義：求導數的麻煩方法
11.1 定義導數
11.2 其他形式的導數極限定義

第12章　求導數的簡單方法
12.1 微分法之基本法則
12.2 冪法則
12.3 積法則
12.4 商法則
12.5 三角函數的導數
12.6 二階導數、三階導數、更高階的導數

第13章　速度：油門踩到底
13.1 速度即導數
13.2 車子的位置與速度
13.3 自由落體的速度

第14章　鏈鎖律：S&M的遊戲？

第15章　畫函數圖形：如何當個專家
15.1 畫函數圖形
15.2 能夠絆倒你的困難圖形
15.3 二階導數檢測
15.4 凹性

第16章　極大值與極小值：實用部分
16.1 閉區間上的最大值及最小值
16.2 應用問題

第17章　隱微分法：咱們就拐彎抹角吧

第18章　相關變率：你變、我跟著變

第19章　求近似值：評估你的揚名立萬之路

第20章　中間值定理與均值定理
20.1 中間值定理：麵包中間沒夾東西就不叫三明治
20.2 均值定理：陡就是陡

第21章　積分：倒過來做就成了
21.1 不定積分
21.2 積分法：簡單的方法
21.3 代換法
21.4 眼珠技術
21.5 現成的積分表
21.6 利用電腦及計算機

第22章　定積分
22.1 如何求定積分
22.2 面積
22.3 微積分基本定理
22.4 跟定積分有關的一些基本法則
22.5 數值逼近法
22.6 黎曼和──附帶一些關鍵細節

第23章　模型：從玩具飛機到跑道
23.1 現實問題

第24章　指數與對數：「e」把戲總複習
24.1 指數
24.2 對數

第25章　把微積分這玩意兒用到指數與對數上
25.1 微分ex跟ex的朋友們
25.2 積分ex跟ex的朋友們
25.3 微分自然對數
25.4 當底為其他數時
25.5 積分與自然對數

第26章　對數微分法：把困難變容易

第27章　指數增長與指數衰退：壞傢伙的興亡

第28章　花花綠綠的積分技巧
28.1 分部積分法
28.2 三角代換法
28.3 部分分式積分法

第29章　二十個最常犯的錯誤

第30章　期末考會考些啥？

詞彙表：數學名詞速成
英中對照索引
公式祕笈

第10章　何謂導數？

窮則變，變則通
好了，現在我們終於講到了微積分觀念的精髓，這可是進入微積分初步裡面最重要的一個單元。何謂導數？為何大夥把它看得那麼重要？又為什麼幾乎每一個修過微積分的人，都對這個簡單的觀念聞之色變？
說穿了，導數這玩意兒真的相當簡單，一言以蔽之，就是「斜率」。

例題（抓羊）
假設你即將背著一隻打了麻醉藥的羊，走上山坡。我們先把山腳下位置的座標設定為(0, 0)，即原點，當你從山腳走上山坡的時候，你的x座標跟y座標都同時隨著你的移動而改變，事實上都是在增加。讓我們取h(x)為在x點上的山坡高度，所以函數h(x)的圖形，也就是滿足方程式y = h(x)的點所連成的曲線，就是這個山坡的輪廓。
由於你是背著一隻羊爬坡，所以你最關切的是你走過的任意一點的陡峭程度，因為愈是陡峭，坡就愈難爬。函數h(x)的導數，正是這個山坡在x點的陡峭程度，我們以h'(x)來表示。
譬如說，我們假設h'(10) = 1/6，以此表示你在x方向上走了10英尺之後，到達的新位置的陡峭程度等於1/6。而所謂的陡峭程度1/6，是指你在水平方向每移動1英尺（差不多一小步的距離），你必能垂直向上移動2英寸，這樣的坡度還不算陡。
不過，如果我們另外假設h'(20) = 5，那表示當你在x方向上走了20英尺時，會發現你腳下的地點非常陡峭。有多陡呢？相當於每向水平方向橫移1英尺，你就能上升5英尺！這時你恐怕需要一套登山裝備，另外還需要替那頭羊準備一個絞盤。
如果再假設h'(30) = －2呢？那就是說當x = 30時，你腳底下的地面是每橫移1英尺，就會在垂直方向移動－2英尺。換句話說，你正在下坡，這時你只要讓那頭羊滾下山坡就得啦。
當然，導數的功用不限於用來把麻醉過的羊扛上山坡，它們還可以應用在更為一般的狀況下，比如麻醉過的綿羊啦，麻醉過的土撥鼠啦，甚至麻醉過的小型美洲水牛等等。除了對上述用來量測一隻羊的海拔高度的函數外，導數更可以用在許多其他的函數上。

例題（貓頭鷹）
假設你的工作是在推銷塑膠製的貓頭鷹，另外有一群塑膠草坪裝飾品專家（一群MBA），幫你決定出一個利潤函數，可以從每隻貓頭鷹的售價算出你將得到的利潤。你想從這個函數，定出一個最合適的單價，目的是要使你的利潤最大。
換言之，你所要知道的就是，這個利潤函數會在何處到達最高點。如果把函數圖形畫出來，你會看到這個最高點就在此函數既不增加也不遞減的一瞬間。就在一剎那，函數的變化率等於0。若用讓人肅然起敬的數學術語來說，就是「在最高點的導數為0」。夠簡單吧！知道了這個重要的事實之後，我們就可以用它來找出最高點，定出這些耐磨損貓頭鷹的最佳售價。

例題（賽車）
在第三個例子中，我們假設你正在參加一場高速賽車。你坐在你那部超高馬力、燒汽油跟喝水似的賽車駕駛座裡面，在起跑線蓄勢待發，引擎一陣陣不斷怒吼。比賽一開始，函數f(t)就會告訴你，你的車子在t時刻，離開起跑線的距離，而t = 0就代表鳴槍開賽的一霎時。
在這種比賽場合裡，你最關心的當然是你的車速──無怪乎每部汽車都少不了車速表。然而，速率不就是位置的變化率嗎？就好像「每小時110英里」，指的就是速率，是在某一段固定單位時間內的移動距離。如果f(t)是個位置函數，那麼導數f'(t)就是該位置函數的變化率，正好就是速率。在你的賽車過程當中，車速一直在變。開始的一剎那，車子還停在起跑線後面，速率是每小時0英里；然後車子衝了出去，速率也愈來愈快，一直加速到車子的最高速率，每小時130英里；而當車子衝過終點線，車尾射出減速傘，車子就又減速到停止下來。
所以，在整個賽車過程中，你的導數從0上升到130，然後再下降回到0。車速表的用途只是在隨時告訴你，你在任何一個時間的位置的導數為何。因此，車速表也可以稱為「導數顯示計」，只是念起來稍微拗口了一些，而且也會占滿汽車零件目錄裡的篇幅。
假如在比賽開始之前，你由於緊張過度，不知不覺把車子誤放在倒檔上，結果會怎樣呢？哈！當紅燈變綠，比賽開始，你的左腳鬆開離合器，右腳把油門踩到底，然後你就會發現車子向後噴射了回去。當然，如果你只是一個勁的盯著眼前的車速表，你還不會察覺是怎麼回事呢，因為那個蠢玩意兒向來不顯示負的數值。你的車速實際上是每小時－130英里，方向與你預期的恰恰相反！如果你發現車子是在後退，那是因為你從後照鏡裡看到你的技師們的驚恐臉龐，正以驚人的速率在變大。這時你可以說，你的位置函數的導數為－130。

快速複習
到目前為止，本章的重點是要你明白一個觀念，那就是：函數y = f(x)的導數，度量了該函數的變化率。如果導數是個很大的正值，表示該函數正在疾速遞增；如果導數是個相當小的正值，表示函數也在遞增，只是遞增得很緩慢。若導數是負值，表示函數在遞減；如果導數等於0，表示函數至少在此瞬間是既不遞增、也不遞減，維持水平──它正在猶豫不決，哪兒都不去。
好啦，導數就是這麼回事兒。但是當然，我們還漏掉了一個非常基本的問題，那就是如何算出導數。譬如說，你要如何測量出山坡有多陡呢？其實，陡峭程度跟斜率意義相同，所以這個問題就是想要把山坡上每一點的斜率都算出來。但我們是用一條曲線來代表山坡，而且我們只知道如何測量直線的斜率，對於曲線還沒法度。
所以，我們勢必得先畫一條直線，用以代表曲線（山坡）在某一點上的斜率，而這條直線的斜率就是導數了。
（如圖10.4所示，）在點(x, h(x))跟山坡相接觸、而且斜率就等於山坡在該點的陡峭程度的直線，稱為「切線」。下一步我們要討論，如何實際計算出切線的斜率。