微分幾何（簡體書）

本書共分六章，第一章綜述了預備知識；第二章研究了曲線的局部性質及一些整體性質；第三章研究了曲面的經典內容——曲面的局部性質；第四章介紹了曲面上的聯絡，這是近代微分幾何中一個非常重要的概念；第五章討論了曲面的整體性質，為近代微分幾何的研究提供了一個直觀背景；第六章介紹了微分流形的基本概念，這是近代數學中具有代表性的基本概念之一，每章均配有習題，以鞏固知識并訓練解題技巧。
本書可作為大學數學專業的教材，也可供有關的數學工作者參考。

第一章 預備知識
1.1 歐氏空間的基本概念
1.1.1 n維歐氏空間
1.1.2 鄰域開集閉集
1.1.3 連續性同胚
1.1.4 連通集
1.1.5 緊致性
1.2 向量函數
1.2.1 向量函數的極限
1.2.2 向量函數的連續性
1.2.3 向量函數的微導，Taylor公式
1.2.4 向量函數的積分
1.2.5 向量函數的幾個常用性質
1.3 一次形式
1.3.1 一次形式的定義
1.3.2 一次形式組成的空間
1.4 Grassmann積
1.4.1 Grassnlann積的定義及其簡單性質
1.4.2 Cartan引理
1.5 p-形式及外代數
1.5.1 y2-空間
1.5.2 p-形式及空間Vp
1.5.3 外代數(Grassmann代數)
1.6 外微分d
習題
第二章 曲線論
2.1 曲線的一般概念
2.1.1 曲線的概念
2.1.2 曲線的弧長自然參數
2.2 空間曲線的活動標架(基本三棱形)
2.3 空間曲線的基本公式
2.4 曲率和撓率
2.4.1 曲率和撓率的計算
2.4.2 曲率和撓率的幾何意義
2.5 曲線論的基本定理
2.6 幾種特殊曲線
2.6.1 平面曲線
2.6.2 球面曲線
2.6.3 曲線在一點的密切圓
2.6.4 空間曲線的球面像
2.7 曲線的一些整體性質
2.7.1 曲線的有關概念
2.7.2 平面曲線的幾個整體性質
2.7.3 空間曲線的某些整體性質
習題
第三章 曲面的局部性質
3.1 曲面的概念
3.1.1 曲面的表示
3.1.2 切平面與法向量
3.2 曲面的第一基本形式
3.2.1 曲面上的光滑函數
3.2.2 第一基本形式
3.2.3 等距對應
3.2.4 共形對應
3.3 曲面的第二基本形式
3.4 曲面上的曲率
3.4.1 法曲率
3.4.2 主曲率主方向
3.4.3 Gauss曲率平均曲率
3.5 曲面上的一些重要曲線
3.5.1 曲率線
3.5.2 漸近曲線
3.5.3 測地線
3.5.4 三種重要曲線的等價命題
3.5.5 三種重要曲線之間的關係
3.6 特殊曲面
3.6.1 極小曲面
3.6.2 常曲率曲面
3.6.3 可展曲面
3.6.4 單參數平面族的包絡面
3.7 曲面論的基本定理
3.7.1 曲面的基本公式
3.7.2 曲面的基本方程
3.7.3 曲面論的基本定理
習題
第四章 聯絡
4.1 曲面上的向量場
4.1.1 曲面上的光滑函數
4.1.2 曲面S在點p∈S的切向量Xp
4.1.3 曲面S上的切向量場
4.2 曲面上的聯絡
4.3 聯絡的曲率張量
4.4 測地線
習題
第五章 曲面的一些整體性質
5.1 整體曲面
5.2 球面的剛性
5.3 Gauss-Bonnet公式
5.3.1 局部的Causs-Bonnet公式
5.3.2 整體的Gauss-Bonnet公式
5.4 凸曲面與積分公式
5.4.1 凸曲面
5.4.2 積分公式
5.5 全平均曲率與Willmove猜想
5.5.1 全平均曲率
5.5.2 環面的全平均曲率
習題
第六章 微分流形初步
6.1 微分流形的定義
6.2 流形在一點的切空間
6.3 Riemann空間
6.4 流形上的切向量場
6.4.1 基本概念
6.4.2 Poisson括號積
6.4.3 光滑切向量場的積分曲線
6.5 仿射聯絡
6.5.1 仿射聯絡的定義及局部表示
6.5.2 仿射聯絡的存在性定理
6.5.3 仿射聯絡的撓率和曲率
習題
主要參考文獻