φ的密碼（簡體書）

著名的《達·芬奇密碼》中的"密碼"是什麼？答案是φ--這本書要說的內容。雖然φ不是每天都和我們"親密接觸"，但卻和π，e一樣頻頻出現。本書圖文並茂，生動詳盡地介紹φ的方方面面。流暢生動的通俗語言任你品甜嘗鮮，美不勝收的佳圖名畫使你心曠神怡，人神莫測的精彩情節讓你心弦搖曳，由淺入深的科學道理給你五車學富，妙趣橫生的豐富內容誘你流連忘返……本書不但把φ熔入整個數學以至科學之中，而且把人文精神熔入其中，對提高人的綜合素質，特別是培養健康心理大有裨益。本書適合具有中等及以上文化的青少年或成人閱讀，也是研究φ的重要參考書。"我喜歡在深夜撥弄心弦，弦上黃金分割不止一點。"讀了這本書，你會成為這樣的"φ迷"。"楚蘭不佩佩吳鉤"，讓我們佩帶李白的"吳鉤"，與畢達哥拉斯、斐波那契、達·芬奇不棄不離，去尋找那"φ的密碼"，去探索那"躲貓貓"的大自然……

陳仁政，中學教師，長期從事數學等學科教育。在《數學通報》、《知識就是力量》、《光明日報》等50多種報刊上發表過文章200多篇（次）。出版過《站在巨人肩上》叢書、《七彩學生文庫·科學天梯》叢書、《說不盡的π》、《不可思議的e》等專著20多種。其中《說不盡的π》與《不可思議的e》獲2009年度“國家科學技術進步獎”二等獎；《七彩學生文庫·科學天梯》叢書獲2010年第一屆“中國科普作家協會優秀科普作品獎”提名獎。

叢書序
第1章 畢氏學派——“暗藏黃金”兩千年
1.1 臨終遺圖和洞口大漢
1.2 畢氏學派“濤聲依舊”
1.3 畢氏學派“暗藏黃金”
1.3.1 聯絡標志五角星
l.3.2 “暗藏黃金”兩千年
第2章 黃金分割——不老的傳奇
2.1 黃金分割的“基本作圖”、名稱和符號
2.1.1 黃金分割的“基本作圖”
2.1.2 黃金分割的名稱
2.1.3 黃金分割的符號
2.2 從中末比到黃金分割
2.2.1 從歐多克索斯到托勒密
2.2.2 從達·芬奇到馬丁·歐姆
2.3不 老的傳奇
第3章 數學中的“密碼”——無處不在的φ
3.1 φ的幾何作圖
3.1.1 方法1——勾股法
3.1.2 方法2——相似三角形法
3.1.3 方法3——正五邊形法
3.1.4 方法4——梯形法
3.1.5 方法5——內角平分線法
3.1.6 方法6——相交弦法
3.1.7 方法7——圖像法
3.1.8 方法8——面積割補法
3.1.9 方法9——雙圓弧法
3.2 正五邊形的幾何作圖
3.2.1 在已知圓中作正五邊形
3.2.2 已知邊長作正五邊形
3.2.3 用“生銹圓規”作正五邊形
3.3 五角星的幾何作圖
3.4 φ與黃金螺線
3.4.1 φ與“矩形黃金螺線”
3.4.2 φ與“正方形黃金螺線”
3.4.3 φ與“三角形黃金螺線”
3.4.4 超級“黃金粉絲”詹姆斯
3.4.5 無處不在的螺旋
3.5 φ與數學形影不離
3.5.1 平面幾何中的φ
3.5.2 代數中的φ
3.5.3 三角中的φ
3.5.4 解析幾何中的φ
第4章 斐波那契數列——兔子奏響和諧樂章
4.1 兔子問題引出F數列
4.1.1 不凡的商人數學家
4.1.2 《算經》中的兔子問題
4.1.3 偉大的“愚人”
4.1.4 探索正未有窮期
4.2 奇妙的F數列
4.2.1 遞推公式和通項公式——從吉拉德到比內
4.2.2 和諧的樂章——F數列的奇妙性質
4.3 F數列的數學應用
4.3.1 數學領域初顯身手
4.3.2 F數列與“F數列長方形”
4.3.3 F數列與“完全正方形”
4.3.4 F數列與幻方
4.3.5 F數列與賈憲三角
4.3.6 F數列與“線段數列”
4.3.7 F數列與方程的近似解
4.3.8 F數列與概率
4.3.9 每一項都含φ的“仿F數列”
4.3.10 F數列與登樓梯
4.3.11 F數列與蜜蜂的道路
4.3.12 尼羅河畔的余香
4.3.13 F數列“無所不能”
4.4 植物與F數列
4.4.1 樹枝增長的奧秘
4.4.2 葉序中的F數列
4.4.3 從菠蘿到向日葵
4.4.4 法國數學家揭開的植物奧秘
4.5 動物與F數列
4.6 電子顯微鏡下的奇觀
4.6.1 F數列與準晶體
4.6.2 中國科學家的“大力神杯”
4.7 F數列用于藝體和建築
4.8 F數列的“娛樂無極限”
4.8.1 魔術師的“斐波那契地毯”
4.8.2 鋼琴鍵盤上的F數列
4.8.3 《達·芬奇密碼》中的F數列
4.8.4 “仿F數”的“怪蛋”
4.8.5 火柴遊戲穩操勝券
4.8.6 顏色調配與F數列
4.8.7 神奇的5
第5章 從華爾德、基弗到華羅庚——優選法中的φ
5.1 從華爾德、基弗到華羅庚
5.2 單因素問題的黃金分割法
5.2.1 理論上的0.618法
5.2.2 便于操作的0.618法
5.3 單因素問題的斐波那契法
5.4 最佳點會丟失嗎
5.5 0.618法和分數法的優點
5.5.1 0.618法和分數法的“去長留短”
5.5.2 0.618法和其他方法的比較
5.6 優選法林林總總
第6章 藝術中的美——藝術家也愛φ
6.1 比例論引出“大明星”
6.1.1 從畢氏學派到伽利略——比例無處不在
6.1.2 “大明星”技壓群芳——出自比例論的φ
6.2 繪畫、雕塑中的φ
6.2.1 古希臘的神韻
6.2.2 文藝復興時期的盛典
6.2.3 從安格爾到“黃金分割畫派”
6.2.4 東方與現代
6.3 建築中的φ
6.3.1 帕臺農神廟遺韻流芳
6.3.2 巴黎聖母院、巴洛克和東方建築
6.3.3 現代主義建築中的φ
6.4 臺藝、音樂、文學、書法中的φ
6.5 φ與攝影
6.6 φ在藝術的其他場合
6.7 多彩的藝術與神奇的科技相通
第7章 生命暗藏的美——生物與φ
7.1 人體中的φ
7.1.1 從維特魯威到達-芬奇
7.1.2 “形式愛好者”對人的形體研究
7.1.3 人體內部的φ
7.2 動物中的“φ密碼”
7.2.1 動物身上的黃金螺線
7.2.2 動物身上的φ
7.3 植物中的φ
7.3.1 植物“肢體”的形狀
7.3.2 植物“肢體”的分布
7.3.3 植物“智慧”與“生仿學”
7.4 生物形狀的無窮奧秘
7.4.1 “形式愛好者”
7.4.2 生物形狀千姿百態
第8章 從物理學走向字宙——“沒有什麼能夠阻擋”
8.1 電學中的φ
8.1.1 電容電路中的φ
8.1.2 電阻電路中的φ
8.2 天地宇宙中的φ
8.2.1 天上和地上的φ
8.2.2 維持宇宙秩序的“第七參數”
第9章 自娛自樂會有時——φ的“八卦”
9.1 五角星中的“黃金”
9.1.1 半空心五角星中的“寶藏”
9.1.2 半空心五角星中的“黃金”
9.2 五邊形數定理
9.3 用紙折出正五邊形
9.4 隱蔽在洛依德謎圖中的五角星
9.5 五角星與等寬曲線
9.6 五角星中擺石子
9.7 種樹問題中的五角星
9.8 電腦鍵盤上的“黃金”
9.9 φ，π，6和“中空數”
9.10 φ的節日
9.11 “不務正業”的“黃金”
9.12 用紙折出黃金矩形
第10章 無窮的探索——φ的懸疑、誤區和神話“
10.1 φ的懸疑
10.1.1 黃金矩形最美嗎
10.1.2 弦長的1／12處彈出的音樂最美嗎
10.2 φ的誤區
10.2.1 琴弦長度的誤區
10.2.2 古琴參數的誤區
10.2.3 用“黃金定律”能提高彩票中獎機會嗎
10.3 φ的迷信或神話
10.3.1 五角星不能避魔
10.3.2 百慕大三角的迷霧
參考文獻
後記

第1章 畢氏學派 ——“暗藏黃金”兩千年 月落烏啼，總是千年的風霜。濤聲依舊，不見當初的 夜晚。 ——《濤聲依舊》歌詞 1.1 臨終遺圖和洞口大漢 “請您……在……在……”一個學派的成員流落異鄉，貧病交迫， 無力酬報房主的殷勤照顧，在臨終的時候有氣無力地懇求房主， “在……門口刻下……這個圖形……” 善良的房主照辦了——在自己的大門上刻下了死者要求的那個 圖形。 歲月輪回。若干年以后，這個學派的其他成員偶然來到這里，見到 了這個圖形。他們詢問了事情的經過之后，用重金厚報房主而去…… 幾乎同時，也就是距今兩千多年以前的一個夜晚，在今天屬于意大 利半島南端的一個山洞門口，兩個彪形大漢緊把洞門。夜色降臨了，數 以百計的人魚貫而入。不過，在入洞之前，他們都要伸開右手，讓兩個 大漢“驗明正身”，否則就會吃閉門羹…… 接下來，就是洞中神秘的集會…… 那么，這個學派的成員是怎么知道同伴曾在此居留過呢？這個圖形 是什么，為什么有這么大的魅力呢？這個學派叫什么名字呢？這些人的 右手心上有什么秘密，便于兩個大漢識別，從而“開綠燈”呢？洞中 的神秘的集會要干什么——是殺人越貨，是謀反，還是……這些問題， 都將在本章得到答案。 1.2 畢氏學派“濤聲依舊” 在古希臘燦爛的數學星空中，有一顆璀璨的明星——“西方理論數 學的創始人”畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）。 在亞洲西部，有一個著名的小亞細亞半島， 島上是當今土耳其97%的國土。這個半島北、 南分別瀕臨黑海和地中海，而西邊則是愛琴海。 靠近小亞細亞西岸的愛琴海中，有一個名叫薩摩 斯的小島。約公元前580年，畢氏就出生在這個 今天屬于希臘的小島上。 早年的畢氏，曾拜古希臘“數學之父”、大 哲學家泰勒斯為老師，學習幾何學和哲學。他還 在愛琴海中的錫羅斯島向費雷西底學習，也曾師從伊利亞學派的安納西 曼德——繪制世界上第一張全球地圖的人。為了進一步求學，畢氏游歷 埃及、巴比倫（一說到過更遠的印度），大約在公元前530年返回薩摩 斯島并開始講學。 然而，由于當時薩摩斯島的海盜和僭主（非法就位的統治者）波 利克拉底的暴政，就攜母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯島，移居西西 里島，最后定居意大利半島南端的克羅托內。此時，他已過“知天命之 年”。 畢氏到了克羅托內之后，就一面講學，一面廣收門徒，并在大約公 元前530年建立了一個秘密的宗教、政治、學術“三合一”的團體—— “友誼聯盟”，后人稱為“畢氏學派”或“畢氏學校”。 畢氏的講學吸引了包括各個階層的大量的聽眾——特別是社會的上 層人士。當時，婦女是被禁止出席公開會議的，但畢氏打破了這個“清 規戒律”，允許她們聽講。在這些熱心聽講的婦女中，有房主米洛的女 兒西雅娜。后來，這位綺年玉貌的西雅娜，成了他的妻子和“賢內 助”，還為他寫過傳記——可惜已經失傳。 畢氏把畢氏學派分為兩等。一等是大多數的普通聽眾——只能聽一 般知識的講授，不能發問，更不能參加討論。另一等才是真正的畢氏學 派核心成員——“獲得較高深知識的”300多個有社會地位和學問的 人。畢氏學派組織嚴密，每個加入者都要接受長期的訓練和考核，遵守 許多清規戒律，并宣誓永不泄漏學派的秘密和學說，否則將受到嚴厲的 懲罰，在學術上也要達到一定的水平。加入者還要通過一系列的神秘儀 式，以求達到“心靈的凈化”。他們相信依靠數學——學派教義的組成 部分，可以使靈魂升華，與“上帝”融為一體；認為“萬物皆 數”——萬物都包含數，而且萬物都是數，所以數是萬物的本質；“上 帝”就是用“數”來統御宇宙的。 畢氏學派的成員有共同的哲學信仰和政治 理想，雖飲食簡單，但訓練嚴格。學派教義鼓 勵大家自制、清心寡欲、純潔、服從。他們起 初在大希臘（今意大利南部一帶）贏得了很高 的聲譽，產生過很大的政治影響。 因為畢氏學派的聲譽和影響，所以招來敵 對派的嫉恨，并由此種下了禍根。后來，又受 到民主運動風暴的沖擊，學派被破壞，畢氏被 迫移居位于他林敦（今意大利半島南部塔蘭托）附近的梅塔蓬圖姆。 然而，他最終還是厄運難逃——約公元前500年，死于民主派暴徒在梅 塔蓬圖姆街道上的一次追殺襲擊中。 雖然畢氏倒下了——連學派在克羅托內的活動場所也連續被破壞， 但他的許多門徒卻幸存下來，逃回希臘本土伯羅奔尼撒半島東北部的弗 利奧斯重新建立據點。也有一些人到塔蘭托去繼續進行數學、哲學研究 以及政治活動——直到公元前4世紀中葉，繁榮了近兩個世紀。 在這近兩個世紀的活動中，畢氏學派中 誕生了眾多留名至今的著名數學家：希帕索 斯、西奧多羅斯；阿爾希塔斯、菲洛勞斯等。 畢氏本人并沒有留下什么著作，而學派 內經過門徒討論、研究的成果由領導人加以 總結后又秘而不宣，所以外人很少知道詳細 情形。這樣，后來人很難分清哪些成果屬于 畢氏本人，哪些屬于他的門徒。但是，在畢 氏學派被逐漸分散以后的約公元前370年， 菲洛勞斯寫成了至今只存少量片段的一部公 開著作，加上后來學者們的研究，畢氏和畢 氏學派的主要成果才在揭開“冰山一角”之后，露出“海面之下巨大 的冰山”，逐漸被后世所認識。 畢氏學派的主要成果有：開創了把幾何問題與數的性質問題結合起 來的研究方法——在西方首先發現了畢氏定理（中國稱為勾股定理） 并在世界上最早證明這個定理，就是運用這種方法著名的具體成果；關 于數的理論——例如區別奇數、偶數和素數的方法，對完全數、親和 數、“形數”等的研究；用數學方法研究音樂；對正多面體的研究；對 無理數的發現和研究；提出獨特的天文學見解——例如認為日月等星辰 都呈球形，懸浮在太空中運行。 畢氏學派是繼泰勒斯創建的愛奧尼亞學派之后，古希臘第二個最重 要的學派。它持續存在了近兩個世紀，影響之久，遠遠超過了愛奧尼亞 學派。甚至約4個世紀之后的公元1世紀，還出現了它的“克隆 版”——宣揚數字神秘的“新畢氏學派”。 在前面簡述的畢氏學派的主要開創性成果中，許多都是至今我們熟 悉或研究的重要內容，所以在距畢氏兩千多年以后，希臘還為當年畢氏 學派（稱為畢氏的“眾議院”）發行了紀念郵票。由此可見，在“千年 的風霜”之后，畢氏學派的成果照樣“濤聲依舊”——雖然已“不見 當初的夜晚”…… 1.3 畢氏學派“暗藏黃金” 1.3.1 聯絡標志五角星 畢氏學派對正多面體的研究之一，是發現或重新發現了5種凸正多 面體——有兩種不同的說法。 一種說法是，畢氏本人原先只知道四面體、六面體、八面體和二十 面體這4種正多面體，并說火、土、氣、水（他主張的構成一切物質的 4種“基本元素”）分別生于這4種凸正多面體。但是，后來發現還有 正十二面體，卻沒有第5種“基本元素”和它對應，只好同整個宇宙 對應。我們知道，凸正多面體有而且只有這5種——證明只有這5種的 方法，可能起源于古希臘數學家歐幾里得。有趣的是，在所有5種正多 面體中，只有由正五邊形構成的正多面體（正十二面體）的每一面的 邊數最多，所以最復雜，才最后被發現。 另一種說法是，畢氏本人早就知道正十二面體，以及正四面體、正 六面體。理由是正十二面體的每一個面都是正五邊形，而畢氏學派對正 五邊形的作圖法已得心應手，并且鐘愛正五角星形（有時簡稱五角星形 或五角星）。鐘愛到什么程度呢？他們在（空心）五角星的角頂分別標 上5個字母ν，γ，ι，θ，α，作為他們秘密組織的徽章（校章）或聯絡 標志。它們連起來就是“νγιθα”，意思是“健 康”。這種“健康”五角星，就是我們前面提到 的那個“天涯淪落人”臨終懇求房主刻下的圖 形。這個人是畢氏學派的成員，畢氏 學派的其他成員就是憑這個五角星知道同伴曾 在此居留過。前述兩個大漢驗證入洞者的身份， 也是看他們的右手心上有沒有一個紅色的五角 星。由此可見，五角星對畢氏學派有多么巨大 的魅力！ 五角星的這種魅力，在比畢氏學派更早的古代就顯現出來：在現屬 伊拉克的幼發拉底河下游一個叫烏魯克的地方，發現了一塊約公元前 3200年的泥板，上面就畫有一個不是很正規的五角星。 為什么是五角而不是其他數目的角呢？這是一個耐人尋味的謎—— 也許是原始人類遺留下來的習慣。但為什么會有這種習慣呢？ 其實，古往今來，世界各地的許多人都把對稱的五角星圖案看作對 稱、和諧、協調、昌盛、健康和美麗的象征。這種魅力和觀點在當今世 界也不難找的到例證：天上閃爍的星星，多畫為五角星；世界上近40 個國家（例如中國、美國、朝鮮、土耳其、古巴）的國旗，凡是“涉 星”的，幾乎都畫成五角星——只有澳大利亞和約旦的七角星、尼泊爾 的十二角星、被稱為“輝煌條紋”的馬來西亞的十四角星（當初代表 14個州，新加坡在1965年獨立出去以后代表13個州和政府）等少數 例外。例如，中國的國徽和國旗五星紅旗——那片“從旭日上采下的 虹”上就有一大四小的5個五角星。據說，有些國家就是考慮了五角星