幻方探秘（簡體書）

展現在讀者眼前的，是一個由1～9這九個數字排成的3×3的方陣圖，圖中每行、每列、每條大對角線上三個數字之和都得15。這個圖的數學名字叫三階幻方，中國古代人稱它為“九宮”，公元前五世紀的《周易·系辭傳》和公元前500年左右的《大戴禮記》則把這個圖稱之為“洛書”。“河出圖，洛出書”指的就是《河圖》和《洛書》，人們習慣地把它們稱之為“河洛文化”。 乍眼一看，這不就是一個趣味數字遊戲嗎？嘿，我可告訴您，您可千萬別小看了這張圖。說實話，迄今為止，人類對“河洛文化”的研究還很膚淺，遠沒有揭示其中的奧秘。這可不是危言聳聽，故弄玄虛。 (1)資深學者韓永賢在《周易探源》一書中，從大量數據分析研究得出：《河圖》是伏羲氏游牧時期的氣象圖，《洛書》是遠古時代的方位“羅盤”圖，是天文科學的萌芽。 (2)20世紀40年代，劉子華用周易學的特殊方法，推算出了木王星的存在。而直至1981年1月，美國海軍天文臺科學家以最先進的科學手段，才證實太陽系還存在這顆行星！ (3)一代科壇巨星、物理學的泰斗愛因斯坦，正是深入研究河洛原理而頗受啟發，他以河洛數進行時空相對論的探索，并推衍時空相對增減之數的研究，成功地確立《相對論》的成立。 (4)蔡福裔在1956年寫成《八卦與原子》一書，他應用八卦和河洛原理把化學元素周期表進行了改造，從中發現了宇宙間尚存在大量新元素的線索。 (5)美籍華裔學者焦蔚芳，寫有《焦氏洛書數字幾何導論》《焦氏洛書矩陣學說》等書，將洛書與解析幾何、矩陣結合起來，提出洛書幾何、洛書矩陣、洛書空間等數學概念，對數學的發展起著促進和開拓作用。 (6)資深學者傅熙如用易理思想，找出了一種計算奇素數點個數的方法，為證明著名的哥德巴赫猜想這一懸而未決的世界難題，提供了一條嶄新的思路。 (7)有兩位物理學家曾在德克薩斯大學做氫氣通過電場與磁場的實驗，驚異地發現：帶電的氣體發出的白熾光所呈現的“卐”字圖案，竟與《洛書》中由數字關係得出的圖案完全一樣！這兩位物理學家由此推斷，彗星的氣體尾巴通過地球磁場的時候，產生的白熾光“卐”字圖案，在天氣中將比月亮還大！ 或許，有讀者會說：您舉的這些事例實在是玄之又玄，簡直令人難以置信。那好，下面我再舉幾個您馬上能得到證實的例子。黃金比是最神妙的比例，黃金分割常數是0.618。請注意，《洛書》中第三行的3個數恰好是618，九宮中竟暗含0.618這個黃金般的數字，實在令人嘖嘖稱奇！在九宮中，不僅三行三列及兩條對角線上的3數之和都相等，細心的讀者會發現：九宮中上行的平方和與底行的平方和相等，左列的平方和與右列的平方和相等；兩中線各數的平方和披去10，與兩對角線各數平分和加10，二者竟也相等。這不禁令人拍案叫絕。高中同學在數學中都學過行列式。視洛書為矩陣時，其行列式值恰為360，而360正是周天的度數，這正是將圓周分式360。的真正原因，以研究“河洛文明”著稱于世的阿林頓理念書院院長蕉蔚芳博士也曾指明了這個奇妙性質。這真是妙不可言！ 正是由于幻方獨具的神奇魅力；1977年，美國發射了宇宙飛船旅行者一號、二號，旨在尋求星外文明。它們在完成了對木星、土星的探測后，于1989年飛出了太陽系。飛船上除攜帶了向宇宙人致意的問候訊號(有古今音樂、近60種語言的問候話，35種自然界的各種聲響的銅制唱片——“地球之聲”)之外，還帶有一些圖片，這些圖中關於數學的就有表現勾股定理的圖形和一張四階幻方圖！ 為開闊讀者的眼界，增長相關的數學知識，激發對數學的學習興趣和拓展性思維，我們編寫了這本數學科普讀物——《幻方探秘》。 幻方，俗稱方陣，國外又稱之為“魔方”，我國南宋的數學家揚輝將它命名為“縱橫圖”。幻方屬于組合數學的分支，它起源于我國《易經》中的《河圖》《洛書》，數學界稱之為“河洛文化”。現在，無論在純數學和應用數學方面，組合學都有著重要的價值。 幻方領域是氣象萬千的壯麗高原，是繁星燦爛的無垠長空。幻方形象而準確地反映出宇宙天體的構造，以不可思議的神奇揭示宇宙間種種規律和奧秘。我們深受幻方之美的感染，用優美的語句和流暢的筆調、通俗的文字，翔實的資料、嚴謹的論證，系統地介紹了關於幻方的基本知識和當前幻方研究的諸多豐碩成果。諸如什麼叫幻方？幻方小史；最早的幻方，關於幻方的世界之最；龐大的幻方家族(例如：全對稱幻方或稱“筒形幻方”“完美幻方”、砌塊幻方、幻方串或同心幻方、母子幻方，平方幻方、雙重幻方、質數幻方以及黑洞幻方、水仙幻方、菊花幻方、金蟬脫殼幻方等諸多令人拍案叫絕的幻方)；各類幻方的特性；一般幻方的構造方法；幾種特殊幻方的構造方法等。有些內容還是幻方研究中剛剛問世的最新科研成果。例如，我們發表的《用“仿天體型”構造任意大奇數階同心幻方及其證明》和《偶階同心幻方的簡明構造方法及其證明》兩篇論文，經過中國科學院武漢分院物理與數學研究所專家周煥松研究員和王征平博士后審核獲得高度評價。又例：我們發明了《用雙曲線法構造任意大4m+2型幻方》。本書就像一張形象生動的導游圖，引導讀者在幻方這趣味無窮的迷宮中遨游了一圈，把幻方的各種趣味的特性及和諧的內在規律展示出來，讓讀者能夠真正體會到數之美的無窮魅力。 此外，本書還附錄了同幻方既相關又不同的各種“幻圖”，如幻圓、幻立方、優美圖、拉丁方、幻形等。每一種“幻圖”都是現代數學中研究的內容，也各有其絕妙之處，真是光彩奪目，熠熠生輝。細閱此書，如同吟詩頌詞、韻味無窮。 幻方是組合學中一道極難的課題。各類幻方的製作並不復雜，方法一經掌握，連小學三年級的學生也可以毫不費力一口氣構造出來。但它所蘊含的原理又極為高深，最簡單的《河圖》和《洛書》都可以讓那些滿腹經倫的學者千思萬慮而不得其解。這種簡單中的高深啟發了許多世界著名大科學家從中悟透玄機，獲得了一個個令世人矚目的重大科研成果。當今，隨著電子計算機技術迅猛發展，幻方在程序設計、圖論、人工智能、博弈論，實驗設計、組合分析、工程創意、工藝美術等方面都得到了廣泛應用。對此，讀者從本書中可以獲得一定的認識和啟迪，投入更大的興趣和精力。 本書力求做到集可讀性、趣味性、資料性和收藏性于一體，可供初中水平以上數學愛好者閱讀。

第一章 幻方簡介
第一節 關於河圖、洛書的傳說
第二節 什麼叫幻方
第三節 幻方小史
第四節 關於世界最大的幻方
第二章 龐大而神奇的幻方家族
第一節 全對稱幻方
第二節 質數幻方
第三節 雙重幻方
第四節 *幻陣
第五節 等差幻方與積幻陣
第六節 雪花幻方和象步對稱幻方
第七節 同心幻方
第八節 超級幻方
第九節 幻方群
第十節 立體幻方
第十一節 黑洞數幻方
第十二節 1089幻方
第十三節 反序數幻方
第十四節 復數幻方
第十五節 智慧數幻方
第十六節 回文數幻方
第十七節 巧數幻方
第十八節 趣味形式的幻方
第十九節 菊花數幻方
第二十節 水仙花數幻方
第二十一節 金蟬脫殼幻方
第二十二節 關聯幻方
第二十三節 幻方象棋
第二十四節 馬馳巡回幻方
第二十五節 數字連環八陣圖
第二十六節 正反顛倒幻方
第三章 一般幻方的構造方法簡介
第一節 “九宮”的構造
第二節 四階幻方的構造方法
第三節 用羅伯法構造奇數階幻方
第四節 用行列交匯法構造奇數階幻方
第五節 用巴舍法構造奇數階幻方
第六節 用首尾數口訣法構造奇數階幻方
第七節 用奇偶分離平移補空法構造奇階幻方
第八節 用對稱交換法構造全偶階幻方
第九節 用平移補空法構造全偶階幻方
第十節 陰陽衡法
第十一節 任初農陣列變換法
第十二節 一中心對稱法
第十三節 田格砌塊法
第十四節 填對角線法
第十五節 用舒文中雙曲線型平移補空法構造半偶階(單偶階)幻方(六階)
第十六節 用同心方陣法(求解法)構造半偶階幻方
第十七節 四階全對稱幻方的構造方法簡介
第四章 用馬步法構造某些n為奇數階的全對稱幻方
第一節 關於自然方陣及自然方陣的性質
第二節 用馬步法構造某些奇數階全對稱幻方(即“筒形幻方”)
第三節 用馬仕法構造(6m±l)或(6m±5)型奇數階幻方
第四節 馬步法構造的幻方為何具有全對稱幻方性質的原因探究
第五節 馬步之謎
第六節 如果方陣的階數是3的倍數，即(6m+3)或3k型，則用馬步法構造不出全對稱幻方
第七節 用馬步法構造一般n階全對稱幻方的討論
第八節 舉例——用超馬步法構造七階全對稱幻方
第九節 用超馬步法構造超級幻方
第五章 模式法、仕步法及幻方群的構造
第一節 用模式法構造某些2k或3k階全對稱幻方
第二節 幻方群的構造
第三節 全對稱幻方群構造
第六章 關於用“仿宇宙天體型來構造任意大奇數階同心幻方的簡明方法及其證明
附章：蝶形雙曲線法構造4m+2型幻方
第七章 偶階同心幻方最新的簡明構造方法及原理證明
第一節 偶階同心幻方的簡明構造方法
第二節 用“核法構造偶階同心幻方的原理分析
第八章 雙料幻方的構造
第一節 填數之間的聯系及幻和幻積的求得
第二節 雙料幻方的生成方法
第三節 幾個雙料幻方的生成實例
第九章 勇攀幻方世界之最的巔峰
第一節 幻方“世界之最之我見
第二節 幻方研究對科學發展的促進作用
第三節 結束語
第十章 有關數陣的基礎知識及資料
第一節 歐拉方陣——三十六軍官問題
第二節 歐拉方陣的構造方法簡介
第三節 絢麗多彩的數陣圖
第四節 我國古代數陣圖選錄
參考文獻