簡明數學分析(第二版)（簡體書）

本書第一版是教育部“高等師範教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀課程教材。第二版是普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。修訂按照第一版提出的“用先進的內容替代落后的內容，把教材寫得內容深厚而又精煉簡明”的原則，立足于現代數學的基本理論，致力于簡明地建立完整的分析基礎、統一的極限觀點，突出多元函數理論，利用勒貝格積分建立簡潔而完整的積分理論，同時對曲面上的積分給出深入的討論，而又不牽扯多重線性代數。同時，本書對傳統內容也給予了應有的重視。 本書共十二章，包括數學分析概要，集合論初步，實數理論，數列極限，函數極限通論，連續函數，一元微分學，不定積分和黎曼積分，多元函數和多元微分學，積分學，級數論，曲線和曲面上的積分。 本書可作為高等師範院校和綜合性大學數學類本科專業的數學分析課程教材，也可供青年教師參考。

第一章 引言：數學分析概要
§1.1 數學分析課程的基本內容
§1.2 對課程學習的忠告
第二章 集合論初步
§2.1 集合論和數學的嚴密性
§2.2 集合及其運算
§2.3 笛卡兒積，映射和序
§2.4 集合的基數或勢
第三章 實數理論
§3.1 數系理論發展簡述和定義實數遇到的困難
§3.2 由自然數系到有理數系
§3.3 實數定義和完備性
§3.4 實數的運算及其性質
§3.5 實數中一些概念的表述和相關記號
第四章 數列極限
§4.1 數列的基本概念
§4.2 數列極限的定義和簡單性質
§4.3 數列收斂條件和列緊性
§4.3.1 單調數列的極限
S4.3.2 一般數列的極限
第五章 函數極限通論
§5.1 數值函數極限的統一形式
§5.2 函數沿趨進基極限的性質
§5.3 函數沿趨進基收斂的條件
第六章 連續函數
§6.1 函數在一點的連續性
§6.2 初等函數的連續性
§6.3 兩個初等函數的極限
§6.4 一元連續函數
§6.5 區間上連續函數的性質
§6.6 閉集和開集及緊性的概念
第七章 一元微分學
§7.1 微積分創立簡史
§7.2 微分和導數的定義
§7.3 求導規則
§7.4 區間上的可導函數(中值定理)
§7.5 不定式
§7.6 泰勒公式
§7.6.1 帶佩亞諾余項的泰勒公式
§7.6.2 帶一般型余項的泰勒公式
§7.6.3 泰勒公式和泰勒級數
§7.7 函數的極值點和凸性性質
§7.7.1 函數的極值點
§7.7.2 函數的凸凹性
§7.8 插值多項式和方程求根
§7.8.1 插值多項式
§7.8.2 割線法和切線法(Newton方法)
第八章 不定積分和黎曼積分
§8.1 不定積分計算
§8.1.1 不定積分的運算性質和公式
§8.1.2 不定積分舉例
§8.2 黎曼積分
§8.2.1 黎曼積分基本理論
§8.2.2 黎曼積分準則
§8.2.3 定積分計算實例
§8.2.4 廣義黎曼積分
第九章 多元函數和多元微分學
§9.1 n維歐氏空間Rn中的基本概念
§9.2 Rn中的極限和連續函數
§9.2.1 Rn上極限和連續函數的概念
§9.2.2 連續函數的簡單性質
§9.3 多元函數的微分學
§9.3.1 方向導數，可微性和導數
§9.3.2 梯度，多元微分中值定理，泰勒公式，極值條件
§9.3.2.1 梯度與方向導數和切平面
§9.3.2.2 多元微分中值定理和泰勒公式
§9.3.2.3 數值函數的極值問題
§9.3.3 反函數定理，隱函數定理，曲面的切向量和法向量，條件極值
§9.3.3.1 反函數定理和隱函數定理
§9.3.3.2 曲面的切面和法面
§9.3.3.3 條件極值和拉格朗日乘子條件
第十章 積分學
§10.1 勒貝格測度
§10.1.1 勒貝格外測度
§10.1.2 勒貝格測度和勒貝格可測集
§10.2 可測函數
§10.2.1 可測函數的定義和簡單性質
§10.2.2 可測函數的結構性質
§10.3 勒貝格積分
§10.3.1 勒貝格積分定義及其簡單性質
§10.3.2 勒貝格積分理論中的基本結果
§10.3.2.1 勒貝格積分與黎曼積分
§10.3.2.2 勒貝格可積函數空間
§10.4 重積分和累次積分
§10.5 常義參變量積分及其微積分性質
§10.6 廣義參變量積分及其微積分性質
§10.6.1 廣義積分的定義
§10.6.2 廣義參變量積分的微積分性質
§10.6.3 廣義參變量積分一致收斂準則
§10.7 歐拉積分
§10.8 重積分變量替換
§10.8.1 正則變換，線性變換和記號復習
§10.8.2 正則變換和可測變換
§10.8.3 仿射變量替換積分公式
§10.8.4 正則變量替換積分公式
第十一章 級數論
§11.1 數值級數及其判斂法
§11.1.1 數值級數定義和簡單性質
§11.1.2 正項級數及其判斂法
§11.1.3 變號級數及其判斂法
§11.2 函數項級數及一致收斂判別法
§11.2.1 函數項級數的一致收斂性
§11.2.2 函數項級數的微積分性質
§11.3 冪級數和泰勒級數
§11.4 三角級數和傅里葉級數
§11.4.1 三角級數的定義
§11.4.2 傅里葉級數
§11.4.3 2π周期連續函數和費耶定理
§11.4.4 周期函數的傅里葉級數與傅里葉變換
第十二章 曲線和曲面上的積分
§12.1 曲線長度和曲線積分
§12.1.1 曲線和曲線的長度
§12.1.2 第一型曲線積分
§12.1.3 第二型曲線積分
§12.1.4 格林公式
§12.2 曲面上的測度和曲面積分
§12.2.1 曲面的表示和曲面上的測度
§12.2.2 第一型曲面積分
§12.2.3 第二型曲面積分
§12.2.4 散度定理
§12.2.5 微分形式和梯度場
§12.3 R3中的場論
參考文獻