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全書共分八章，第一章是預備知識，介紹一些重要基本概念和重要定理。第二章介紹差分近似導數的各種方法，及差分格式的Fourier誤差分析。第三章介紹差分格式的收斂性、相容性和穩定性的分析，重點介紹穩定性分析的Fourier級數法和矩陣分析法。第四章介紹橢圓型方程的差分方法，包括基於變分原理的差分方法。第五章介紹差分方程的迭代求解，包括經典迭代方法、Krylov子空間的各種迭代方法和多重網格法。第六章介紹拋物型方程的差分方法，包括算子形式的熱傳導方程。第七章介紹雙曲型方程的差分方法，包括差分格式的耗散和頻散分析、基於快速Fourier變換的偽譜法。最後，第八章對流體力學方程的重要差分作了簡要介紹。
目次
第一章 基礎知識
§1.1 偏微分方程基本概念
§1.1.1 方程的分類
§1.1.2 方程的特征線
§1.1.3 方程組的分類
§1.1.4 定解條件
§1.2 矩陣的基本概念
§1.3 矩陣重要性質與定理
§1.3.1 三對角矩陣特征值
§1.3.2 矩陣特征值估計及非奇異性判定
§1.3.3 Schur定理
§1.4 向量和矩陣的范數
§1.4.1 矩陣范數與譜半徑的關系
§1.4.2 矩陣范數的估計
§1.4.3 矩陣序列的收斂性
§1.5 其他重要定理
§1.5.1 實系數多項式的根
§1.5.2 Newton-Cotes型數值積分公式
§1.5.3 Green公式
第二章 有限差分近似基礎
§2.1 網格及有限差分記號
§2.2 空間導數近似
§2.3 矩陣差分算子
§2.4 導數的算子表示
§2.5 任何階精度差分格式的建立
§2.5.1 Taylor級數表
§2.5.2 差分近似的推廣
§2.6 有限體積法
§2.7 非均勻網格
§2.8 Fourier誤差分析
第三章 有限差分格式的收斂性、相容性和穩定性
§3.1 收斂性
§3.1.1 初值問題
§3.1.2 初邊值問題
§3.2 相容性
§3.2.1 初值問題
§3.2.2 初邊值問題
§3.3 穩定性
§3.4 Lax定理
§3.5 穩定性分析方法
§3.5.1 FourieI.級數法（yon Neumann法）
§3.5.2 矩陣分析法
§3.5.3 能量方法
第四章 橢圓型方程
§4.1 兩點邊值問題的差分格式
§4.1.1 差分近似
§4.1.2 有限體積法
§4.2 基于變分原理的差分格式
§4.2.1基于RJesz法的差分近似
§4.2.2基于Galrkin方法的差分近似
§4.3 Laplace方程的五點差分格式
§4.4 有限體積法
§4.5 Poisson方程基于Riesz法的差分格式
§4.5.1 二維橢圓型邊值問題的變分形式
§4.5.2 差分格式推導
§4.6 正三角形和正六邊形網格
§4.7 邊界條件的處理
§4.7.1 Dirichlet.邊界條件
§4.7.2 Neumann邊界條件
§4.7.3 Robbins邊界條件
§4.8 差分格式的收斂性分析
§4.9 極坐標下：Poission方程的差分格式
§4.10 用離散Fourier變換求解橢圓型問題
第五章 差分方程的求解
§5.1 殘量校正法
§5.1.1 迭代格式
§5.1.2 收斂性分析
§5.1.3 迭代中止準則
§5.2 基本迭代法
§5.2.1 Jacobi迭代格式
§5.2.2 Gauss-Seidel迭代格式
§5.2.3 逐次超松弛迭代格式
§5.2.4 對稱與反對稱超松弛迭代格式
§5.2.5 其他迭代形式
§5.3 預條件迭代方法
§5.3.1 預條件Richardson（PR）法
§5.3.2 預條件Richardson極小殘量（PRMR）法
§5.3.3 預條件Pdchardson最速下降（PRSD）法
§5.3.4 共軛梯度（CG）法
§5.3.5 預條件共軛梯度（PCG）法
§5.3.6 預條件子
§5.4 Krylov子空間迭代方法
§5.4.1 共軛梯度法方程殘量（CGNR）法
§5.4.2 共軛梯度法方程誤差（CGNE）法
§5.4.3 廣義共軛殘量（GCR）法
§5.4.4 Orthodir方法
§5.4.5 廣義極小殘量法（GMRES）迭代
§5.4.6 極小殘量（MINRES）法
§5.4.7 雙共軛梯度（BLCG）法
§5.4.8 擬極小殘量（QMR）法
§5.4.9 共軛梯度平方（CGS）法
§5.4.10 雙共軛梯度穩定化（BiCGSuB）法
§5.5 多重網格法
§5.5.1 低頻分量與高頻分量
§5.5.2 網格變換
§5.5.3 粗網格校正
§5.6 平行迭代算法
§5.6.1 Jacobi迭代法
§5.6.2 G—S迭代
§5.6.3 逐次超松弛（SOR）迭代法
§5.6.4 線迭代法
第六章 拋物型方程
§6.1 一維常系數擴散方程
§6.1.1 向前和向后差分格式
§6.1.2 加權隱式格式
§6.1.3 三層顯式格式
§6.1.4 三層隱式格式
§6.1.5 跳點格式
§6.1.6 預測校正格式
§6.1.7 不對稱格式
§6.2 變系數拋物型方程
§6.3 非線性拋物型方程
§6.4 對流擴散方程
§6.4.1 FTCS格式
§6.4.2 單元法
§6.4.3 混合型格式
§6.5 二維熱傳導方程
§6.5.1 加權差分格式
§6.5.2 Saulyev不對稱格式
§6.5.3 Du Fort-Frankel格式
§6.5.4 交替方向顯（ADE）格式
§6.5.5 交替方向隱（ADI）格式
§6.5.6 局部一維（LOD）法
§6.6 三維熱傳導方程
§6.7 算子形式的熱傳導方程
§6.7.1 CN格式
§6.7.2 CN分裂格式及循環對稱分裂格式
第七章 雙曲型方程
§7.1線性對流方程
§7.1.1 迎風格式
§7.1.2 Lax—Friedrichs格式
§7.1.3 Lax—Wendroff格式
§7.1.4 MacCormack格式
§7.1.5 Crack—Nicolson格式
§7.2 特征線與差分格式
§7.2.1 用特征線方法構造差分格式
§7.3 數值耗散和數值頻散
§7.3.1 偏微分方程的頻散和耗散
§7.3.2 差分格式的頻散與耗散
§7.4 修正的偏微分方程
§7.5 KDV方程的差分格式
§7.6 一階雙曲型方程組
§7.6.1 特征形式
§7.6.2 差分格式
§7.7 二維雙曲型方程
§7.8 兩步交替方向ADI格式
§7.9 二維守恒雙曲型方程
§7.10 二階雙曲型方程一波動方程
§7.10.1 一維波動方程
§7.10.2 顯式差分格式
§7.10.3 隱式差分格式格式
§7.10.4 方程組形式的差分格式
§7.11 二維聲波方程
§7.12 彈性波方程
§7.12.1 二維彈性波方程
§7.12.2 偽譜法
§7.12.3 三維彈性波方程
第八章 流體力學方程
§8.1 流體動力學的控制方程
§8.2 二維非定常可壓粘性流方程
§8.2.1 Lax-Wendroff格式
§8.2.2 MacCormack格式
§8.3 二維非定常不可壓粘性流
§8.4 一維守恒形式方程的差分格式
§8.5 高分辨率格式
§8.5.1 通量限制器法
§8.5.2 斜率限制器
§8.6 守恒形式方程的矢通量分裂法
參考文獻
索引
§1.1 偏微分方程基本概念
§1.1.1 方程的分類
§1.1.2 方程的特征線
§1.1.3 方程組的分類
§1.1.4 定解條件
§1.2 矩陣的基本概念
§1.3 矩陣重要性質與定理
§1.3.1 三對角矩陣特征值
§1.3.2 矩陣特征值估計及非奇異性判定
§1.3.3 Schur定理
§1.4 向量和矩陣的范數
§1.4.1 矩陣范數與譜半徑的關系
§1.4.2 矩陣范數的估計
§1.4.3 矩陣序列的收斂性
§1.5 其他重要定理
§1.5.1 實系數多項式的根
§1.5.2 Newton-Cotes型數值積分公式
§1.5.3 Green公式
第二章 有限差分近似基礎
§2.1 網格及有限差分記號
§2.2 空間導數近似
§2.3 矩陣差分算子
§2.4 導數的算子表示
§2.5 任何階精度差分格式的建立
§2.5.1 Taylor級數表
§2.5.2 差分近似的推廣
§2.6 有限體積法
§2.7 非均勻網格
§2.8 Fourier誤差分析
第三章 有限差分格式的收斂性、相容性和穩定性
§3.1 收斂性
§3.1.1 初值問題
§3.1.2 初邊值問題
§3.2 相容性
§3.2.1 初值問題
§3.2.2 初邊值問題
§3.3 穩定性
§3.4 Lax定理
§3.5 穩定性分析方法
§3.5.1 FourieI.級數法（yon Neumann法）
§3.5.2 矩陣分析法
§3.5.3 能量方法
第四章 橢圓型方程
§4.1 兩點邊值問題的差分格式
§4.1.1 差分近似
§4.1.2 有限體積法
§4.2 基于變分原理的差分格式
§4.2.1基于RJesz法的差分近似
§4.2.2基于Galrkin方法的差分近似
§4.3 Laplace方程的五點差分格式
§4.4 有限體積法
§4.5 Poisson方程基于Riesz法的差分格式
§4.5.1 二維橢圓型邊值問題的變分形式
§4.5.2 差分格式推導
§4.6 正三角形和正六邊形網格
§4.7 邊界條件的處理
§4.7.1 Dirichlet.邊界條件
§4.7.2 Neumann邊界條件
§4.7.3 Robbins邊界條件
§4.8 差分格式的收斂性分析
§4.9 極坐標下：Poission方程的差分格式
§4.10 用離散Fourier變換求解橢圓型問題
第五章 差分方程的求解
§5.1 殘量校正法
§5.1.1 迭代格式
§5.1.2 收斂性分析
§5.1.3 迭代中止準則
§5.2 基本迭代法
§5.2.1 Jacobi迭代格式
§5.2.2 Gauss-Seidel迭代格式
§5.2.3 逐次超松弛迭代格式
§5.2.4 對稱與反對稱超松弛迭代格式
§5.2.5 其他迭代形式
§5.3 預條件迭代方法
§5.3.1 預條件Richardson（PR）法
§5.3.2 預條件Richardson極小殘量（PRMR）法
§5.3.3 預條件Pdchardson最速下降（PRSD）法
§5.3.4 共軛梯度（CG）法
§5.3.5 預條件共軛梯度（PCG）法
§5.3.6 預條件子
§5.4 Krylov子空間迭代方法
§5.4.1 共軛梯度法方程殘量（CGNR）法
§5.4.2 共軛梯度法方程誤差（CGNE）法
§5.4.3 廣義共軛殘量（GCR）法
§5.4.4 Orthodir方法
§5.4.5 廣義極小殘量法（GMRES）迭代
§5.4.6 極小殘量（MINRES）法
§5.4.7 雙共軛梯度（BLCG）法
§5.4.8 擬極小殘量（QMR）法
§5.4.9 共軛梯度平方（CGS）法
§5.4.10 雙共軛梯度穩定化（BiCGSuB）法
§5.5 多重網格法
§5.5.1 低頻分量與高頻分量
§5.5.2 網格變換
§5.5.3 粗網格校正
§5.6 平行迭代算法
§5.6.1 Jacobi迭代法
§5.6.2 G—S迭代
§5.6.3 逐次超松弛（SOR）迭代法
§5.6.4 線迭代法
第六章 拋物型方程
§6.1 一維常系數擴散方程
§6.1.1 向前和向后差分格式
§6.1.2 加權隱式格式
§6.1.3 三層顯式格式
§6.1.4 三層隱式格式
§6.1.5 跳點格式
§6.1.6 預測校正格式
§6.1.7 不對稱格式
§6.2 變系數拋物型方程
§6.3 非線性拋物型方程
§6.4 對流擴散方程
§6.4.1 FTCS格式
§6.4.2 單元法
§6.4.3 混合型格式
§6.5 二維熱傳導方程
§6.5.1 加權差分格式
§6.5.2 Saulyev不對稱格式
§6.5.3 Du Fort-Frankel格式
§6.5.4 交替方向顯（ADE）格式
§6.5.5 交替方向隱（ADI）格式
§6.5.6 局部一維（LOD）法
§6.6 三維熱傳導方程
§6.7 算子形式的熱傳導方程
§6.7.1 CN格式
§6.7.2 CN分裂格式及循環對稱分裂格式
第七章 雙曲型方程
§7.1線性對流方程
§7.1.1 迎風格式
§7.1.2 Lax—Friedrichs格式
§7.1.3 Lax—Wendroff格式
§7.1.4 MacCormack格式
§7.1.5 Crack—Nicolson格式
§7.2 特征線與差分格式
§7.2.1 用特征線方法構造差分格式
§7.3 數值耗散和數值頻散
§7.3.1 偏微分方程的頻散和耗散
§7.3.2 差分格式的頻散與耗散
§7.4 修正的偏微分方程
§7.5 KDV方程的差分格式
§7.6 一階雙曲型方程組
§7.6.1 特征形式
§7.6.2 差分格式
§7.7 二維雙曲型方程
§7.8 兩步交替方向ADI格式
§7.9 二維守恒雙曲型方程
§7.10 二階雙曲型方程一波動方程
§7.10.1 一維波動方程
§7.10.2 顯式差分格式
§7.10.3 隱式差分格式格式
§7.10.4 方程組形式的差分格式
§7.11 二維聲波方程
§7.12 彈性波方程
§7.12.1 二維彈性波方程
§7.12.2 偽譜法
§7.12.3 三維彈性波方程
第八章 流體力學方程
§8.1 流體動力學的控制方程
§8.2 二維非定常可壓粘性流方程
§8.2.1 Lax-Wendroff格式
§8.2.2 MacCormack格式
§8.3 二維非定常不可壓粘性流
§8.4 一維守恒形式方程的差分格式
§8.5 高分辨率格式
§8.5.1 通量限制器法
§8.5.2 斜率限制器
§8.6 守恒形式方程的矢通量分裂法
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