數學悖論三次數學危機（簡體書）

在這本書中，我們就是要通過對三個在數學發展中產生了巨大影響的悖論（畢達哥拉斯悖論、貝克萊悖論、羅紊悖論）的介紹，使讀者明了悖論不但迷人，而且是數學的一部分，并為數學的發展提供了重要而持久的助推力。
然而，什么是悖論? 對這個看似簡單的問題，我們卻不能給出一個普遍適用的答案。因為，悖論之悖是因人因時而異的。比如，現代一般讀者在“根號2是無理數”這一數學命題中很難看到古怪之處。然而，這一命題正是我們在第一編中所要介紹的畢達哥拉斯悖論，也正是它在古希臘成為一場巨大數學風波的導火索，從而引發了第一次數學危機，并進而引導古希臘數學走向一條迥異于其他古代民族數學的發展道路。一或許，對我們而言，如此平常的命題竟會導致數學危機并產生如此深刻影響才是真正的古怪之事! 由此得到的教益是，我們必須將悖論放在特定的背景下進行考察，才能透徹地明白其悖之因。鑒于此，在這本書中我們將對畢達哥拉斯等悖論產生前的背景做出詳盡介紹。在此基礎上，再對它們所引發的數學危機、危機之解決、悖論解決過程中產生的各種數學成果、悖論解決后產生的深遠影響等做出透徹闡述。
于是，讀者朋友將會注意到，在這次數學之旅中對悖論的介紹只占全書內容的不多部分。事實上，悖論在書中起的是引線的作用，我們圍繞著它們將更多地介紹悖論之花得以綻放的數學土壤和悖論之花結出的數學之果。通過這種視野更為寬闊的闡述，希望讀者既能充分了解悖論對數學發展所起到的巨大作用，又能對數學中歐幾里得幾何、無理數、微積分、集合論等的來龍去脈獲得更清晰的認識，并理解枝繁葉茂的數學大樹是如何一步一步成長起來的。本書還將數學思想融于其中，并注意穿插數學家的逸事，融知識性與趣味性于一體，既增加讀者的興趣，又有助于增進讀者對“數學家是什么樣的人”、“數學是什么”的了解。

第1編 畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機
　第一章 幾何定理中的“黃金”：勾股定理
第一節 古老的定理
第二節 勾股定理的廣泛應用及其地位
　第二章 秘密結社：畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派
第一節 智慧之神：畢達哥拉斯
第二節 畢達哥拉斯學派的數學發現
第三節 畢達哥拉斯學派的數學思想
第四節 勾股定理證法賞析
　第三章 風波乍起：第一次數學危機的出現
第一節 畢達哥拉斯悖論
第二節 第一次數學危機
第三節 根號2是無理數的證明
　第四章 繞過暗礁：第一次數學危機的解決
第一節 歐多克索斯的解決方案
第二節 同途殊歸：古代中國的無理數解決方案
　第五章 福禍相依：第一次數學危機的深遠影響
第一節 第一次數學危機對數學思想的影響
第二節 歐幾里得和《幾何原本》
第三節 第一次數學危機的負面影響
第2編 貝克萊悖論與第二次數學危機
　第一章 風起清萍之末：微積分之萌芽
第一節 古希臘微積分思想
第二節 微積分在中國
　第二章 積微成著：逼近微積分
第一節 蟄伏與過渡
第二節 半個世紀的醞釀
　第三章 巨人登場：微積分的發現
第一節 牛頓與流數術
第二節 萊布尼茲與微積分
第三節 巨人相搏
　第四章 風波再起：第二次數學危機的出現
第一節 貝克萊悖論與第二次數學危機
第二節 彌補漏洞的嘗試
　第五章 英雄時代：微積分的發展
第一節 數學英雄
第二節 分析時代
第六章 勝利凱旋：微積分的完善
第一節 分析注入嚴密性
第二節 分析的算術化
第3編 羅素悖論與第三次數學危機
　第一章 走向無窮
第一節 康托爾與集合論
第二節 康托爾的難題
　第二章 數學伊甸園
第一節 反對之聲
第二節 贊譽與影響
　第三章 一波三折：第三次數學危機的出現
第一節 羅素悖論與第三次數學危機
第二節 悖論分析與解決途徑
　第四章 兔、蛙、鼠之戰
第一節 邏輯主義
第二節 直覺主義
第三節 形式主義
　第五章 新的轉折
第一節 哥德爾的發現
第二節 數理邏輯的興起與發展
參考文獻