從矢量到張量：細說矢量與矢量分析，張量與張量分析（簡體書）

《從矢量到張量：細說矢量與矢量分析，張量與張量分析》是“高等數學啟蒙小叢書”系列中的一本。
張量的概念由 G.Ricci 於19世紀末提出的，研究張量旨在為幾何性質和物理規律的表達尋求一種在坐標變換下不變的形式，在相對論中得到廣泛應用。它既是物理學概念，又是一個數學的概念，是微分幾何研究的一個方向，也是現代機器學習的基礎。但是如果直接講解，讀者很難理解。 “既有大小又有方向的量（在物理學中稱作矢量，在數學中稱作向量。）”則相對容易理解，作者以此為起點，分為六個部分，二十個章節，一步步向讀者介紹，直至張量。
如：第一部分從矢量的袋鼠運算講起，詳述矢量的矢量混合積；第二部分，引入矢量三重系；第三部分，先講解變矢量的微分運算；第四部分，討論矢量場的線積分與面積分；第五部分，從曲線坐標入手，討論曲線坐標下的向量；第六部分，則研究黎曼空間及黎曼空間中的張量等。

馮承天

著有《從一元一次方程到伽羅瓦理論》《從求解多項式方程到阿貝爾不可能性定理——細說五次方程無求根公式》《從代數基本定理到超越數——一段經典數學的奇幻之旅》；譯有《對稱》、《尋覓基元：探索物質的終極結構》、《怎樣解題：數學思維的新方法》、《戀愛中的愛因斯坦：科學羅曼史》等。

總 序

早在20世紀60年代，筆者為了學習物理科學，有幸接觸了很多數學好書.比如：為了研讀拉卡（G. Racah）的《群論和核譜》
梅向明譯，高等教育出版社，1959.
，研讀了彌永昌吉、杉浦光夫的《代數學》
熊全淹譯，上海科學技術出版社，1962.
；為了翻譯卡密裡（M. Carmeli）和馬林（S. Malin）的《轉動群和洛侖茲群表現論引論》
欒德懷，張民生，馮承天譯，華中工學院，1978.
、密勒（W. Miller. Jr）的《對稱性群及其應用》
欒德懷，馮承天，張民生譯，科學出版社，1981.
及懷邦（B. G. Wybourne）的《典型群及其在物理學上的應用》
馮承天，金元望，張民生，欒德懷譯，科學出版社，1982.
等，仔細研讀了岩堀長慶的《李群論》
孫澤瀛譯，上海科學技術出版社，1962.
……
在學習的過程中，我深深地感到數學工具的重要性.許多物理科學領域的概念和計算，均需要數學工具的支撐.然而，很可惜：關於群的起源的讀物很少，且大部分科普讀物只有結論而無實質性內容，專業的伽羅瓦理論則更是令普通讀者望文生“畏”；如今，時間已過去半個多世紀，我也年逾古稀，得抓緊時機提筆，同廣大數學愛好者們重溫、分享這些重要的數學知識，一起體驗數學之美，享受數學之樂.
深入淺出地闡明伽羅瓦理論是一個很好的切入點，不過，近世代數理論比較抽象，普通讀者很難理解併入門.這就要求寫作者必須盡可能考慮普通讀者的閱讀基礎，體會到初學者感到困難的地方，盡量講清楚每一個數學推導的細節.其實，群的概念正是從數學家對根式求解的探索中誕生的，於是，我想就從歷史上數學家們對多項式方程的根式求解如何求索講起，順勢引出群的概念，幫助讀者了解不僅在物理學領域，而且在化學、晶體學等學科中的應用也十分廣泛的群論的起源.
2012年，我的第一本書——《從一元一次方程到伽羅瓦理論》出版.該書從一元一次方程說起，一步步由淺入深、循序漸進，直至伽羅瓦——一位極年輕的天才數學家，詳述他是如何初創群與域的數學概念，如何完美地得出一般多項式方程根式求解的判據.圖書付梓之後，承蒙讀者抬愛，多次加印，這讓筆者受到很大鼓舞.
於是，我寫了第二本書——《從求解多項式方程到阿貝爾不可能性定理——細說五次方程無求根公式》.這本書的起點稍微高一些，需要讀者俱備高中數學的基礎.這本書仍從多項式方程說起，但是，期望換一個角度，在“不用群論”的情況下，介紹數學家得出“一般五次多項式方程不可根式求解”結論（也即“阿貝爾不可能性定理”）的過程.在這本書裡，我把初等數論、高等代數中的一些重要概念與理論串在一起詳細介紹.比如：為了更好地詮釋阿貝爾理論，使之可讀性更強一些，我用克羅內克定理來推導出阿貝爾不可能性定理等；為了向讀者講清楚克羅內克方法，引入了复共軛封閉域等新的概念，同時期望以一些不同的處理方法，對第一本書《從一元一次方程到伽羅瓦理論》所涉及的內容作進一步的闡述.
寫作本書的過程中，我接觸到一份重要的文獻——H. Drrie的Triumph
der Mathematik: hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kulture, PhysicaVerlag,Würzburg,Germany, 1958.其中的一篇，論述了阿貝爾理論.該書的最初版本為德文，而該文的內容則過於簡略，晦澀難懂，加上中譯本系在英譯本的基礎上譯成，等於是在英譯德產生的錯誤的基礎上又添了中譯英的錯誤，這就使得該文成了實實在在的“天書”.在筆者的努力下，阿貝爾理論終於有了一份可讀性較強的詮釋.衷心期望廣大數學愛好者，除了學好數學，也多學一點外語，這樣，碰到重要的文獻，能夠直接查詢原版，讀懂弄通，此為題外話.
寫成以上兩本書之後，仍感覺需要進一步補充和提高，於是寫了第三本書——《從代數基本定理到超越數——一段經典數學的奇幻之旅》.本書在寫作上，繼續沿用前兩本的思路，從普通讀者知曉的基本的代數知識出發，循序漸進地闡明數學史上的一系列重要課題，比如：數學家們如何證明代數基本定理，如何證明π和e是無理數，並繼而證明它們是超越數，期望讀者在閱讀本書的過程中，掌握多項式理論、域論、尺規作圖理論等；也期望在這本書裡，對第一本、第二本未講清楚的地方繼續進行補充.
藉這三本書再版的機會，我對初版存在的印刷錯誤進行了修改，對正文的內容進行了補充與完善，使之可讀性更強，力求自成體系.
另外，借“總序”作一個小小的新書預告.關於本系列，筆者期望再補充兩本：第四本是《從矢量到張量》，第五本是《從空間曲線到黎曼幾何》.作者在新書撰寫的過程中，已經將“黎曼幾何”的內容納入《從矢量到張量：細說矢量與矢量分析，張量與張量分析》一書，另一冊新書中，對該內容不再贅述，書名修改為《從空間曲線到高斯-博內定理》；兩冊新書出版的順序可能亦有變化.——出版者註筆者認為“矢量與張量”“空間曲線與黎曼幾何”都是優美而且有重大應用的數學理論，都應該而且能夠被簡潔明了地介紹給廣大數學愛好者.
衷心期望數學——這一在自然科學和人文科學中都有重大應用的工具，能得到更大程度的普及，期望藉本系列圖書出版的機會，與更多的數學、物理學工作者，數學、物理學愛好者，普通讀者分享數學的知識、方法及學習數學的意義，期望大家在學習數學的同時，能體會到數學之美，享受數學！
馮承天
2019年4月4日於上海師範大學

第一部分 矢量代數理論

第一章 數、矢量和矢量的加法與數乘運算
§1．1 數與數域
§1．2 矢量及其表示
§1．3 矢量的加法與減法
§1．4 矢量的數乘運算
§1．5 應用：歐拉線

第二章 矢量構成向量空間
§2．1 向量空間
§2．2 向量的線性相關與無關
§2．3 向量空間的基
§2．4 矢量：二維平面，三維空間，以及矢量的分解
§2．5 坐標係與同構
§2．6 直角坐標系
§2．7 右手係與左手系

第三章 矢量的內積和矢量積
§3．1 矢量內積的定義
§3．2 內積與射影
§3．3 矢量的內積滿足分配律
§3．4 用坐標來計算矢量的內積
§3．5 矢量的矢量積
§3．6 矢量積的分配律以及矢量積的坐標表達式
§3．7 二類矢量

第四章 矢量的矢量混合積和矢量三重積
§4．1 三個矢量的矢量混合積及其幾何意義
§4．2 矢量的矢量混合積的坐標計算公式
§4．3 矢量的矢量混合積的一些性質
§4．4 計算［A B C］2
§4．5 矢量混合積給出的幾何和代數關係
§4．6 矢量的矢量三重積
§4．7 應用：球面三角形的正弦定理

第二部分 矢量三重系，矢量三重系的變換和張量，以及笛卡兒張量與4維張量

第五章 矢量三重系
§5．1 矢量三重系和愛因斯坦求和規約
§5．2 度規gij
§5．3 度規矩陣及其行列式
§5．4 （gij）的逆矩陣（gij）
§5．5 三重系e1，　e2，　e3的對偶系e1，　e2，　e3
§5．6 三重係與其對偶系之間的一些代數關係
§5．7 三重係與其對偶系之間的一個幾何關係
§5．8 矢量在三重系及其對偶系下的分量

第六章 三重系之間的變換
§6．1 三重系之間的變換以及相應的對偶系之間的變換
§6．2 矢量的逆變分量的變換方式
§6．3 矢量的協變分量的變換方式
§6．4 對偶系之間的變換
§6．5 度規gij的變換方式——張量概念的一個模型
§6．6 量gij的變換方式

第七章 三重系變換下的張量
§7．1 三重系變換下張量的定義
§7．2 三重系下張量的加法、減法、張量積和數乘
§7．3 張量的縮並
§7．4 張量的內積運算
§7．5 張量的商法則
§7．6 相伴張量、對稱張量、反對稱張量
§7．7 從張量的運算看矢量的矢量積

第八章 三維空間正交變換下的張量——笛卡兒張量
§8．1 三維空間中的正交歸一基
§8．2 三維空間中的正交變換
§8．3 正交變換的幾何意義——保持矢量的內積不變
§8．4 正交變換的一些特殊元：轉動、鏡面反射、反演變換
§8．5 二維空間中轉動的矩陣表示和矢量
§8．6 2階笛卡兒張量的一個模型
§8．7 三維空間中的轉動變換給出的笛卡兒張量
§8．8 2階張量的矩陣表示
§8．9 （γij）的一個性質
§8．10 A×B在轉動下的變換
§8．11 O（3）的兩類笛卡兒張量

第九章 閔可夫斯基空間中的張量
§9．1 慣性系之間的洛倫茲變換
§9．2 閔可夫斯基空間
§9．3 龐加萊空間
§9．4 4維張量
§9．5 4維矢量與4維2階張量的結構
§9．6 4維不變量
§9．7 相對性原理和物理規律的協變性

第三部分 數量場的梯度，矢量場的散度與旋度

第十章 變矢量的微分運算
§10．1 變矢量和導矢量
§10．2 矢量求導運算在三重系下的表達式
§10．3 矢量求導運算的公式
§10．4 弧長作為參數時曲線的切線矢量
§10．5 曲線的曲率與主法線矢量
§10．6 副法線矢量和曲線上的活動坐標系
§10．7 曲線的撓率以及弗雷內—塞雷公式
§10．8 應用：螺旋線
§10．9 應用：空間曲面的法矢量

第十一章 數量場的梯度
§11．1 數量場和矢量場
§11．2 數量場的梯度
§11．3 算子Δ以及梯度的運算性質
§11．4 數量場的方嚮導數
§11．5 矢量場可能有的勢

第十二章 矢量場的散度
§12．1 矢量場散度的定義
§12．2 散度的意義
§12．3 散度的兩個公式
§12．4 拉普拉斯算子和調和函數

第十三章 矢量場的旋度
§13．1 矢量場旋度的定義
§13．2 旋度的兩個公式
§13．3 從一個特例看旋度的意義
§13．4 有關梯度、散度、旋度的一些重要公式

第四部分 矢量場的線積分和麵積分

第十四章 矢量場的線積分與面積分
§14．1 變矢的通常積分
§14．2 數量場的線積分
§14．3 矢量場的切線線積分
§14．4 應用：保守矢量場
§14．5 保守矢量場的充要條件是場無旋
§14．6 數量場的面積分
§14．7 矢量場給出的面積分

第十五章 散度定理、斯托克斯定理和格林恆等式
§15．1 一條重要的引理
§15．2 有關梯度的一個積分定理
§15．3 散度定理
§15．4 有關旋度的一個積分定理
§15．5 應用：連續性方程
§15．6 平面中的斯托克斯定理——格林定理
§15．7 斯托克斯定理
§15．8 斯托克斯定理的逆定理
§15．9 格林第一恆定式和第二恆等式

第五部分 曲線坐標和協變微分

第十六章 曲線坐標
§16．1 一個例子——平面極坐標
§16．2 曲線坐標的概念
§16．3 柱面坐標
§16．4 球面坐標
§16．5 曲線坐標下的矢量三重系
§16．6 基本度量形式以及正交曲線坐標系
§16．7 雅可比矩陣、雅可比行列式，以及體積元
§16．8 拉梅係數
§16．9 應用：柱面坐標
§16．10 應用：球面坐標
§16．11 矢量關於正交曲線坐標系的物理分量
§16．12 矢量關於活動坐標系的幾何分量

第十七章 曲線坐標系的變換和基本方程
§17．1 曲線坐標系的變換
§17．2 矢量分量的變換方式
§17．3 度規張量gij
§17．4 曲線坐標系下的基本方程
§17．5 用度規張量表示克氏符號
§17．6 克氏符號的變換性質
§17．7 克氏符號的一個重要性質

第十八章 曲線坐標下的協變微分
§18．1 曲線坐標與協變微分
§18．2 矢量場逆變分量的協變微分和協變導數
§18．3 矢量場協變分量的協變微分和協變導數
§18．4 張量場的協變微分和協變導數
§18．5 gij和gij的協變微分
§18．6 張量的和與張量積的協變微分和協變導數
§18．7 應用：曲線坐標下的梯度
§18．8 應用：曲線坐標下的散度
§18．9 應用：曲線坐標下的旋度
§18．10 應用：曲線坐標下的拉普拉斯算子

第六部分 黎曼空間中的張量

第十九章 n維空間Rn及其中的坐標變換
§19．1 n維空間Rn
§19．2 Rn中的坐標變換
§19．3 一些例子
§19．4 容許變換下的向量
§19．5 容許變換下的張量
§19．6 容許變換下張量的代數運算
§19．7 容許坐標變換的一些特例

第二十章 黎曼空間和張量分析
§20．1 逆變向量沿曲線上的通常導數
§20．2 線元和度量形式
§20．3 黎曼空間
§20．4 歐幾里得空間作為黎曼空間
§20．5 gij和gij
§20．6 向量的內積
§20．7 向量的長度、兩個向量之間的夾角，以及曲線的弧長
§20．8 相對張量和絕對張量
§20．9 克氏符號
§20．10 克氏符號的變換法則
§20．11 應用：黎曼空間中的測地線
§20．12 數量場和協變向量場的協變微分
§20．13 逆變向量場和張量場的協變微分
§20．14 張量場沿一條曲線的絕對導數
§20．15 張量場在一條曲線上的平行移動
§20．16 曲率張量
§20．17 協變曲率張量
§20．18 協變曲率張量的對稱性
§20．19 里奇公式
§20．20 比安基第二恆等式
§20．21 里奇張量和曲率標量
§20．22 愛因斯坦張量及其性質
§20．23 應用：愛因斯坦引力場方程

附錄
附錄1 證明矢量的矢量積對加法滿足分配律
附錄2 對於任意三階矩陣A和B證明AB＝AB
附錄3 三個變量的正定二次形式
附錄4 群的概念與龐加萊群及其子群
附錄5 旋度的物理意義
附錄6 ∫cF·dr與積分路徑無關是F是保守矢量場的充分條件
附錄7 矢量場A是保守場的充要條件：A是無旋的
附錄8 證明§15．7中的引理15．7．1：∮cfdx＝∫∫sfzdzdx－fydxdy
附錄9 3×3對稱滿秩矩陣的逆矩陣以及關於它的行列式導數的一個表達式
附錄10 置換符號與置換張量
附錄11 變分法中的歐拉—拉格朗日方程
附錄12 淺說外微分形式及其外積與外微分

參考文獻

前 言

讀書，始讀，未知有疑；其次，則漸漸有疑；中則節節是疑．過了這一番，疑漸漸釋，以至融會貫通，都無所疑，方始是學．
——宋·朱熹《朱子語類》
物理量是標量、矢量，或更一般的張量，而物理規律則是這些量之間的一些關係式，這就使得矢量與矢量分析，張量與張量分析在諸如力學、電磁學、空氣動力學、流體力學、連續介質力學，以及相對論等物理科學中有重大應用了．
本書就是論述矢量和張量理論以及它們的基本應用的一本小冊子．筆者憶及在初學這些課題時遇到的不少困難，產生的一個又一個的問題，所以從最簡單的三維空間的矢量講起，以坐標變換為主要線索，用詳細論述的方式，對矢量和張量的種種方面作了統一處理．一系列的教學實踐使筆者深信：一位掌握微積分初步運算和具有行列式與矩陣概念和運算的讀者，只要勤於思考，一定能理解書中的內容；只要樂於思考，也一定能掌握書中所使用的數學方法並應用到各自的專業中去，同時給自己帶來數學之美的享受．
筆者在書後的參考文獻中列出了自己在研讀這些專題和撰寫本書時讀過的部分好書，希望對那些想繼續深入研究的讀者有所幫助．
最後，感謝首都師範大學欒德懷教授的長期關心、教導和鞭策，感謝上海師範大學陳躍副教授的許多寶貴意見和建議，還有吉林大學吳兆顏教授的討論和鼓勵．感謝華東師範大學出版社的王焰社長及各位編輯，他們為本書的出版給予了極大的支持和幫助．
希望本書能成為廣大數學愛好者學習矢量與矢量分析，張量與張量分析的一本可讀性較強的讀物，也極希望得到大家的批評與指正．
2020年6月