實變函數論新編（簡體書）

《實變函數論新編》分為三章：第一章“集合論基礎與點集初步”介紹了集合的概念、運算、勢，討論了Rn中集合的特殊點和特殊集及其性質；第二章“可測集與可測函數”，介紹了可測集合與可測函數概念，討論了各自具有的性質和相互關系，為改造積分定義作必要的準備；第三章“Lebesgue積分及其性質”定義了新積分，并討論了新積分的性質。鑒于學時所限，同時為了培養學生的自學能力，讓學生通過學習“實變函數”更多體會數學創新方法，《實變函數論新編》提供了四個附錄供學生自學，也便于教師概略性地選講，《實變函數論新編》的適用對象為數學與應用數學專業本、專科學生，因《實變函數論新編》注重挖掘“實變函數”中數學創新思維與初等數學或日常思維的聯系，因而尤其適宜師范院校數學專業本、專科學生使用。

魏勇，男，1957年生于重慶市豐都縣，1992年在法國Orleans大學獲應用數學D.E.A文憑，1997年在西南石油大學獲工學博士學位。

《實變函數論新編》為高等教育“十一五”規劃教材之一。

緒論
第一章 集合論基礎與點集初步
第一節 集合概念與運算
第二節 集合的勢、可數集與不可數集
第三節 無最大勢定理與Contor連續統假設
第四節 Rn空間
第五節 Rn中幾類特殊點和集
第六節 Rn中有界集的幾個重要定理
第七節 Rn中開集的結構及其體積
習題一

第二章 可測集與可測函數
第一節 外測度定義及其性質
第二節 可測集定義及其性質
第三節 可測集的結構
第四節 可測函數定義及其性質
第五節 可測函數列的幾種收斂及其相互關系
第六節 可測函數的結構
習題二

第三章 Lebesgue積分及其性質
第一節 Lebesgue積分的定義及其基本性質
第二節 Lebesgue積分的極限定理
第三節 Lebesgue積分的計算技巧
第四節 Fubini定理
第五節 單調函數與有界變差函數
第六節 絕對連續函數
第七節 微分與積分
習題三

附錄
附錄1 不可測集的構造
附錄2 單調函數的可微性證明
附錄3 可測集合、可測函數定義演變過程追蹤
附錄4 一般集合的抽象測度與抽象積分簡介
參考文獻

二、《實變函數論》的特點
由以上敘述可以看出《實變函數論》內容單純，學習起來應該簡單，然而實際情況卻大相徑庭，各屆同學都感到學習《實變函數論》有一定困難，原因在何處呢？從學生反映意見看集中在以下三點。
1）《實變函數論》高度抽象，防不勝防。
抽象到什么程度呢？有人用八個字概括為：“似是而非，似非而是”，并有例為證。
例1 若許多同學站成一列，且男女生交叉排列，任意兩個男生中間有女生，任意兩個女生中間有男生，在其中任取一個片段，男女生的個數關系無非只有三種可能：或男女生一樣多，或男生比女生多，一個，或女生比男生多一個，也就是說在任一片段中男女生個數似乎至多相差一個，與直線上的有理數、無理數排列表面看來很類似，任意兩個有理數中間有無理數，任意兩個無理數中間有有理數，在直線上任取一節線段，有理數、無理數的個數似乎無非只有三種可能：或有理數、無理數一樣多或有理數多一個或無理數多一個，也就是說在任一片段中有理數、無理數個數似乎至多相差一個，但嚴密的邏輯推理告訴我們：這種說法是完全錯誤的，事實上，有理數相對無理數而言少得多，少到什么程度呢？即使是有理數開頭有理數結尾這樣對有理數最有利的情形，有理數與無理數相比也是微不足道的，“有它不多，無它不少”，即去掉有理數後的無理數居然還與所有實數一樣多，這就是所謂的“似是而非”。