陶哲軒實分析（簡體書）

本書強調嚴格性和基礎性, 書中的材料從源頭——數系的結構及集合論開始, 然后引向分析的基礎(極限、級數、連續、微分、Riemann積分等), 再進入冪級數、多元微分學以及Fourier分析, 最后到達Lebesgue積分, 這些材料幾乎完全是以具體的實直線和歐幾里得空間為背景的。書中還包括關于數理邏輯和十進制系統的兩個附錄．課程的材料與習題緊密結合, 的是使學生能動地學習課程的材料, 并且進行嚴格的思考和嚴密的書面表達的實踐。
本書適合已學過微積分的高年級本科生和研究生學習。

陶哲軒（Terence Tao），2006年菲爾茲獎得主，享譽世界的澳大利亞籍華裔天才青年數學家，現任美國加州大學洛杉磯分校教授。在調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論和表示論等多個領域取得了許多重要成果。他的經歷可謂傳奇，12歲獲得國際數學奧林匹克競賽金牌（這項紀錄至今無人打破），21歲獲得普林斯頓大學博士學位，24歲成為終身教授，2007年32歲時當選英國皇家學會會士。除菲爾茲獎外，他還榮獲了著名的Alan T.Waterman獎（獎金額50萬美元）和Clay研究獎等眾多榮譽。

第一部分

第1章　引論　3
1.1　什麼是分析學　3
1.2　為什麼要做分析　4

第2章　從頭開始：自然數　12
2.1　Peano公理　13
2.2　加法　19
2.3　乘法　23

第3章　集合論　26
3.1　基本事項　26
3.2　Russell悖論(選讀)　36
3.3　函數　38
3.4　象和逆象　44
3.5　笛卡兒乘積　48
3.6　集合的基數　53

第4章　整數和比例數　59
4.1　整數　59
4.2　比例數　65
4.3　絕對值與指數運算　69
4.4　比例數中的空隙　72

第5章　實數　75
5.1　Cauchy序列　76
5.2　等價的Cauchy序列　80
5.3　實數的構造　82
5.4　給實數編序　89
5.5　最小上界性質　94
5.6　實數的指數運算，第I部分　98

第6章　序列的極限　102
6.1　收斂及極限的算律　102
6.2　廣義實數系　107
6.3　序列的上確界和下確界　110
6.4　上極限、下極限和極限點　112
6.5　某些基本的極限　118
6.6　子序列　119
6.7　實的指數運算，第II部分　122

第7章　級數　125
7.1　有限級數　125
7.2　無限級數　133
7.3　非負實數的和　138
7.4　級數的重排　141
7.5　方根判別法與比例判別法　145

第8章　無限集合　149
8.1　可數性　149
8.2　在無限集合上求和　155
8.3　不可數的集合　160
8.4　選擇公理　163
8.5　序集　166

第9章　R上的連續函數　173
9.1　實直線的子集合　173
9.2　實值函數的代數　178
9.3　函數的極限值　180
9.4　連續函數　187
9.5　左極限和右極限　190
9.6　最大值原理　193
9.7　中值定理　196
9.8　單調函數　198
9.9　一致連續性　200
9.10　在無限處的極限　205

第10章　函數的微分　207
10.1　基本定義　207
10.2　局部最大、局部最小以及導數　212
10.3　單調函數及其導數　214
10.4　反函數及其導數　215
10.5　L''Hpital法則　217

第11章　Riemann積分　220
11.1　分法　220
11.2　逐段常值函數　223
11.3　上Riemann積分與下Riemann積分　227
11.4　Riemann積分的基本性質　231
11.5　連續函數的Riemann可積性　235
11.6　單調函數的Riemann可積性　238
11.7　一個非Riemann可積的函數　240
11.8　Riemann-Stieltjes積分　241
11.9　微積分的兩個基本定理　244
11.10　基本定理的推論　248

第二部分

第12章　度量空間　255
12.1　定義和例　255
12.2　度量空間的一些點集拓撲知識　262
12.3　相對拓撲　265
12.4　Cauchy序列及完備度量空間　267
12.5　緊致度量空間　269

第13章　度量空間上的連續函數　274
13.1　連續函數　274
13.2　連續性與乘積空間　276
13.3　連續性與緊致性　279
13.4　連續性與連通性　280
13.5　拓撲空間(選讀)　283

第14章　一致收斂　287
14.1　函數的極限值　287
14.2　逐點收斂與一致收斂　290
14.3　一致收斂性與連續性　294
14.4　一致收斂的度量　296
14.5　函數級數和WeierstrassM判別法　298
14.6　一致收斂與積分　300
14.7　一致收斂和導數　302
14.8　用多項式一致逼近　305

第15章　冪級數　312
15.1　形式冪級數　312
15.2　實解析函數　314
15.3　Abel定理　318
15.4　冪極數的相乘　321
15.5　指數函數和對數函數　324
15.6　談談復數　327
15.7　三角函數　333

第16章　Fourier級數　338
16.1　周期函數　338
16.2　周期函數的內積　340
16.3　三角多項式　343
16.4　周期卷積　345
16.5　Fourier定理和Plancherel定理　349

第17章　多元微分學　354
17.1　線性變換　354
17.2　多元微分學中的導數　359
17.3　偏導數和方向導數　362
17.4　多元微分鏈法則　368
17.5　二重導數與Clairaut定理　371
17.6　壓縮映射定理　373
17.7　多元反函數定理　375
17.8　隱函數定理　379

第18章　Lebesgue測度　384
18.1　目標：Lebesgue測度　385
18.2　第一步：外測度　386
18.3　外測度不是加性的　394
18.4　可測集　396
18.5　可測函數　401

第19章　Lebesgue積分　404
19.1　簡單函數　404
19.2　非負可測函數的積分　409
19.3　絕對可積函數的積分　416
19.4　與Riemann積分比較　420
19.5　Fubini定理　421

附錄A　數理邏輯基礎　426
附錄B　十進制　446
索引　453