美國數學邀請賽試題解答（簡體書）

朱華偉、付云皓等編譯的《美國數學邀請賽試題解答》收錄了第1屆（1983年）至第28屆（2010年）AIME的全部試題，包括英文試題和中文譯文，共585道題。對每一道試題均給出詳解，有的還給出了多種解法，對部分試題還作了點評。試題的點評不拘形式，或是問題的引申和推廣，或是類題、似題的分析比較，或是多種解法的優化點評，或是試題的來源、背景。目的是使讀者開闊眼界，加深對問題的理解，培養舉一反三的能力。 《美國數學邀請賽試題解答》可供高中數學資優生，準備數學高考的考生，準備參加高中數學競賽的選手，中學數學教師，高等師範院校數學教育專業大學生、研究生、數學教師，數學愛好者及數學研究工作者參考。

朱華偉，博士，研究員。 廣州大學計算機教育軟件所所長，湖北省十大傑出青年，享受國務院政府特殊津貼。 國際中小學生數學能力評估學術委員會執行主任，中國教育數學學會常務副理事長。中國數學會奧林匹克委員會委員，全國華羅庚金杯賽主試委員，國家隊教練，培養多名選手獲國際金牌。 2009年任第50屆國際數學奧林匹克中國國家隊領隊、主教練，取得團體總分第一名，6名選手全部獲得金牌。

本書收錄了第1屆（1983年）至第28屆（2010年）AIME的全部試題，共585道題.對每一道試題均給出詳解，有的還給出了多種解法，對部分試題做了評注.試題的評注不拘形式，或是問題的引申和推廣，或是類題、似題的分析比較，或是多種解法的優化點評，或是試題的來源、背景.目的是使讀者開闊眼界，加深對問題的理解，培養舉一反三的能力。

張景中談奧數
前言
第1章 第一屆美國數學邀請賽（1983）
1．1 AIME試題
1．2 AIME譯文
1．3 AIME解答與點評
第2章 第二屆美國數學邀請賽（1984）
2．1 AIME試題
2．2 AIME譯文
2．3 AIME解答與點評
第3章 第三屆美國數學邀請賽（1985）
3．1 AIME試題
3．2 AIME譯文
3．3 AIME解答與點評
第4章 第四屆美國數學邀請賽（1986）
4．1 AIME試題
4．2 AIME譯文
4．3 AIME解答與點評
第5章 第五屆美國數學邀請賽（1987）
5．1 AIME試題
5．2 AIME譯文
5．3 AIME解答與點評
第6章 第六屆美國數學邀請賽（1988）
6．1 AIME試題
6．2 AIME譯文
6．3 AIME解答與點評
第7章 第七屆美國數學邀請賽（1989）
7．1 AIME試題
7．2 AIME譯文
7．3 AIME解答與點評
第8章 第八屆美國數學邀請賽（1990）
8．1 AIME試題
8．2 AIME譯文
8．3 AIME解答與點評
第9章 第九屆美國數學邀請賽（1991）
9．1 AIME試題
9．2 AIME譯文
9．3 AIME解答與點評
第10章 第十屆美國數學邀請賽（1992）
10．1 AIME試題
10．2 AIME譯文
10．3 AIME解答與點評
第11章 第十一屆美國數學邀請賽（1993）
11．1 AIME試題
11．2 AIME譯文
11．3 AIME解答與點評
第12章 第十二屆美國數學邀請賽（1994）
12．1 AIME試題
12．2 AIME譯文
12．3 AIME解答與點評
第13章 第十三屆美國數學邀請賽（1995）
13．1 AIME試題
13．2 AIME譯文
13．3 AIME解答與點評
第14章 第十四屆美國數學邀請賽（1996）
14．1 AIME試題
14．2 AIME譯文
14．3 AIME解答與點評
第15章 第十五屆美國數學邀請賽（1997）
15．1 AIME試題
15．2 AIME譯文
15．3 AIME解答與點評
第16章 第十六屆美國數學邀請賽（1998）
16．1 AIME試題
16．2 AIME譯文
16．3 AIME解答與點評
第17章 第十七屆美國數學邀請賽（1999）
17．1 AIME試題
17．2 AIME譯文
17．3 AIME解答與點評
第18章 第十八屆美國數學邀請賽（2000）
18．1 AIME1試題
18．2 AIME1譯文
18．3 AIME1解答與點評
18．4 AIME2試題
18．5 AIME2譯文
18．6 AIME2解答與點評
第19章第 十九屆美國數學邀請賽（2001）
19．1 AIME1試題
19．2 AIME1譯文
19．3 AIME1解答與點評
19．4 AIME2試題
19．5 AIME2譯文
19．6 AIME2解答與點評
第20章 第二十屆美國數學邀請賽（2002）
20．1 AIME1試題
20．2 AIME1譯文
20．3 AIME1解答與點評
20．4 AIME2試題
20．5 AIME2譯文
20．6 AIME2解答與點評
第21章 第二十一屆美國數學邀請賽（2003）
21．1 AIME1試題
21．2 AIME1譯文
21．3 AIME1解答與點評
21．4 AIME2試題
21．5 AIME2譯文
21．6 AIME2解答與點評
第22章 第二十二屆美國數學邀請賽（2004）
22．1 AIME1試題
22．2 AIME1譯文
22．3 AIME1解答與點評
22．4 AIME2試題
22．5 AIME2譯文
22．6 AIME2解答與點評
第23章 第二十三屆美國數學邀請賽（2005）
23．1 AIME1試題
23．2 AIME1譯文
23．3 AIME1解答與點評
23．4 AIME2試題
23．5 AIME2譯文
23．6 AIME2解答與點評
第24章 第二十四屆美國數學邀請賽（2006）
24．1 AIME1試題
24．2 AIME1譯文
24．3 AIME1解答與點評
24．4 AIME2試題
24．5 AIME2譯文
24．6 AIME2解答與點評
第25章 第二十五屆美國數學邀請賽（2007）
25．1 AIME1試題
25．2 AIME1譯文
25．3 AIME1解答與點評
25．4 AIME2試題
25．5 AIME2譯文
25．6 AIME2解答與點評
第26章 第二十六屆美國數學邀請賽（2008）
26．1 AIME1試題
26．2 AIME1譯文
26．3 AIME1解答與點評
26．4 AIME2試題
26．5 AIME2譯文
26．6 AIME2解答與點評
第27章 第二十七屆美國數學邀請賽（2009）
27．1 AIME1試題
27．2 AIME1譯文
27．3 AIME1解答與點評
27．4 AIME2試題
27．5 AIME2譯文
27．6 AIME2解答與點評
第28章 第二十八屆美國數學邀請賽（2010）
28．1 AIME1試題
28．2 AIME1譯文
28．3 AIME1解答與點評
28．4 AIME2試題
28．5 AIME2譯文
28．6 AIME2解答與點評

第1章 第一屆美國數學邀請賽（1983） 1.1 AIME試題 1.Let x，y，and z all exceed 1 and let w be a positive number such that logx w＝24， logy w＝40， and logxyz w＝12. Find logz w. 2.Let f（x）＝x -p + x -15 + x -p -15 ，where 0 ＜p ＜15.Determine the minimum value taken by f（x） for x in the interval p?x?15. 3.What is the product of the real roots of the equation x2 +18x +30＝2 x2 +18x +45. 4.Points A and C lie on circle of radius 50，and point B lies inside the circle with ∠ABC＝90°.If AB＝6 and BC＝2，compute the distance from B to the center of the circle. 5.Suppose that the sum of the squares of two complex numbers x and y is 7 and the sum of their cubes is 10.What is the largest real value that x +y can have？ 6.Let an＝6n +8n.Determine the remainder on dividing a83 by 49. 7.Twenty five of King Arthur's knights are seated at their customary round ta- ble.Three of them are chosen-all choices of three being equally likely-and are sent off to slay a troublesome dragon.Let P be the probability that at least two of the three had been sitting next to each other.If P is written as a fraction in lowest terms，what is the sum of the numerator and denominator？ 8.What is the largest 2-digit prime factor of the integer n＝200 100 ?. 9.Find the minimum value of for 0 ＜x ＜π. 10.The numbers 1447，1005 and 1231 have something in common：each is a 4- digit number beginning with 1 that has exactly two identical digits.How many such numbers are there？ 11.A solid S has square base ABCD，two trapezoid faces ABFE and DCFE（with EF∥AB∥CD），and two triangular races AED and BFC.If AB＝AE＝ED＝BF＝ FC＝6 2 and EF＝12 2，what is the volume of S？ 12.Diameter AB of a circle has length a 2-digit integer.Reversing the digits gives of the perpendicular chord CD.The distance from their intersection point H to the center O is a positive rational number.Find AB. 13.For｛1，2，3，.，n｝and each of its nonempty subsets a unique alternating sum is defined as follows：Arrange the numbers in the subset in decreasing order and then，beginning with the largest，alternately add and subtract successive numbers. （For example，the alternating sum for ｛1，2，4，6，9｝is 9 -6 +4 -2 +1＝6 and for ｛5｝it is simply 5.）Find the sum of all such alternating sums for n＝7. 14.Two circles of radii 8 and 6 are drawn with their centers 12 apart.Point P is one of the points of intersection of the circles.Line l passes through P and intersects one circle at Q and the other at R.Given that QP＝PR，find QP2. 15.Let AB and BC be two intersecting chords of circle w，with arc ABD being a minor arc.Suppose that the radius of the circle is 5，that BC＝6，and that segment AD is bisected by segment BC.Suppose further that AD is the only chord starting at A which is bisected by line BC.It follows that the sine of the central angle of minor arc AB is a rational number.If this number is expressed as a fraction m/n in lowest terms，what is the product mn？ 1.2 AIME 譯文 1.設x，y，z 都大于1，w 是一個正數，而且有 logx w＝24，logy w＝40，logxyz w＝ 12.求 logz w. 2.設f（x）＝x -p + x -15 + x -p -15 ，其中 0 ＜p ＜15.若 x?〔p， 15〕，求 f（x）的最小值. 3.求方程 x2 +18x +30＝2 x2 +18x +45的所有實根之積. 4.一個機器零件的形狀是一個有缺口的圓， 這個圓的半徑是 50，AB 的長度是 6，BC 的長度是 2，∠ABC 是 直角 .求點 B 與圓心的距離. 5.設兩個復數 x，y 的平方和是 7，其立方和是 10，x +y 可能 取的實數值中最大的是幾？ 6.設an＝6n +8n ，求 a83 被 49 除的余數. 7.亞瑟王的 25 位騎士坐在他們的圓桌旁，選出 3 位騎士（選擇哪三個，都 是等概率的）去斬妖龍 .設P 是選出的 3 位之中至少有兩位座次相鄰的概率. 如果 P 寫成既約分數，求分子與分母的和. 8.整數 n＝C100 200的兩位素數因子的最大值是多少？ 9.求 f（x）＝9x2 sin2 x +4 xsinx （0 ＜x ＜π）的最小值. 10.1447，1005，1231 這幾個數有許多共同之處：它們都是四位數，最高位是 1，都恰有兩個相同的數字，一共有多少個這樣的數？ 11.圖 1-2 中的多面體的底面是邊長為 s 的正方形，上面的棱平行于底面， 其長為 2s，其余的棱長都是 s，已知 s＝6 2，求這個多面體的體積. 12.一個圓的直徑 AB 的長度是個兩位的整數（十進制）.把兩個數字顛倒 一下，就是與直徑 AB 垂直的弦 CD 的長度，如圖 1-3 所示 .從交點 H 到圓心 O 的距離是一個正有理數，求 AB 的長度. 13.對于｛1，2，3，.，n｝和它的每個非空的子集，我們定義“交替和”如下： 把子集中的數按從大到小的順序排列，然后從最大的數開始交替地加減各數 （例如｛1，2，4，6，9｝的交替和是 9 -6 +4 -2 +1＝6，而｛5｝的交替和就是 5）.對 于 n＝7，求所有這些交替和的總和. 14.圖 1-4 中兩圓的半徑為 8 和 6，兩個圓心的距離是 12，過兩圓交點之一 4 的直線被兩圓截出相等的弦 QP 和 PR，求 QP 長度的平方. 15.一個圓的兩弦相交，其中 B 在AD小弧上，設圓半徑是 5， BC＝6，AD 被 BC 等分 .又設從 A 出發的弦只有 AD 能被 BC 等分，這樣可以知 道 AB 小弧對應的圓心角的正弦是一個有理數 .如果把這個有理數化成既約分 數 mn ，求 mn. 1.3 AIME 解答與點評 1.答案：60. 點評 2 logw z＝logw zxy xy＝logw xyz -logw x -logw y＝112 -214 -410＝610. 所以 logz w＝60. 2.答案：15. 解 因為 0 ＜p?x?15，所以 x -p＝x -p， x -15＝15 -x， x -（p +15）＝p +15 -x， 于是 f（x）＝（x -p） +（15 -x） +（p +15 -x）＝30 -x. 當 x 取它的最大值時， f（x）取最小值，所以答案是 15. 3.答案：20. 解 用代換法化簡 .令 u 是使 u2＝x2 +18x +45 的非負數（這種 u 一定存 在，因為當 x2 +18x +45 為負數時，方程右端無意義）.所以 u2 -15＝2 u2＝2u （因為 u?0）， u2 -2u -15＝0， （u -5）（u +3）＝0. 因為 u?0，我們得到 u＝5.也就是說 x 是原方程解的充分必要條件是 x2 + 18x +45＝52 ，就是 x2 +18x +20＝0，因為 Δ＝182 -4 ×20 ＞0，所以這個方程有 兩個實根，它們的乘積是常數項 20. 注 由于我們仔細考慮了 u 的符號，并用了充分必要條件，避免了使 x 產 生增根. 點評 1 將原方程改寫成 x2 +18x +45 -2 x2 +18x +45 -15＝0， 即 （ x2 +18x +45 +3）（ x2 +18x +45 -5）＝0. 解得 x2 +18x +45＝-3（舍去）， 或 x2 +18x +45＝5. 所以 x2 +18x +45＝25，即 x2 +18x +20＝0. 因為 Δ＝182 -4 ×20 ＞0，所以兩實根之積是 20. 點評 2 將原方程改寫成 x2 +18x +45 -2 x2 +18x +45 +1＝16， 即 （ x2 +18x +45 -1）2＝16. 解得 x2 +18x +45 -1＝±4. 當 x2 +18x +45 -1＝-4 時， x2 +18x +45＝-3（舍去）. 當 x2 +18x +45 -1＝4 時，以下同點評 1（略）. 4.答案：26. 點評 如圖 1-7 所示，建立直角坐標系：不失一般 性，我們把缺口的上角放在第一象限，缺口的兩邊平行 于坐標軸 .令 A（u，v）.根據已知的尺寸，可得 B（u，v - 6），C（u +2，v -6）.我們的任務是求 u2 +（v -6）2.因 為 A 和 C 都在圓 x2 +y2＝50 上，把它們的坐標代入圓 方程，得到以下的方程組： u2 +v2＝50， （u +2）2 +（v -6）2＝50. 從第二個方程減去第一個方程，得到