微積分的歷史步道(二版)

人類從蠻荒矇昧走入文明，道路是漫長的、艱辛的，也是曲折的。數學正是這個旅程中最精彩的心智產品，因此無論是禮、樂、射、御、書、數的中國六藝，還是算 術、幾何、音樂、天文的希臘四藝，在古代教育菁英份子的科目裡，都少不了要有數學。時至今日，文明國家的國民基本教育，更是必然包含數學。
如果從埃及紙草上記載的實用算術問題算起，數學的歷史至少也有三千五百年之久。雖然經歷了這麼漫長的歲月，它卻保持住一種迥異於其他學科的特色，就是每項 數學命題一經證實，就永遠不會被推翻。當然敘述真理的方式有可能修正，理解觀念的角度與深度也有可能變遷。譬如，「什麼是數」這個問題，今人與古人的認識 就大有差距。然而，「質數有無窮多」的命題，一經古希臘人證明，迄今以至未來都不會動搖。
現在大學一年級教的微積分內容，基本上在18世紀就已經完備。然而多數教科書是按照「邏輯的脈絡」來書寫，奠基在19世紀Weierstrass從實數系統出發，而以e-d符號作表述的鋪陳法。根據嚴謹邏輯進程寫出來的教科書，雖然內容精鍊，觀念明晰，但是往往不容易讓初學者掌握想法因何而生，內容為何如此展開，要解決的問題的重要性又在哪裡。也就是說，學習者的認知歷程，常常與知識的邏輯架構發生扞格。
要協助學習者克服上述的障礙，同樣的課程內容，需要放在「文化的脈絡」裡重新檢視。這個脈絡又可分為外在與內在兩個面向：外在是指發展微積分的歷史與社會 背景，從此可觀察微積分核心問題為何以及如何被提出；內在是指數學理論體系本身的辯證發展，從此可看出舊瓶如何不斷裝進新酒，概念的內涵如何持續豐富化。
歷年來，世界各國不知出版了多少微積分教科書，但是永遠好像有一本更理想的仍待書寫。這種現象的產生，也許或多或少反映了「邏輯脈絡」與「文化脈絡」宛如 油與水的關係，極難均勻而穩定地交融。以臺灣微積分教學的實際環境衡量，大學生也迫切需要補充依循「文化脈絡」提煉出的營養品。
蔡聰明教授的《微積分的歷史步道》，正好及時紓解了這方面的渴求。
聰明兄是認真、踏實又謙虛的數學教授，也是我尊敬的好學之士。多年來他為普及數學知識著述不輟，選題獨到講解清楚，並且反映出廣博的文化素養。中央研究院 數學所每年暑期選擇適當專題開設研習班，協助大學生跨越平日制式的教學內容，動手動腦演練電腦技藝、研究問題、或探索學術的演化軌跡。2007年起由我負 責設計課程並延請教席，我馬上想到如果由教學經驗豐富的聰明兄，來引領學生仰視微積分發展的燦爛星空，學生將會多麼有幸地學得辨識銀河北斗。
聰明兄在溽暑之中，連續兩年鼎力支持研習計畫，現在又把講述內容著述成書，使更多的學子得以分享他的心血結晶，令我衷心感激。讀者邁步於此「歷史步道」 時，應該會感受到「有窮」與「無窮」的對峙張力。當數學家最終從「有涯」躋身「無涯」時，也應該會抒發出了悟的讚嘆。
聰明兄的大著受篇幅所限，才演義了微積分歷史的上半段，而以「微積分的根本定理」為最高潮。這個根本定理的式子，雖然只用了不多的符號，但是卻蘊含了自古 希臘迄牛頓與萊布尼茲近兩千年的思想精華。如此人類心智的結晶，自然放射出鑽石般光芒。讓我們拭目以待，聰明兄來日為微積分發展的近代歷程琢磨另一顆晶 鑽。

 

李國偉

這一本書是為了學習微積分的人而寫的微積分發展史，適合初學者的研讀。當然讀過微積分的人，讀本書應該也是不錯的選擇。目前存在的微積分發展史的文獻，幾乎都是為數學史家寫的，不見得適合學生的研讀。
我在臺大具有三十多年的微積分教學經驗，並且也開過「微積分與西方文明」這門通識課，接觸到各學院各學系的學生，深知微積分是許多大一學生或初學者甚感困難與畏懼的科目。從一般微積分教科書無法得到幫助，因為它們通常都是逆著歷史發展的順序來書寫，並且只呈現完成後整理得嚴謹的演繹式微積分，缺乏微積分的探索發現過程。
因此，如何幫忙初學者平順地學習微積分，變成教學上的一個重要課題，這也是撰寫本書首要的考量。解決這個困難之道就是，透過微積分的發展史來呈現微積分的探索發現過程。長久以來，我對微積分史就深為喜愛，每年上微積分課，都先講述約10小時的微積分發展簡史，讓學生知道牛頓與萊布尼茲如何發明微積分，然後才進入教科書的主題。雖然是簡史，但是深受學生的喜愛。
恰好我遇到中央研究院數學研究所的李國偉教授，兩次（2007與2008年的暑假）邀請我參與中研院暑期數學營(Summer School)，帶領大學部的學生探索微積分的發展史。每次為期六個星期。這個經驗對我而言，是寶貴的並且受惠良多。我要特別感謝李教授的鼓勵，甚至心中悄悄地產生要把它寫成一本書的念頭。因此，這本書可說是他催生的，特記此因緣。中央研究院數學所的環境優雅，圖書與雜誌的資料又相當豐富，那是學習與研究的樂園，這真是一個愉快並且美好的經驗！
從時間的尺度來看，微積分的發展源遠流久：從西元前六世紀，古希臘人開始遇到「無窮與連續」，到了十七世紀牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)初創微積分，再經過兩百年的拓展與應用，到十九世紀（1880年代）才奠定邏輯基礎。微積分的成長大約花了2500年才真正大功告成。
從方法論與內容來看：微積分是透過無窮步驟的分析法，產生詭譎而難纏的無窮小量，然後再用綜合法將無窮多的無窮小量作累積；其中的微分法是微積分的核心，它的正算可以求切線，並且逆算可以求面積。詳言之，考慮兩個函數：
y=F(x), u=f(x), xÎ[a, b].
讓獨立變數x變化「無窮小量」dx，從而導致應變數y也變化「無窮小量」dy：
dyºdF(x)ºF(x+dx)-F(x)
以及無窮小的面積f(x)dx。那麼兩個無窮小量的比值與無窮多個無窮小的面積f(x)dx之連續累積，分別就是微分操作與積分操作。自然就有了兩個完美的積分公式。如何有效地求算積分？仔細作觀察與比較，靈光一閃：
如果f(x)dx可以表成dF(x)之形，亦即如果f(x)dx=dF(x)或 =f(x)或DF(x)ºF¢(x)=f(x)。因此，透過微分的逆運算，就解決了千古的積分難題。把這些概念與公式的歷史發展述說清楚，就構成了本書的內容：

無窮小量dx 一念噴出 乾坤震動 探尋兩千年 微積分誕生 大自然的無字天書 運動與變化的謎底 突然清晰揭開 在陽光底下 閃閃發亮

微積分在數學中所扮演的角色至少有三樣：它是基礎數學的總結，也是解讀「自然之書」(Book of Nature)的最佳工具，更是進入現代數學之門。微積分的誕生讓我們深刻體會，大自然是數學發展的不竭泉源，不但提供素材與問題，而且又啟示概念與方法。
本書只寫到牛頓與萊布尼茲創立微積分為止，再寫下去就會變成羅素所說的「大書是大罪惡」(A big book is a big evil.)。本書期望能夠帶領讀者追隨大師的腳步：不只是學到數學的內容，也學到數學的思考與方法。
最後要感謝楊維哲教授平時的討論，幫忙我對於數學的洞察與了悟；李國偉教授為本書寫序並且提出指正，增添本書的內涵；還有李有豐與蔡仁惠兩位教授閱讀本書所提出的許多修正意見。這些都成了本書最珍貴的資產。