數學大師講數學（全套共18種）

《從楊輝三角談起》 華羅庚著

楊輝是中國宋朝時候的數學家，在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開後的係數構成的三角圖形，稱做“開方作法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。本書從分析楊輝三角的基本性質談起，討論二項式定理、開方和多種級數，最後以精確估計一個無窮級數的和的值為例，告訴讀者近似計算的一種方法。

《對稱》 段學復著

對稱，照字面來說，就是兩個東西相對又相稱，因此把這兩個東西對換一下，好像沒有動過一樣。本書主要介紹有關對稱的數學，先講代數的對稱，再講幾何對稱，最後引出了“群”的概念。“群”的概念在近代數學中是最重要的概念之一，它不只對於代數學和幾何學，也對於數學分析以至於理論物理學都有重大的應用。通過這些內容，作者還試圖幫助讀者瞭解：數學理論是由具體實際中抽象出來的，而又有具體實際的應用。

《從祖沖之的圓周率談起》 華羅庚著

中國古代偉大數學家祖沖之提出的計算圓周率的約率和密率，孕育著用有理數最佳逼近實數的問題。“逼近”這個概念在近代數學中是十分重要的。本書從回答為甚麼前蘇聯發射的人造行星將於2113年又接近地球以及天文學上一些有趣的現象說起，在最大公約數、輾轉相除法、連分數等中學生已有的數學知識的基礎上，導出了用有理數最佳逼近實數的原理和方法。凡是幾種周期的重遇或復迭，都可能用到這一套數學，而多種周期現象經常出現於聲波、光波、電波、水波和空氣波等的研究中。

《力學在幾何中的一些應用》 吳文俊著

數學在力學上的應用是明顯的，比如力學上的一些計算就要用到數學。但是力學對於數學，比如在幾何中的應用，大家就不一定知道得很多了。其實遠在2000年前的阿基米德，就已經應用力學上的物體平衡定律來證明一些幾何命題了。學過物理的中學生，都熟悉物體的重心和力的平衡這些力學概念；本書引用了這些力學概念，來舉例說明它們如何用來證明一些幾何命題。內容只涉及中學課程裡的一些物理和幾何的知識，不涉及深奧的理論。

《平均》 史濟懷著

本書圍繞“平均”這個概念講述了一些有趣的數學問題。先從算術平均、幾何平均、調和平均三者的關係講到它們的有趣應用；解答諸如食品罐頭採用什麼樣的形狀最省料、電燈掛在多高照到桌上最亮等實際問題，以及證明了數學上某些有用的不等式。然後進一步推廣平均的概念，引進了“?平均”，把算術平均、幾何平均、調和平均三者統一起來，並且介紹了有關?平均的一些性質。這本小冊子最後還提到了“加權平均”，這是在實際生活中經常遇到的一種平均值，而這種平均還可以和力學上的重心問題聯繫起來。書中附有不少習題，通過這些習題，讀者可以進一步體會書中所講理論的用處。

《格點和面積》 閔嗣鶴著

一張方格紙，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂的格點。在平面上一個有限的區域內，格點的個數總是一個整數。怎樣用格點的個數去計算平面上有限區域的面積，或者，反過來，在平面上已知面積的一個有限區域內至少有多少格點，這就是這本小冊子所討論的問題。這裡面特別討論了一條叫做“數的幾何中的基本定理”。為了證明這條定理，書中還介紹了一條叫“重疊原則“的定理。聯繫重疊原則，又討論了怎樣用有理數逼近無理數等問題。這本小冊子就是這樣圍繞著格點和面積這個主題，講了數學上的一些有用的問題。

《一筆畫和郵遞路線問題》 姜伯駒著

一筆畫是一個有趣的幾何問題。在世界歷史上，從文藝復興時代起，人們就開始注意到一些超出歐幾里得幾何學範圍的幾何現象和問題，一筆畫就是其中之一。它是現今稱為“網絡論”的幾何學科的始祖。幾世紀來，人們一直把它看作是數學遊戲，然而在中國， 20世紀50年代，郵遞路線問題已得到了實際的應用。這本小冊子的講法、論斷力求明確，推理力求嚴密，希望能幫助讀者熟悉一些數學上常見的思路，學習分析和論證的方法。附少量習題，提供練習的機會。

《從劉徽割圓談起》 龔昇著

中國古代的數學家劉徽，從圓內接正六邊形起算，令邊數一倍一倍地增加，逐個算出六邊形、十二邊形、二十四邊形……的面積，去逐步地逼近圓周率。這個方法就叫劉徽割圓術。劉徽這種方法的特點就是用有限來逼近無窮，這種思想一直到近代數學中還在起著極其重要的作用。本書就是應用劉徽割圓術的這一思想，來處理一些面積和體積問題，並且引出了面積原理，以求出某些級數的和的極限。

《幾種類型的極值問題》 范會國著

本書開頭先從一些實際事例說明極大極小問題的性質；接下去就在中學數學的基礎之上，從二次函數的極大極小講起，講了不涉及高等數學的幾種類型的幾種極值問題，並且適當地列舉了一些聯繫實際的、有趣的例子；最後，把這些所講的類型統一在一個一般的定理之下。書末附有一些習題，通過這些習題，讀者可以更好地了解和運用所講的理論。

《從孫子的“神奇妙算”談起》 華羅庚著

《孫子算經》是中國古代的一部優秀數學著作，其中有“物不知其數”一問。這類問題在古代有不少有趣味的名稱，“神奇妙算”也是其中之一。這類問題和解法，中外數學家都稱之為孫子定理，或中國餘數定理。這一工作不僅在數學歷史上佔有地位，而且這類問題的解法的原則在現代數學中還在起著重要的作用，例如在電子計算機的設計中就有應用。本書深入淺出地從介紹“神奇妙算”這類問題和解法講起，抽出最基本的原則和方法，通俗而深刻地導出了插入理論、同餘式理論等數學的重要分支。同時，這本小冊子還提供了思考問題的方法，對學習數學和思考問題都富有啟發性。

《等周問題》 蔡宗熹著

等周問題的典型例子之一是“周長相等的所有封閉平面曲線中，怎麼樣的曲線所圍成的面積最大？“這本小冊子主要是介紹它的初等解法及一系列有趣的應用。唸過平面幾何及三角的讀者完全能看懂它。本冊先從簡單的三角形談起，接著論述：四邊長度給定的一切四邊形中，內接於圓的四邊形具有最大的面積；周界長度給定的所有n邊形中，正n邊形具有最大的面積。進而給出了上述等周問題解答的兩個證明和海倫公式的推廣。最後證明了一切體積相同的立體中，球體具有最小的表面積。

《多面形的歐拉定理和閉曲面的拓撲分類》 江澤涵著

本書第一章裡凸多面形的歐拉定理（定理1）的證明，只需要中學立體幾何的知識。在第二章裡，通過這定理和證明的分析討論，以及橡皮薄膜作成的圖形的變形，引進拓撲變換的直觀描寫，從而得到定理1的推廣，閉多面形的歐拉定理（定理2）。在最後一章裡，定理3和定理4圓滿地解決由定理1所提出的一些問題，同時也給出閉曲面的拓撲分類。

《複數與幾何》 常庚哲、伍潤生著

這本小冊子通過許多的例子，說明了複數在平面上的幾何學中的一些方便的、有趣的應用。第1節簡單複習關於複數的基本知識。第2節列舉了複數應用於幾何學的一些一般性的例子。以下第3、4、5、6節分別說明複數在共線、共圓、共點，圓族，複數的分式線性變換，等速圓周運動等方面的應用。在說明這些應用的同時，介紹了一些數學上常用的思考方法。小冊子中還附有習題和習題解答或提示，為讀者提供練習的機會。

《單位分數》 柯召、孫琦著

單位分數是分子為1、分母為自然數的分數。用單位分數來表示分數，具有許多有趣的性質，由此產生一些有趣的問題，其中有的是至今尚未解決的數論問題和猜想。本書從有關單位分數的一個古老問題談起，討論了單位分數的一些重要的性質和應用，最後介紹了一種有趣的無窮級數及其求和的方法。

《數學歸納法》 華羅庚著

本書首先對數學歸納法原理做了深入淺出的分析，然後通過對數學歸納法的一些“變著”的討論以及數學歸納法在遞歸函數、排列和組合、代數恆等式、差分、不等式和幾何方面的一些應用，啟發讀者逐步體會發現問題、解決問題的一些思想、方法和技巧。在此基礎上，本書在最後一節很自然地介紹了數學歸納法的數學依據— 佩亞諾公理。

《談談與蜂房結構有關的數學問題》 華羅庚著

本書通過介紹蜂房結構引出數學問題，進而從不同的角度、方法及工具，深入淺出地討論各類不同的極值問題，自然地得到一些重要而且經典的結果。通過這些討論，非常自然地引入了拼砌填充、格論、群論、不等式論與變分法等近現代數學的思想與方法。書中著重介紹了如何提煉數學模型，如何解決問題，以及解決問題後如何作更深層次的思考進而提出和解決更一般、更廣泛的問題。本書內容豐富，生動有趣。儘管本書的初衷是為中學生寫的課外讀物，但不同層次的讀者都能從中得到很多收穫，特別地，書中信手拈來的許多精闢見解對數學工作者也極富啟發。

《祖沖之算π之謎》 虞言林、虞琪著

公元400多年，祖沖之公佈了一條震驚世界的不等式3.1415926<π<3.1415927。但是祖沖之求得不等式的方法失傳了，這就成了一個謎。本書以劉徽的割圓術為基礎，運用當今中學的數學知識，介紹一個算π的方法，它很可能與失傳了的祖沖之方法有關。本書的後半部描繪了古典割圓術的一個可能的發展。這個發展必然會指向微積分學，從而為一些想學微積分的讀者提供一個背景材料。

《費馬猜想》 馮克勤著

1637年法國數學家費馬提出一個數學猜想，於1994年由懷爾斯給出證明，這被認為是20世紀純粹數學的一項重大成就。證明使用了近年來在代數、數論和幾何學方面的許多重要研究成果。本書較為通俗地介紹了300多年來人們攻克費馬猜想的歷史進程、在證明費馬猜想中產生的創新思想和方法，以及其對發展數學的推進作用。