有限群表示論(第二版)（簡體書）

本書旨在介紹有限群的表示理論，其中包括群表示論的基本概念與兩條主要研究途徑的介紹。書的前八章介紹有限群的常表示理論(即在特徵數不整除群的階數的域上的表示，具有完全可約性)，著重論述了與群的誘導表示有關的一些經典結果，同時也探討了域的選取與群表示分解之間的關係。后四章介紹有限群模表示的Brauer理論(即在特徵數整除群的階數的域上的表示，一般不具備完全可約性)，該理論通過p模系統將有限群G在特徵零域上的表示理論與特徵p(這里p/G)域上的表示理論聯系起來；也將G在特徵零域上的特徵標理論與G的p局部結構聯系起來。本書為求自成系統，在第一章用較大篇幅簡要地敘述了與群表示論有關的一些預備知識，特別是介紹了有限維代數的結構與表示理論。本書每節后都附有足夠多的習題幫助讀者理解與拓廣正文的內容。 本書假定讀者已經熟悉線性代數理論，并具備群論，環論與域的伽羅華理論方面的最基本知識。本書可作為研究生與高年級本科生的教科書，也可供有關專業的數學工作者與高校教師閱讀。

本書自1992年由高等教育出版社出版至今已有十七年，期間曾被多個高校用作研究生課程教材，國內也陸續出版過數本中文版的介紹群表示理論的教材。在過去的十多年裡，群表示及相關數學理論在國際上的發展日新月異，國內學習和研究群表示理論的隊伍快速壯大，人們對於介紹群表示理論的教材也有了更高的要求和期盼。為此，利用本書再版的機會，作者除了對原版進行細緻的勘誤補正外，在書的正文和習題部分都作了較大幅度的增補，特別，書中增添了介紹有限群模表示理論的四章內容，其中包括p模系統（K，R，K）與Grothendieck環；Brauer特徵標、塊及其虧群；Brauer關於誘導塊的三個主要定理；頂點和源頭。正文後面所附的習題，有的直接摘自文獻，有的由文獻裡的一些結果編制而成，它們將作為正文內容的有機補充，其中有些習題內容甚至可作為正文的一部分。例如，我們先在正文裡證明了定理（7.2.1），接著，在§7.3後設計的一組習題裡讓讀者將定理（7.2.1）推廣為Witt-Berman定理。隨後，在對定理（9.2.6）的證明里用到了Witt-Berman定理。讀者可通過做習題來檢驗自己對正文內容的理解程度，對新知識的自學能力和動手解題的技巧。對於書後的“漢英對照術語索引”、“符號”和“參考文獻”，再版本也作了相應的改變：除了增加必要的條目外，還細化了索引，例如，對於循環群、對稱群、交代群、交換群等條目，我們都列出書中多個相關出處，循著該線索，讀者可對這些概念有比較系統的理解。又例如，對於符號indH（X），原版本里僅解釋為“群的元素X關於子群日的指數”，再版本里說得更明白：“群的元素X關於子群日的指數舊[ H：XHnH]”。

第一章 群表示論的預備知識
§1．1 群論的基本概念
§1．2 域的基本概念
§1．3 F代數的基本概念
§1．4 F代數上模的分解
§1．5 半單代數及其正則模的分解
§1．6 半單代數的判則
§1．7 半單代數的結構定理
§1．8 F代數上模的同態空間HomA(L，M)
§1．9 F代數上模的張量積
§1．10 F上中心單代數及其分裂域
§1．11 范疇論的基本概念
第二章 群表示的基本概念
§2．1 群表示的基本概念
§2．2 群表示的一些常用構造法
§2．3 表示在不同群之間的合成與轉換
§2．4 表示的可約性
§2．5 群的表示環
第三章 代數表示理論的應用
§3．1 群的完全可約表示
§3．2 群表示的分裂域
§3．3 對稱群的不可約表示
第四章 特徵標理論
§4．1 特徵標的基本概念
§4．2 特徵標的正交關係
§4．3 特徵標表的應用
§4．4 特徵標值的整性
§4．5 分裂域上的特徵標理論
第五章 誘導表示的基本性質
§5．1 誘導表示的幾種刻畫
§5．2 誘導表示的基本性質
§5．3 誘導表示不可約性的判則
§5．4 Frobenius群
§5．5 置換表示與Burnside環
第六章 誘導表示的分解
§6．1 由正規子群誘導的表示的分解
§6．2 一般誘導表示的分解(Hecke代數)
第七章 誘導特徵標的Artin定理與Brauer定理
§7．1 誘導特徵標的Artin定理
§7．2 誘導特徵標的Braluer定理
§7．3 Brauer定理的一個逆定理
第八章 Schur指標
第九章 p模系統(K，R，k)與Grothendieck環
§9．1 p模系統(K，R，k)與Grothendieck環
§9．2 對偶，純量擴充，限制和誘導
§9．3 cde三角形
§9．4 同態d、e、c的性質
§9．5 同態e的像
第十章 Brauer特徵標、塊及其虧群
§10．1 Brauer特徵標
§10．2 塊的理論
§10．3 p塊及其p虧群
第十一章 Brauer關於誘導塊的三個主要定理
§11．1 第一主要定理
§11．2 第二主要定理
§11．3 第三主要定理
第十二章 頂點和源頭
§12．1 群環上的相對射影模和相對內射模
§12．2 頂點和源頭
§12．3 下探與上溯，Green不可分解定理
§12．4 Green對應
參考文獻
漢英對照術語索引
符號