時滯微分方程的分支理論及應用（簡體書）

《時滯微分方程的分支理論及應用》簡要介紹時滯微分方程的基本理論並重點闡述分支問題研究的主要方法。在基本理論中，介紹了包括初值問題解的存在唯一性、整體解的存在性、線性自治系統譜分解理論和線性穩定性理論、半動力系統和穩定性理論等；圍繞分支問題的研究，主要介紹了指數多項式的零點分佈的分析方法、建立在中心流形上的局部Hopf分支理論、以等變拓撲度理論為基礎的全域Hopf分支理論、高餘維分支的分析方法等。《時滯微分方程的分支理論及應用》將若干典型實例與最新研究成果相結合介紹了上述理論的具體運用，讀者可以從中學會和把握非線性動力學研究的基本方法。《時滯微分方程的分支理論及應用》可供從事微分方程與動力系統研究的學者和科研工作者使用，也可作為研究生的教材和參考書。

《時滯微分方程的分支理論及應用》可供從事微分方程與動力系統研究的學者和科研工作者使用，也可作為研究生的教材和參考書。

前言第1章 時滯微分方程的基本理論1.1 基本概念1.2 解的存在性理論1.3 線性自治系統譜分解理論1.4 線性穩定性理論第2章 指數多項式方程根的分佈分析2.1 基本定理2.2 係數不依賴於T的情形2.3 係數依賴於T的情形2.4 高次指數多項式方程根的分佈分析第3章 時滯微分方程的Hopf分支3.1 常微分方程的Hopf分支3.2 時滯微分方程Hopf分支性質3.3 Hopf分支應用實例第4章 全域Hopf分支與週期解的大範圍存在性4.1 泛函微分方程的全域Hopf分支定理4.2 具有時滯的Nicholson果蠅方程的週期解的全域存在性4.3 具有多時滯的造血幹細胞模型的動力學性質分析第5章 中立型微分方程的分支理論5.1 引言5.2 中立型微分方程的Hopf分支性質5.3 含擾動參數的規範型5.4 無損傳輸線路模型5.5 中立型神經網絡模型的全域Hopf分支第6章 時滯微分方程的高餘維分支簡介6.1 規範型方法6.2 Ao具有一對簡單純虛特徵值——Hopf分支6.3 Ao具有簡單零特徵值——Fold分支6.4 Ao具有二重零特徵值——Takens—Bogdanov分支6.5 A0具有簡單零特徵值和一對簡單純虛特徵值——Hopf-zero分支6.6 具有時滯反饋的Van der Pol振子的分支現象第7章 附錄7.1 半動力系統理論和穩定性7.2 中心流形理論7.3 高維常微分方程的Bendixson定理參考文獻

第1章 時滯微分方程的基本理論
常微分方程反映了事物發展的趨向僅由當前的狀態決定，而不是明顯地依賴于它的過去和未來。但是，早在18世紀末就已發現，有許多現象并非如此，它們的發展趨向不僅依賴于當前的狀態，而且還取決于它的過去或未來的某一段時間中的狀態，描述這類現象的微分方程已不是通常意義的常微分方程，它不僅含有自變量t，而且還含有有限個（甚至無限個）形如t. r（t）的帶滯后的變元，其中r（t）稱為偏差，由于t. r（t）并不是新的獨立變量，所以這類方程也不是偏微分方程，我們通常稱之為滯后型偏差變元的微分方程，下面看幾個源于實際背景的這類方程的實例。
1838年，Verhulst在研究單種群增長規律的過程中，考慮到資源有限及種群內部的競爭等因素[28]，構造了“logistic模型” 。
N（t）.
N.（t）=rN（t）1. ，
K
其中r是內秉增長率，K是所考慮的地域對該種群的最大容納量，容易證明：只要初值N0>0，則滿足N（t0）=N0的解就有limN（t）=K.上述Logistic模型考慮的是t→∞在t時刻種群的增長速度僅依賴于t時刻種群的數量，但實際上，種群（生物）的再生繁衍有個時間過程，也就是種群在t時刻的變化速度不僅依賴于t時刻的種群數量，而且還與過去種群的數量有關。基于這些考慮，1948年Hutchinson首次構造出大家熟知的具時滯的Logistic模型[29]
N.（t）=rN（t）.1 . N（t.τ）.
K
該模型更好地解釋了人們所觀察到的種群的數量往往是振動的這一現象.具時滯的Nicholson’s果蠅模型
N.（t）=aN（t. r） × ce.N（t.r）/N0 . δN（t）.
果蠅的繁殖過程是產卵，卵孵化出幼體，并最終成為成熟果蠅。該模型假設卵經時間r成為成熟果蠅，成熟果蠅按常數率供給食物，N0反映的是承載量。方程右端第一項反映了新的成熟個體的補充，aN（t. r）為產卵項，ce.N（t.r）/N0 為從卵直到成熟個體這一過程的幸存概率，因為不成熟果蠅之間內部競爭食物的原因，幸存概率隨著蟲口的增加而減少，右端第二項反映了死亡率。上述方程正是根據果蠅波動的實驗數據建立起來的，能很好地描述果蠅繁殖增長的發展變化[13]。
第1 章時滯微分方程的基本理論
另一個典型的例子是船舶的穩定性控制問題.考慮船舶受到風浪影響而搖擺的運動，設θ（t）表示在時刻t時船體與法向垂直位置的傾斜角，則θ（t）滿足運動方程
mθ.（t）+cθ.（t）+kθ（t）=f（t）.
為了消除搖擺，可設法增加阻尼c，在早期的一些船舶中，于船舶兩側的艙中裝有水，由泵把水從一個艙輸入另一個艙中，這樣使得在方程中增加了阻尼項qθ.（t）.
但由于控制系統的伺服機構不能立刻做出響應，而控制項正比于時刻t. r 的速度，r> 0 是滯后量， 于是方程變成
mθ.（t）+cθ.（t）+qθ.（t. r）+kθ（t）=f（t），
這是一個二階的帶滯后變元的微分方程。
在處理帶滯后變元的微分方程時，H.H.Krasovskiй在1959年提出了把微分方程右端函數定義在某一函數空間中，作為軌線段的泛函來考慮的想法，并自此稱這類方程為泛函微分方程，這使得該類方程的研究有了本質性的進展.有關泛函微分方程的一些基本概念的進一步精確化是由Hale給出的[6]，下面予以介紹。
1.1 基本概念
假設r.0是已知實數，R=（.∞，+∞），Rn 是實n維線性向量空間，并有范數|?|.考慮從區間[a，b]到Rn 的一切連續映射所構成的空間C（[a，b]，Rn）， 并在其中定義模為
[a，b]=sup.（θ），.∈ C（[a，b]，Rn），a.θ.b||
那么C（[a，b]，Rn）是一個Banach空間.特別地，記C：=C（[.r， 0]， Rn）， 當φ ∈ C 時， 其模. φ .[.r，0]簡記為. φ .
若σ ∈ R（σ表示初始時刻），A.0且x∈ C（[σ. r，σ+A），Rn）， 則對任意t ∈ [σ，σ+A），定義xt∈ C 為
xt（θ）=x（t+θ），.r . θ . 0.
若D . R× C， f ： D → Rn 是給定的泛函，“? ” 表示右導數， 則稱關系式 x （t）=f（t，xt）（1.1.1）
是集合D 上的滯后型泛函微分方程， 或稱為時滯微分方程. 下面幾種方程都是時滯微分方程：
（1）常微分方程x （t）=F（x（t））。
……