解碼三大數學常數：π的密碼（簡體書）

第1章　圓周率的定義 ——多角度給π“拍照” 數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的 意志，縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。 ——美籍德國數學家理查德·柯朗 各家的圓周率：數學家說是圓周長和直徑的比；工程師說約3.14； 物理學家說是3.1416，誤差小于0.0003%；天文學家說是3.14159265， 誤差約1.146×10-9。 1.1　沒褪色的“黑白照” ——從圓周長和直徑定義開始 小學數學書上說，圓周率π是（歐幾里得）平面上圓周長和直徑 的比（值）。這種π的定義，是一張傳統的“黑白照片”，但還沒“褪 色”——直到今天還在用。 當然，這張“黑白照片”還可以換個角度——從求圓面積和半徑 的比來定義。 任取半徑是R的圓，畫它的內接正n邊形，并把多邊形的面積記作 Sn。顯然，當n無限增加時，內接正n邊形接近于圓，pn接近于圓周長 C；同時，Sn也就接近一個確定值，這個值叫圓的面積A。也就是說， 當n無限增加時，內接正多邊形面積組成的無窮數列S3，S4，S5， S6，…，Sn，…的極限是A。 現在證明：圓周率π又是A和R的平方的比，即（1）A＝πR2成 立。事實上，這時D＝2R，而n，an和圓內接正2n邊形的面積S2n之 間，有（2）S2n＝nRan/2和（3）pn＝nan的關系。其中（3）成立是 顯然的，下面我們來證明（2）也成立。 畫⊙O的內接正2n邊形并連接 它的中心和頂點，這2n條連線就把它分成2n 個三角形。把其中相鄰的兩個三角形記作 △OAC，△OCB，這時，AB與OC垂直相交于 D，于是有（4）△AOB的面積＝OD×AB/2 和（5）△ACB的面積＝CD×AB/2。而AB＝ an是圓內接正n邊形的一邊，又OD+CD＝ OC＝R。因此，從（4）和（5）就可以得到 （6）△OAC的面積+△OCB的面積＝△AOB的面積+△ACB的面積＝ （OD+CD）×AB/2＝Ran/2。 而圓內接正2n邊形是由n個這樣的相鄰三角形組△OAC，△OCB 拼成的，因此由（6）就得到（2）。 從（2）和（3）就可得到（7）S2n＝pnR/2。 當n無限增加時，S2n趨向于A，pn趨向于C，所以（7）的兩邊就 分別趨向于A和CR/2，而CR/2＝πDR/2＝πR2，這就得到（1）。 于是，我們就換了一個角度——用圓面積來定義了π。 1.2　還是“彩照”吸引眼球 ——各家定義“八仙過海” 顯然，原則上任何含π的公式都可用來定義π。例如，由球體積公 式V＝4πR3/3就可以得到π＝4R3/（3V）。于是可以說：圓周率π是球半 徑3次方的4倍和球體積3倍的比，等等。不過，很顯然，這類定義不如 1.1節的方法（用周長或面積來定義）方便，所以我們打算不繼續這樣給 π的密碼 它“拍照”。 我們要說的是另一類定義——給它拍幾張打破“傳統”的“彩 照”。 數學家們都說π＝4∫1 01-x2dx，它的源頭是英國數學家、密碼 專家沃利斯對單位圓面積的研究。稍懂微積分的人都知道，這個式子表 示的是一個單位圓——半徑為1的圓的面積。此外，還可以證明π＝ 2∫1 0dx 1-x2。 朗斯基 在1719年，一位最先使用虛數的意大利業 余數學家——法格納諾的定義是：π＝ 4ln1-i 1+i i2 （即π＝2iln1-i 1+i）。這個式子巧妙 地把數學中最重要的1，i，π，e聯系在一起了。 另一位波蘭數學家朗斯基則別出心裁，說 “數π的絕對意義是 此外，如果某個數在0和2之間，而且它 的余弦值為0，那這個數的兩倍就是π。而我們知道，π＝2arcsin （1）＝arccos（-1）。當然，在分析學中，π也可以嚴格地定義為滿足 sin（x）＝0的最小正實數x。 由上可見，不但從幾何的角度可以給π“拍照”，而且從代數、數 學分析、解析幾何、三角等多個角度都可以給π“拍照”，從而得到一 張張“回頭率”高的“彩照”。其實，這正體現了“數學在它自身的發 展中是自由的……數學的本質在于它的自由”。德國數學家喬治·康托 爾這樣說——這句話，也用德語鐫刻在他的紀念碑上。 1.3　愛因斯坦能幫忙嗎——盼著你的“三月小船” 乘著三月黑色的小船/愛因斯坦/……/從復雜的數學中崛起/矗立在 第1章　圓周率的定義——多角度給π“拍照” 威廉姆斯 水仙花叢中/春風吹拂/從四個方向，有冷有熱/ 搖曳著那些花朵。這是長詩《水仙花的圣·弗 朗西斯·愛因斯坦》中的一小段，由美國著名 詩人威廉姆·卡羅斯·威廉姆斯在1921年 發表。 英文Narcissus（水仙花），原指希臘神話中 有絕世之美的那喀索斯——一個因自戀而臨泉 自照，然后死去的美男子。在他的尸體停處， 突然長出一株黃白相間的花，就是人們所說的那喀索斯花即純美的水仙 花。威廉姆斯詩中“水仙花”，指思想自由純美的愛因斯坦和他那革命 性的廣義相對論。詩的標題中的“圣·弗朗西斯”是法語人名，含 “自由”之意，不但指思想自由的愛因斯坦，也隱喻愛因斯坦給美國人 帶來了關于自由的新觀念。 對于圓周率的定義——不，不僅僅對“定義”，而是對整個圓周率 的研究，作者盼望著讀者您，也當一回“愛因斯坦”，駕駛“三月黑色 的小船”，給我們“帶來關于自由的新觀念”，矗立在“凌波仙子”叢 中吧！ π的密碼 第2章　圓周率的名稱 ——世人給π改“綽號” 除了變，一切都不能長久。 ——英國詩人雪萊 2.1　古率（周三徑一之率、徑一周三之率） 人類最早使用的粗糙圓周率是3，這個值被后人稱為“古率”。這 “3”最早起于何時，已“窮遠不可追問”。但在中國，木工師傅有句從 古流傳下來的口訣可以作證：“周三徑一，方五斜七”。這個口訣的意 思是，直徑為1的圓，周長大約是3；邊長為5的正方形，對角線之長 大約是7。 成書不晚于公元前1世紀的中國古書《周髀算 經》的“卷上”，記述了約公元前1100年周公與商 高的問答。其中有“商高曰‘數之法出于圓方’”， 下面有三國時代吳國的數學家趙爽大約在222年的 注“圓徑一而周三”的記載。此外，其他中國古代 文獻如《周禮考工記》中也有相同的記載。 “中國的牛頓”——魏晉時期的數學家劉徽在 263年注《九章算術》，把圓周率稱為“周三徑一之 率”，這是古率的又一個名稱，它在一些文獻中被 叫做“徑一周三之率”。由此可見，古率3在中國古代劉徽之前已廣為 流傳。 2.2　阿基米德數（阿氏率、亞氏率、弱率）、 托勒密之值 古希臘數學家、物理學家阿基米德率先將π值算到兩位小數3.14。 為了紀念他的這一偉大貢獻，后人將3.14叫做“阿基米德數”或“阿 氏率”。中國翻譯家鄭太樸翻譯、商務印書館于1930年出版的美國數學 史家達維德·尤金·史密斯等寫的《數論尺規作圖及周率》一書，將 阿基米德譯為“亞幾默德”，并把22/7稱為“亞氏率”。 一些人稱3.14或157/50為“弱率”。 希臘天文學家、地理學家、數學家托勒密在制作弦表時，得到的π 值為3.1416·。中國橋梁學家茅以升在《中國圓周率略史》一文中，將 它稱為“托勒密之值”——原文為“Ptolemy（即中國盛稱多祿某）之 值”。不過，茅以升卻說托勒密算得的π值是3.141552。 2.3　歆率 公元9年孟夏，中國漢代數學家劉歆，制造了“律嘉量”（即“嘉 量斛”或“律嘉量斛”）——“龠、合、升、斗、斛五量備于一器”的 銅質圓柱形標準容器。由此，他得到圓周率近似值為3.1547或 3.1790247，這兩個值都叫“歆率”（或“劉歆率”）。下面分別說明 來源。 3.1547是根據刻在嘉量斛上的銘文推 算出來的。這段銘文是：“方尺而圓其外， 旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，積 千六百二十寸，容十斗”（1斗＝10立方 分米）。這是說這個容器的幾何尺寸，而 它的平面圖形。