有限域及其應用（簡體書）

《走向數學叢書02-有限域及其應用》，在這本小冊子里，我們在第一部分先給出全部有限域，并且介紹有限域的各種奇妙的性質；在第二部分講述有限域的一些應用。這是一本通俗讀物，愛好數學的中學生可以讀懂本書的大部分內容。

1941年10月生于天津市寧河縣，1964年中國科技大學數學系畢業，1968年中國科技大學數論代數方向研究生畢業，1973—2000年在中國科技大學任教，1985年任教授和博士生導師。2000年至今任清華大學數學科學系教授。研究方向為代數數論和在編碼及信息安全中的應用。獲1991年陳省身數學獎等獎項。現為International Journal of Number Theory，《中國科學(數學卷)》等刊物編委：中科院信息安全國家重點實驗室、北京大學國際數學研究和人才培養基地、復旦大學應用數學實驗室、南開大學陳省身數學研究所等單位學術委員會委員。1974年7月生于四川宜賓，1996年四川師范大學數學系畢業，1999年四川師范大學碩士研究生畢業，1999年至今在四川師范大學數學學院任教。期間2002—2005年于四川大學師從孫琦教授攻讀博士研究生，2007—2009年于清華大學與馮克勤教授合作從事博士後研究工作，2006年任副教授和碩士生導師。研究方向為代數數論和在編碼及信息安全中的應用。

在這本《有限域及其應用》里，編者馮克勤、廖群英在第一部分先給出全部有限域，并且介紹有限域的各種奇妙的性質。在第二部分講述有限域的一些應用。這是一本通俗讀物，愛好數學的中學生可以讀懂本書的大部分內容。此外，馮克勤、廖群英所著的《有限域及其應用》還需要線性代數的初步知識，主要是向量空間概念，矩陣的運算和域上解線性方程組的知識。除了“域”之外，我們還使用了抽象代數中另兩個術語：“群”和“環”。這些術語并不深奧，我們主要涉及很簡單的交換群、多項式環和有限域。問題的敘述和證明都盡量做得通俗，并舉出例子加以說明。

續編說明/1
編寫說明/3
引言/5
理論部分
一 來自初等數論的有限域/1
1.1 整除性和同余性/1
習題/14
1.2 P元有限域/15
習題/30
二 一般有限域/31
2.1 域上的多項式環/31
習題/43
2.2 構作一般有限域/43
習題/55
三 有限域上的函數/57
3.1 廣義布爾函數/57
習題/61
3.2 冪級數/61
習題/78
3.3 加法特征和乘法特征/79
習題/92
3.4 高斯和與雅可比和/92
習題/104
四 有限域上的幾何/106
4.1 有限仿射幾何/107
習題/117
4.2 有限射影幾何/118
習題/128
4.3 平面仿射曲線和平面射影曲線/128
習題/135
五 有限域中解方程/136
5.1 謝瓦萊-瓦寧定理:解的存在性/136
習題/150
5.2 多元二次方程/150
習題/167
5.3 費馬曲線和阿廷-施萊爾曲線/168
習題/179
5.4 韋依定理/179
習題/189
應用部分
六 組合設計/191
6.1 正交拉丁方/191
習題/205
6.2 區組設計/205
習題/212
6.3 阿達瑪方陣/212
習題/218
七 糾錯碼/219
7.1 糾錯碼/220
習題/229
7.2 線性碼/230
習題/238
7.3 漢明碼、多項式碼和里德-馬勒二元線性碼/240
習題/255
7.4 循環碼/256
習題/274
八 密碼和信息安全/275
8.1 凱撒大帝的密碼/277
8.2 M序列與圖論——周游世界和一筆畫/282
習題/293
8.3 構作M序列(并圈方法)/293
習題/303
8.4 公鑰體制/303
8.5 密鑰的分配、更換和共享/315
8.6 橢圓曲線算法/329
結束語/339