偏微分方程教程(簡體書)

本書根據作者們多次對數學專業的大學本科生及研究生講授偏微分方程課程的講稿編寫而成。全書共分八章，包括一階偏微分方程的求解，特征理論及方程的分類，雙曲型、拋物型及橢圓型方程的求解方法及基本理論，Fourier變換，Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例。各章內容相對獨立，自成體系，教學時可根據實際教學時數，任選幾章獨立安排教學。 本書可作為高等院校數學系本科生“偏微分方程”、“數學物理方程”課程的教材或參考書，也可作為理工科本科生和研究生“數學物理方程”、“數學物理方法”課程的參考書或教材。

第一章 方程的導出及定解問題的提法
1 基本概念
1.1 什么是偏微分方程
1.2 偏微分方程的解
1.3 偏微分方程的階
1.4 線性偏微分方程
1.5 非線性偏微分方程
習題1-1
2 幾個經典方程
2.1 弦振動方程
2.2 膜振動方程
2.3 熱傳導方程
2.4 拉普拉斯(Laplace)方程
習題1-2
3 定解問題
3.1 定解問題
3.2 三類典型的邊界條件
3.3 適定性
習題1-3
第二章 一階偏微分方程
1 基本概念
1.1 積分曲面
1.2 特征線與全特征線
習題2-1
2 線性齊次偏微分方程
2.1 通解的結構
2.2 初值問題
習題2-2
3 擬線性偏微分方程
3.1 通解的結構
3.2 初值問題
習題2-3
4 完全非線性偏微分方程
習題2-4
第三章 特征理論與方程的分類
1 二階方程的特征
1.1 兩個自變量的情形
1.2 多個自變量的情形
習題3-1
2 二階方程的分類
2.1 兩個自變量的情形
2.2 多個自變量的情形
習題3-2
3 一階方程組的特征及分類
3.1 兩個自變量的情形
3.2 多個自變量的情形
習題3-3
第四章 雙曲型方程
1 Duhamel原理
1.1 Cauchy問題
1.2 混合問題
習題4-1
2 一維波動方程
2.1 齊次波動方程的Cauchy問題和特征線法
2.2 DAlembert公式的物理意義
2.3 DAlembert公式的幾何解釋
2.4 依賴區域、決定區域和影響區域
2.5 齊次波動方程的混合問題
2.6 非齊次波動方程的Cauchy問題
習題4-2
3 高維波動方程
3.1 三維齊次波動方程的Cauchy問題
3.2 二維波動方程與降維法
3.3 依賴區域、決定區域和影響區域
3.4 波的傳播速度
3.5 Poisson公式的物理意義
3.6 非齊次波動方程的Cauchy問題
習題4-3
4 分離變量法
4.1 齊次波動方程的混合問題
4.2 非齊次波動方程的混合問題
4.3 一般的特征值問題
4.4 二維波動方程的混合問題
4.5 物理意義，駐波法
習題4-4
5 能量積分、惟一性和穩定性
5.1 能量積分
5.2 混合問題解的唯一性
5.3 能量不等式
5.4 Cauchy問題解的唯一性和穩定性
習題4-5
第五章 拋物型方程
1 熱傳導方程的Cauchy問題
1.1 齊次方程
1.2 非齊次方程
習題5-1
2 熱傳導方程的混合問題
2.1 半直線上的熱傳導方程與熱的反射
2.2 有限區間上的熱傳導方程與分離變量法
習題5-2
3 極值原理、最大模估計、惟一性和穩定性
3.1 弱極值原理
3.2 第一邊值問題解的最大模估計、惟一性與穩定性
3.3 第二、三邊值問題解的最大模估計
3.4 Cauchy問題解的最大模估計
3.5 邊值問題的能量估計
習題5-3
第六章 橢圓型方程
1 調和函數
1.1 Green公式
1.2 調和函數與基本解
1.3 和函數的基本性質
習題 6-1
2 Green函數
2.1 Green函數的定義
2.2 Green函數的幾個重要性質
習題6-2
3 球上的Dirichlet問題
3.1 Poisson公式
3.2 解的存在性
3.3 哈那克（Harnack）不等式及其應用
習題6-3
4 極值原理、惟一性與穩定性
4.1 極值原理
4.2 第一邊值問題解的惟一性和穩定性
4.3 第二邊值問題解的惟一性
習題6-4
5 分離變量法
習題6-5
第七章 Fourier變換及其應用
1 Fourier變換及其性質
1.1 Fourier變換
1.2 基本性質
1.3 幾個例子
1.4 高維空間的Fourier變換
習題7-1
2 應用
習題7-2
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例
1 Cauchy-Kovalevskaya定理
1.1 多重指標
1.2 實解析函數與強函數
1.3 Cauchy-Kovalevskaya定理
習題8-1
2 Lewy的反例
習題8-2
主要參考文獻