複變函數與積分變換(21世紀普高等教育規劃教材)（簡體書）

全書共分8章，內容包括：復數與復變函數，解析函數，復變函數的積分，解析函數的級數表示，留數理論，保形映射，傅里葉變換，拉普拉斯變換等. 本書條理清晰，層次分明，通俗易懂，注重解題方法的訓練和能力的培養.每節後配備了豐富的習題，有利于學生掌握基本內容. 本書可供高等工科院校各專業師生作為教材使用，也可供有關工程技術人員參考.

1復數與復變函數（1）1.1復數與復平面（1）1.2復平面上的點集（10）1.3復變函數（15）2解析函數（21）2.1解析函數（21）2.2初等函數（26）2.3解析函數的物理意義（34）3復變函數的積分（39）3.1復積分的概念（39）3.2柯西（Cauchy）積分定理（45）3.3柯西積分公式及其應用（52）3.4調和函數（60）4解析函數的級數表示（64）4.1復級數（64）4.2冪級數（69）4.3泰勒（Taylor）級數（73）4.4羅朗（Laurent）級數（79）5留數理論（85）5.1孤立奇點（85）5.2留數定理（92）5.3留數定理在實積分計算中的應用（98）6保形映射（110）6.1保形映射的幾何意義（110）6.2分式線性變換（113）6.3初等函數構成的保形映射（124）6.4施瓦茨-克里斯托費爾（SchwarzChristoffel）變換（128）7傅里葉變換（134）7.1傅里葉（Fourier）積分（134）7.2傅里葉變換（139）7.3單位脈沖函數（148）8拉普拉斯變換（155）8.1拉普拉斯（Laplace）變換的概念（155）8.2拉普拉斯變換的性質（160）8.3拉普拉斯變換的應用（168）8.4梅林（Mellin）變換與z變換（173）附錄1傅里葉變換簡表（180）附錄2拉普拉斯變換簡表（183）參考文獻（188）

復數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的問題.在很長時間里，人們對這類數不能理解，把它看作不能接受的“虛數”.直到17世紀和18世紀，隨著微積分的發明和發展，情況才逐漸有了改變，這類數的重要性才日益顯現出來.復數的一般形式是a+bi，其中a,b為實數，i是虛數單位. 以復數作為自變量的函數稱為復變函數，而與之相關的理論就是復變函數論.解析函數是復變函數中一類具有解析性質的函數，復變函數主要是研究解析函數的數學分支. 復變函數論產生于18世紀.1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數的積分導出的兩個方程.在此之前，法國數學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中也得到了這兩個方程.因此，後來把這兩個方程叫做“達朗貝爾-歐拉方程”.到了19世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以現在的復變函數書也把這兩個方程稱為“柯西—黎曼方程”或“柯西—黎曼條件”. 復變函數論的全面發展是在19世紀，它統治了19世紀的數學.當時的數學家公認復變函數論是最豐饒的數學分支，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一.為復變函數論的創建做了早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨後研究過復變函數的積分，他們是創建這門學科的先驅.後來為這門學科的發展做了大量奠基工作的有柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯.20世紀初，復變函數論又有了很大的發展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都做了大量的研究工作，開拓了復變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻. 復變函數論在應用方面涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的.比如物理學上有很多不同的穩定平面場，對它們的計算就是通過復變函數來解決的.比如俄國的儒柯夫斯基在設計飛機的時候，就利用復變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用復變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻.復變函數論不僅在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也有重要的應用.它已深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展產生了深刻的影響. 積分變換是通過積分運算，把一個函數變成另一個函數的變換.這里所說的積分變換指的是傅里葉變換和拉普拉斯變換，它與復變函數有著密切的聯系.它的理論和方法不僅在數學的許多分支中，而且在其他自然科學和許多工程技術領域都有著廣泛的應用，已成為不可缺少的運算工具. 復變函數與積分變換是工科數學中一門重要的數學基礎課，它是在實變函數微積分的基礎上發展起來的.因此它不僅在內容上與實變函數微積分有許多相似之處，而且在研究問題的方法與邏輯結構方面也很類似.當然，它也有自身的特點，有自己的研究工具和方法，在學習過程中，應注意與微積分理論的比較，從而加深理解，同時也需注意其自身的特點，并掌握它自身所固有的理論和方法. 本書只假定讀者熟悉基本的微積分理論，全面介紹了復變函數與積分變換的基本理論及其在工程問題上的應用，理論和實際應用密切結合.通過本課程的學習，讀者不僅能學到復變函數與積分變換的基本理論和工程數學中的常用數學方法，同時還可以鞏固和復習高等數學的基礎知識.該教材可供高等工科院校的各個專業師生使用，也可作為工程技術人員自學復變函數的參考書.本書具有以下幾個主要特色： （1） 基本知識的引入和基本方法的闡述采用啟發式，基本理論的推導深入淺出，循序漸進，盡量避免過多的理論證明和純粹的數學推導.對工科學生來說，這種方式使數學方法更具有生動性. （2） 強調復變量z和z的作用，利用其實現實變量和復變量之間的互換.突出級數和積分表示方法，并將這兩種方法交替出現使之成為本書的主線. （3） 重視學生基本素質的培養，注重提高學生的計算與應用能力，以達到培養創新能力的目的.本書例題和習題豐富，有利于學生掌握基本內容，提高分析問題和解決實際問題的能力. 感謝眾邦文化的精心策劃和編輯梁艷女士在本書的組稿和編輯中所付出的辛勤勞動，感謝上海交通大學出版社的大力支持！ 由于編者的水平所限，書中缺點和錯誤難免，懇請專家、同行和廣大讀者批評指正. 編者 2010年3月于華南理工大學