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微積分之倚天寶劍
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微積分之倚天寶劍

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商品簡介
作者簡介
目次
書摘/試閱
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商品簡介

本書是《微積分之屠龍寶刀》續集,內容從瑕積分、極座標、無窮級數的收斂、空間向量,到參數曲線、多變數函數、偏導數、多重積分、向量場。
想換一種方式,理解這些令人頭疼的課題嗎?歡迎你拿起《微積分之倚天寶劍》,跟隨三位寶貝作者的腳步,一同披荊斬棘,度過危機。

作者簡介

亞當斯 Colin Adams/作者
亞當斯是美國威廉斯學院(Williams College)數學教授,曾榮獲1998年美國數學協會傑出教學獎,著有《The Knot Book》、《微積分之倚天寶劍》

湯普森 Joel Hass/作者
哈斯與湯普森均為美國加州大學戴維斯分校數學教授,並與亞當斯合著《微積分之倚天寶劍》。

哈斯 Abigail Thompson/作者
哈斯與湯普森均為美國加州大學戴維斯分校數學教授,並與亞當斯合著《微積分之倚天寶劍》。

本書是《微積分之屠龍寶刀》的續篇,讀者是已經修過至少一學期微積分的學生,書裡的內容包含了微積分剩下的部分中,所有你需要知道的素材,諸如多變數微積分,以及序列與級數。為什麼我們要寫這第二本書呢?主要原因是,在《微積分之屠龍寶刀》出版之後,我們收到了無數正面回響的信件,得到廣大讀者的鼓舞。

以下是其中一封來信:

親愛的三位數學怪胎:
誰想得到你們三個滿腦子數學的鴨蛋頭,居然會寫出一本讓我欣賞的書?
你們的《微積分之屠龍寶刀》真是寫得很棒,完全轉變了我對數學的觀感。為了讓自己有更多時間做數學習題,我已經毅然決然辭去了兄弟會的「整人組」組長一職,我甚至正在認真考量,是否也應該一併戒掉啤酒。
之所以遲遲未做決定,原因是一旦戒了酒,我這兄弟會自然就待不下去啦。不過現在想想,即使離開兄弟會,也沒啥大不了!自從你們的書讓我開了眼界,看到數學真實、美好的一面之後,我對人類的各種創新努力,重新產生了敬意,也不再貿然輕視我們這個多元社會裡的每一個人。
換言之,我不再以貌取人;以前我認為,怪胎不可能有啥能耐跟內涵,現在我終於了解到,外形上的特質不足以反映出內在的巨大創新潛力。為此,我要謝謝你們改變了我的一生。我現在已下定決心,今後要貢獻棉薄之力,掃除社會上跟昨日之我相同的無知偏見。
不過我也知道,無論我如何努力,成效遠不如你們透過著書立說,匡正社會陋習的偉大貢獻。你們真了不起,我將永遠感謝你們。如果你們認為我有任何幫得上忙的地方,不管是人事上還是財務上,千萬別客氣,儘管吩咐。

莊孝維 謹上

P.S.:我只是在希望跟祈禱,你們能考慮為《微積分之屠龍寶刀》寫一本續集,寫完該書尚未提到的部分,包括序列、級數及多變數微積分等等。

好啦好啦!算你厲害,居然給你猜中了,這封信不是真的,而是我們杜撰出來的。不過,信中流露的感情卻是千真萬確的。在一個又一個郵包的來信裡,雖說每位讀者的表達方式不盡相同,但對《微積分之屠龍寶刀》的讚譽,卻是異口同聲,讓我們大大感動。

如果你現在正在書店裡翻閱這本書,你大概是:
剛修過初等微積分,使用過我們的《微積分之屠龍寶刀》,而且順利拿到高分。那麼你還在猶疑什麼?已經證明有幫助了,不是嗎?

剛修過初等微積分,但沒有讀到我們的前一本書,結果成績很差。顯然,你應該即刻買下這本書,以便亡羊補牢。順便把第一本也一併買下,保證有益無害。並沒有買過我們的第一本書,而你也獲得了高分。恭喜你,你真是不簡單,這證明了你的天資跟努力都具有相當水準。但是你有沒有仔細想一想,你是不是因為運氣好,才拿到高分?奉勸你趕快買下這本書,好大幅提高勝算。

的確買了我們的第一本書,學期結束時卻沒能獲得高分。難道是我們忘了告訴你,即使有了那本書,你還是必須上課聽講,考試時也不能缺席?
我們實在不願意想到或看到,你站在書店壅塞的走道上讀這本書,身旁人來人往,而你連個坐下伸個腿的地方都沒有。要是你現在就把書買回家,待會兒你就可以啜著冷飲,舒舒服服的坐下來,仔細閱讀你剛買的新書。這豈不是一大樂事?

在這本書中,我們將不再重複告訴你如何選任課老師、如何有效學習微積分等等(不過,我們希望這兩本書能夠並排擺在你的書架上,隨時供你參考),在你使用這《微積分之倚天寶劍》時,那些忠告一樣用得著。

這本書的目的,是在向你講解微積分後半部的一些專題,而不是要取代你現有的教科書。事實上,它也無法取代教科書,原因是份量不夠重。但是,這本書足以讓你明白,微積分這門課究竟在搞些什麼。所以你就放心讀吧,希望你讀得開心!

P.S.:不妨上網瀏覽我們的網站howtoace.com,你會看到許多幫助你拿高分的資訊,包括考古題網頁的連結、數學笑話,以及進一步的講解等等。

目次

第1章 導言

第2章 不定式與瑕積分
2.1 不定式
2.2 瑕積分

第3章 極座標
3.1 何謂極座標?
3.2 極座標中的面積

第4章 無窮級數
4.1 序列
4.2 序列的極限
4.3 級數:基本觀念
4.4 個性外向的幾何級數
4.5 第N項檢驗
4.6 更多朋友:積分檢驗與P級數
4.7 比較檢驗
4.8 交錯級數與絕對收斂
4.9 更多檢驗法
4.10 冪級數
4.11 什麼時候該用什麼檢驗?
4.12 泰勒級數
4.13 帶有餘項的泰勒公式
4.14 一些著名的泰勒級數

第5章 向量:從歐幾里得,到邱比特
5.1 平面上的向量
5.2 太空:最後的疆界(空間:期末考的邊遠地帶)
5.3 空間中的向量
5.4 點積(內積)
5.5 叉積(外積;向量積)
5.6 空間中的直線
5.7 空間中的平面

第6章 空間中的參數曲線:來坐坐雲霄飛車
6.1 參數曲線
6.2 曲率
6.3 速度與加速度

第7章 曲面與作圖
7.1 平面上的曲線:回顧一下
7.2 三維空間方程式的圖形
7.3 旋轉曲面
7.4 二次曲面(帶-oid字尾的曲面)

第8章 多變數函數,及它們的偏導數
8.1 多變數函數
8.2 等高線8.3 極限
8.4 連續性
8.5 偏導數
8.6 最大、最小值問題
8.7 鏈鎖律
8.8 梯度與方向導數
8.9 拉格朗日乘數
8.10 二階導數檢驗

第9章 多重積分
9.1 二重積分與極限:技術方面的東西
9.2 求二重積分
9.3 二重積分與圖形下方的體積
9.4 極座標中的二重積分
9.5 三重積分
9.6 柱面座標與球面座標
9.7 質量、質心、矩
9.8 座標變換

第10章 向量場與格林-斯托克斯幫
10.1 向量場
10.2 認識散度跟旋度
10.3 線積分陣容
10.4 向量場的線積分
10.5 保守向量場
10.6 格林定理
10.7 散度定理:求散度的積分
10.8 面積分
10.9 火上加油!

第11章 期末考會考些什麼?
詞彙表:數學名詞速成
英中對照索引
公式祕笈

書摘/試閱

第8章 多變數函數,及它們的偏導數

8.5 偏導數
你應該還記得,函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線(如圖8.12所示)。現在我們要把這項觀念,推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。
怎麼辦呢?讓我們假設,你現在正站在聖母峰的山腰上,身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備,有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時,覺得自己酷得不得了,然而現在,你感覺不到酷,而是寒冷徹骨,因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來,原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。
你被綁在一根繩索的一端,繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡的帶環鋼釘上,而繩索的另一端,則掌握在芬蘭籍隊長的手中。他這時正拚命向你打手勢,並且用你壓根兒聽不懂的芬蘭話向你猛喊;似乎從這次探險一開始,你對他的唯一印象,就是見他拚命向你打手勢,並且用你聽不懂的芬蘭話向你猛喊。
這時候風愈刮愈大,氣溫也似乎在疾速下降,你不由得再一次自問,明明可以無憂無慮的躺在游泳池面上,啜飲著熱帶果汁,幹嘛要發神經參加什麼高山探險隊? 你猜測,也許這位芬蘭隊長看時候不早,應該轉回基地營區,喝杯熱可可加上軟棉糖,以禦寒氣,所以你自以為是的向東跨出一小步。哪裡知道你這一腳踩了個空,因為在你所踏出的方向,根本沒有落腳處:下一個落腳處是在負z方向的200英尺外!
幸好你頭頂上的鋼釘沒有鬆脫,你才沒摔下去,結果整個人懸在半空中。這時你的芬蘭隊長喊聲更急促響亮,同時死命的拽住繩索,額頭上的青筋都冒了出來。 當然,剛才這幕驚險鏡頭之所以發生,問題出在山峰的東側坡度太陡。你定了定神,然後拿出吃奶的力氣,好不容易才收回了你那隻差一點造成千古恨的腳。
驚魂甫定,仔細向下看清楚之後,你這才發現芬蘭隊長的手勢,原來是在叫你向正北方移動前進,因為那一側的坡度沒那麼大,一步跨出去,只不過向負z軸方向踏出2英尺而已。 這讓你思想起大學時代修過的多變數微積分。你記起了,當你在三維空間曲面上的一點,就跟你現在站在山腰上的情形一樣,你周圍有不只一個斜率。
事實上,不管你面朝任何一個方向,都可能有一個不同的斜率,也就是在該方向上的切線的斜率。 假設這座山的表面,可由函數z = f(x, y)的圖形來表示,其中的正x軸指向正東方,而正y軸指向正北方(如圖8.13)。
剛才的那幕驚魂記,就相當於x方向上的切線斜率很大,而且為負值,約為-200,因為落差有200英尺;至於正y方向(亦即正北方)上的切線斜率,雖然也是負值,但是沒那麼陡,大約為 -2,因為落差僅2英尺。
你仍然記得,你的微積分老師(那個看起來不太愛乾淨的傢伙)曾經告訴過你們,函數f對x的偏微分,就是它在x方向的切線的斜率。
你還記得當時不太瞭解他的意思,於是發問道:「對不起,教授!x方向哪有什麼切線?x方向不是水平的嗎?切線不都是傾斜的嗎?」(多有趣啊,每當你的生命面臨危險時,你常會突然記起一些毫不相干的往事。) 於是,你的教授丟過來一個非常不屑的眼神,然後說:「你聽好,我的意思是你得取一個通過所求的那一點、且跟xz平面平行的平面,然後在該平面上取這個曲面的切線。」接著他就在黑板上畫了一個像圖8.14的圖形。
「我懂了!」你跟著說道:「如此一來,我們就可以用平面上求導數的同樣方法,去計算它的導數了。」於是你也走上講台,在黑板上畫了一個像圖8.15的圖形。 他見你如此舉一反三,立刻衝著你露齒一笑,只是露出的兩顆門牙還真是難看透頂。即使如此,你對他馬上產生了不少好感,心裡還打算也許就此轉系,主修數學。

 

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