改變世界的17個方程式

當代最會說故事的數學家 & 英國皇家學會成員：伊恩‧史都華

運算、觀測、相互的挑戰與傳承；古往今來的科學家們，創造出17條方程式，聯手翻轉了地球的中心，也改變了現代世界的樣貌！

英國亞馬遜科普數學類Top 1！五顆星滿分評鑑！
「一位闡述數學的大師……趣味橫生又具權威性。」--《BBC焦點》（BBC Focus）
「當今英國最偉大、最多產的數學家……」--《衛報》（Guardian）

從牛頓的重力定律到釐定期權定價的布萊克休斯模型，從電子學到全球通訊、雷達、雷射、太空載具及原子彈，數學方程式無所不在，更可說是每日生活的根本。被等號分隔的兩組數字或符號，真的能夠改變世界？是的！不只是這樣：它們揭露了自然的法則以及宇宙的祕密！

英美最負盛名的數學科普作家伊恩‧史都華，揭示了數學方程式如何開啟人類經驗，從古希臘時期開始，敘述橫跨2500年，帶領讀者看見一個時代的創見如何在之後的歲月發揮影響，像畢氏定理激發了愛因斯坦的相對論，十六世紀一位賭徒的蹩腳計算，奠定了量子物理學的基礎。

計算三角形邊長和角度的畢氏定理，促使了全球定位系統與衛星導航系統的誕生；對數讓科學家計算出繁複的行星軌道；虛數促成了數位相機的發明；波動方程式讓建造摩天大樓不再只是夢想；這一切究竟是如何辦到的呢？

史都華從每個方程式出現的歷史時刻開始說起，闡明其背後的數學與哲學思考。作者挑選出影響人類世界的17個數學方程式，含括畢氏定理、對數、微積分、牛頓的重力定律、統計上的常態分布、波動方程式、馬克士威方程、混沌理論等，藉由方程式的出現串連起人類文明的發展史。每一個方程式都為接下來的數學、科學與科技進展鋪好道路。

史都華的敘述易讀、迷人、有趣，且時時能啟發人心。我們經常忽略了數學、物理與科技發展的歷史連結，但此種連結對於了解人類歷史來說，卻又不可或缺。翻開本書，史都華將帶領讀者進入這趟趣味盎然、驚奇處處，又能增廣見聞的方程式發現之旅。

伊恩‧史都華Ian Stewart

英國華威大學數學榮譽教授，美國休士頓大學、數學及數學應用學院（Institute of Mathematics and Its Applications）、聖塔非學院（Santa Fe Institute）訪問學者。文章常見於《新科學人》（New Scientist）、《發現》（Discover）、《科學美國人》（Scientific American）等期刊，並為一位多產作家，擅長以簡潔清楚且風趣的方式介紹數學，為人熟知的著作包括《數學是什麼？（上、下冊）》（左岸，2010，合著）、《數學可以救羅馬？！：20個數學世界裡的奇妙謎題》（臉譜，2009）、《大自然的數學遊戲（改版）》（天下，2010）、《生物世界的數學遊戲（改版）》（天下，2010）、《給青年數學家的信》（聯經，2008）等。史都華是英國皇家學會成員、法拉第獎得主；經常受邀參與廣播及電視訪問。目前居於英國柯芬特里（Coventry）。

譯者簡介 
李政崇

台中人，台灣大學資訊工程學博士，聲樂愛好者。現為應用科學研究員。

第 14 章 量子奇境
——薛丁格方程式

這個方程式告訴我們什麼？
這個方程式定義物質不只是粒子，還具有波的性質，並且形容波傳遞的方式。
這為什麼很重要？
薛丁格方程式是量子力學的基礎，和廣義相對論構成現今物理世界最有影響力的定律。
這個方程式推論出什麼？
從根本改變微觀世界的物理，在其中每個物體都有一個「波函數」來形容可能狀態的機率雲（probability cloud）。在這樣層級世界，本質上就是不確定的、難以捉摸的。企圖把微觀的量子世界和我們所處的巨觀的古典世界連結在一起，會造成爭論不休的哲學問題。不過至少根據實驗結果，量子定律十分完美，現今的電腦晶片和雷射沒有它將無法運作。 
 
在 1900 年，偉大的物理學家開爾文爵士（Lord Kelvin）說，當時的熱和光的理論，被認為是對於自然現象幾乎完備的描述，「卻被兩朵烏雲遮蔽了」。第一個癥結牽涉到一個問題：地球如何穿過有彈性的固體（例如一堆發光的以太）？第二個是馬克士威波茲曼關於能量劃分的學說。開爾文對於重要問題的嗅覺十分明顯。在第十三章裡，我們已經看到第一個問題的影響，也看到解決的方法，就是相對論。現在，我們將會看到第二個問題如何催生出現代物理學最重要的支柱：量子理論。
量子世界是出了名的奇怪，許多物理學家認為，如果你不能欣賞它的怪異，你就無法欣賞它。很多人都有類似的說法，因為量子世界完全不同於類泰然自若的世界，以致於即使是最簡單的概念，都會推翻我們的認知。舉例來說，一個光可以是粒子也是波的世界。在量子世界中，一隻在盒子裡面的貓，可以「同時」是活著的和死的……直到你打開盒子為止，也就是說，這隻不幸的動物的波函數突然地「塌縮」到某一個狀態（活著或死亡）。在量子平行宇宙（quantum multiverse）中，存在一個我們現存宇宙的副本，在某個宇宙中，希特勒輸了第二次世界大戰，而在另外一個宇宙中，他獲得了勝利。我們只存在某個宇宙中，也就是說，如同量子波函數一般的存在，活在第一個宇宙中。其他的宇宙，對我們來說雖然真實但是無法接觸到，是另外一個世界。
量子力學的確很怪異。至於它是否真的那麼怪，則完全是另外一個問題。

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一切都因為電燈泡而起。這樣的說法十分合理，因為電和磁的領域蓬勃發展，電燈泡是最引人注目的應用之一。馬可士威的貢獻，就是漂亮地統合了電和磁這兩個領域。1894 年，一名叫做馬克斯‧普朗克（Max Planck）的德國物理學家，被一家電子公司雇用，主要的任務就是製造最有效率的電燈泡，最省電又最亮。他知道問題的關鍵是物理學的一個基礎議題，源自另外一個德國物理學家古斯塔夫‧克希荷夫（Gustav Kirchhoff）。那是關於叫作黑體（black body）的理論概念，它能吸收所有外來的電磁輻射。最大的問題在於：這樣的物體如何能＊發射＊出輻射？它總不可能儲存所有幅射；總得有些輻射被釋放出來。尤其是，這發射出來的輻射，其強度如何取決於它本身的頻率以及物體的溫度？

從熱力學的觀點來說已經有了答案，我們可以把黑體想像成一個四壁皆有完美反射鏡的盒子，電磁波會在裡面被鏡子不停地反射。不過，當系統處於平衡狀態下，盒子中的能量如何在各種頻率中分布？1876年，波茲曼提供了能量均分定理（equipartition theorem）：能量是等量分配到運動的各個獨立部分。這些部分就類似小提琴弦裡的基礎波：也就是標準模式。
這個答案只有剩下一個問題：它或許是不對的。它蘊含著，所有頻率下的總功率應該是無限的。這個弔詭的結論就是所謂「紫外災難」（ultraviolet catastrophe）：它之所以是紫外線，是因為那是高頻範圍的開端，它之所以是災難，也正因為它是高頻範圍的開端。沒有任何真實的物體可以發射出無限的功率。

雖然普朗克察覺到這個問題，但是對他沒有造成困擾，因為他並不相信能量均分定理。諷刺地是，他的工作不僅解決了這個弔詭，也排除了紫外災難，雖然他在事後才發現。他利用實驗觀察到能量如何取決於頻率，並且提出數學公式去滿足得到的資料。他的公式在 1900 年初期就提出來了，起初並沒有任何物理基礎，就只是一個可行的公式而已。不過就在同年，他嘗試修改他的公式以符合古典熱力學，而且認定黑體震動模式的能量階並不是連續的，這和熱力學假設相符。相反的，這些能量階應該是離散的，由微小的間隔所區分。實際上，對於任何給定的頻率，對應的能量應該是此頻率的整數倍（乘上一個非常小的常數）。我們現在稱此常數為「普朗克常數」，以 h 來代表之。他的數值，就是 6.62606957(29)x10－34焦耳/每秒，括弧裡面的數字可能不精確。這個數值是由普朗克常數和其他可以簡單量測出來的數量的理論關係演繹而來。第一個相關測量，是由羅伯特‧密立根（Robert Millikan）以光電效應做出來的，茲敘述如下。我們把少量能量稱為總量（quanta，quantum 的複數），拉丁文「多少」意思。

普朗克常數或許很小，不過如果在某個頻率下的能量階是離散的，總能量就會是有限的。因此，紫外災難是連續體模組無法反應自然的徵兆。而且它也蘊含著，在很小的規模時，自然必定呈離散狀態。起初，普朗克沒有意識到這件事：他只是把離散能量模型拿來當成得到合理資料的數學技巧而已。事實上，波茲曼早在 1877 年就有了類似的想法，不過並沒有實際演繹出來。直到愛因斯坦發揮他的想像力之後，一切才有了改變。在 1905 年，也就是愛因斯坦提出狹義相對論的那年，他也發現了光電效應，當光打到適當的金屬後，會使它發射出電子。而在那三年前，菲利普‧萊納德（Philipp Lenard）已經發現，當光的頻率越高，電子帶有的能量越強。不過由馬克士威證實的光的波理論則蘊含著，電子的能量應該取決於光的強度，而不是頻率。愛因斯坦了解普朗克的總量可以弭平這些歧異。他認為，光不是波，而是由許多粒子組成的，也就是光子。每個光子帶有的能量，在某個頻率下，應該是這個頻率乘上普朗克常數，就像其中一個普朗克總量。一個光子是光的量子。

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不過愛因斯坦的光電效應理論有個明顯的問題：它假設光是粒子。然而有許多的證據證明光是波。另外一方面，光電效應也和光的波性不相容。因此，到底光是波還是粒子？
是的。
光不是波就是粒子，或者說它有若干面向顯現它是如此。在某些實驗中，光的行為比較像是波，不過在其他實驗裡，卻比較像粒子。當物理學家探討非常小規模的宇宙時，他們發現光不是唯一具有這種奇特二元性的物質（一下子是粒子，一下子是波）。所有物質都如此。物理學家稱為「波粒二元性」（wave-particle duality）。第一位搞清楚這種二元特性的人，是路易維德‧德布羅意（Louis-Victor de Broglie）。1924年，他以不同的方式詮釋普朗克的定律：他以動量來解釋，而非能量，而且他認為粒子的動量和和波的頻率應該是相關的：兩者相乘，就會得到普朗克常數。三年後，他被證明是對的，至少就電子而言。以某方面來說，電子也是粒子，所以可以觀察到這樣的特性；不過在另外一方面，電子的衍射就很像波。1988 年，納原子也被觀察到波的行為。

物質既不是波也不是粒子，但可能是兩者兼具：波粒子（waveicle）。
物質的二元性或多或少可以想像得到。一個粒子是一團波，稱為「波包」（wave packet），見圖54。整個封包的行為像粒子一樣，不過有些實驗可以探討內在的波性結構。我們應該從描述粒子的形象轉而探討它們的行為。這種作法很快就收效，而量子力學的主要方程式因此而生。

這個方程式以埃爾溫‧薛丁格（Erwin Schrödinger）為名。1927 年，基於許多物理學家的成果，維爾納‧海森堡（Werner Heisenberg）為任何量子波函數寫下了微分方程式如下： 
 
在這裡， 代表波的形式，t代表時間（所以 與  連用代表單位時間的改變率）， 代表哈密頓運算子（Hamiltonian operator），而 代表 h/2 ，h 是剛剛提到的普朗克常數。不過 i 是什麼？看起來有點奇怪，它就是 -1 的平方根（可見第五章）。薛丁格方程式可以應用到以複數定義的波，不光是我們熟悉的實數波方程式。
波到底是什麼？古典的波函數（可見第八章）定義空間中的波，而它的解答是空間和時間的數值函數。薛丁格方程式也是如此，不過現在波函數  具有複值，不光是實數而已。它有點像是海波，其高度是 2+3i。接下來我們會看到，i 會出現在量子力學許多最神祕深邃度的特性裡。先前 i 出現在方程式的解答中，以及在求解的技巧中，然而它在這裡是方程式的一部分，也是物理定律的明顯特性。

該現象的其中一個解釋是，量子波是一對相連結的實數波，如同剛剛提到的複數海波是由兩種波所組成，第一種波的高度為 2，第二種為 3，而兩種波呈直角。不過事情沒有這樣簡單，因為這兩種波沒有固定的形狀。時間一久，一系列的波型會循環產生，而且彼此很神祕的相互連結。有點像電和磁組成光波，不過現在電可以「旋轉」成磁，反之亦然。這兩種波其實是一個形狀的一體兩面，彼此在複數平面的單位圓上穩定地旋轉。旋轉形狀中的虛數和實數部分都以很特別的方式改變：它們皆以正弦變化量組合在一起。以數學的角度來看，它會推論出，量子波函數具有一種特別的相（phase）。這些相的物理解釋很類似於「相」在古典波函數中的角色，但不完全相同。

還記得傅立葉如何解決熱方程式和波方程式嗎？某些特別的解答，傅立葉的正弦和餘弦，具有一些特別好的數學性質。而其他解答，不管多複雜，都是這些正常模式的疊加。我們可以用類似的想法來解決薛丁格方程式，不過我們需要的基礎元件，將會比正弦和餘弦還要複雜。它們叫做「特徵函數」（eigenfunctions），和其他的解答都不相同。它們並不是同時牽涉到時間和空間的通用函數，一個特徵函數只由空間來定義，然後再乘上一個只取決於時間的函數。時間和空間的數值是可分的。特徵函數取決於哈密頓運算子（關於物理系統的一個數學表示法）。不同的系統，無論是電位阱裡的電子或一對相撞的光子，它們有不同的哈密頓運算子，也就會有不同的特徵函數。

為了簡單起見，考慮古典波方程式中的進行波，一條震動的小提琴弦，兩端都被固定住。對所有的時間點來說，弦的波形幾乎是一樣的，但是振幅是經過調整的：乘上一個和時間呈正弦變化的因子，如圖35所示。量子波函數的複數相也一樣，只是比較難以用圖的方法解釋。對於任何個別的特徵函數，量子相的影響只是時間座標平移而已。對於多個特徵函數的疊加，你只要把波函數分成好幾個部分，把每個部分分成單純的時間元件乘以單純的空間元件，把時間元件在複數平面上的單位圓上面以適合的速度旋轉，然後把結果加回去。個別的特徵函數就會有複數振幅，而這樣的調整就有特別的頻率。
聽起來或許很複雜，不過如果你沒有把波函數拆成特徵函數的話，會完全無從下手。如果你照著方法做，至少可以找到解決的機會。

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儘管非常錯綜複雜，量子力學還是古典波方程式一個有趣的版本，因為它涉及兩種波而不是一種，即使它們不是那麼糾纏不清。你可以觀察古典波，然後觀察它們的形狀，即使它們是若干傅立葉模組的疊加。不過在量子力學的世界裡，你永遠無法看到波函數的全貌。在某個時刻，你能發現的就是一個簡單的特徵函數。粗略地說，如果你嘗試同時測量兩個部分，則測量的程序會彼此干擾。
如此立刻產生一個困難的哲學問題。如果你不能觀察到整個波函數，那它可以說確實存在嗎？這是一個真實的物理現象？或只是便宜行事的數學虛構？一個無法觀察到的量，在科學上有意義嗎？薛丁格的貓（值得一提的比喻）該出場了。因為解釋量子量測的標準方法，「哥本哈根詮釋」（Copenhagen interpretation），才有這個比喻。（注1）

想像一個量子系統處於疊加的狀態：也就是說，電子的狀態是自旋向上（spin-up）以及自旋向下（spin-down）的組合，兩者都是由特徵函數定義的單純狀態（自旋向上和自旋向下的定義於此並不重要）。當你觀察到這個狀態時，無論如何，你不是得到自旋向上，就是自旋向下落，你不會得到疊加後的狀態。不只如此，當你觀察其中一個狀態，假設是自旋向上好了，這個狀態就會*變成*這個電子的確實狀態。因為某些原因，你的測量會迫使原本疊加的狀態變為單一的特徵函數。望文生義地說，哥本哈根詮釋就是：你的測量過程會使得原本的波函數「塌陷」為一個純粹的特徵函數。

如果你觀察許多電子，有時候你看到自旋向上，有時候看到自旋向下。你可推導出電子在其中一種狀態下的機率。因此波函數本身其實可以用機率雲來解釋。它並沒有顯示電子的真實狀態：它只是顯示當你在測量時的可能情況，你會得到一個特定的結果。不過那使得它變成一個統計的結果，而不是一個確實的*東西*。它沒辦法證明波函數的真實性，正如凱特勒（Quetelet）無法以測量人類身高去證明發展中的胚胎具有某種鐘形曲線。
哥本哈根詮釋很直截了當，它反映了實驗結果，而且不對觀察到的量子系統做太詳細的預設。因此，許多物理學家都很樂意採用這個方法。不過有些學者不理這一套，在早期有許多的理論都還在建構中，也有一些理論尚未被提出來。薛丁格自己就不認同哥本哈根詮釋。

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在1935年，他對於哥本哈根詮釋感到憂心。以實用性來說，他看到它很好用，尤其是電子或光子之類的量子系統。不過他周圍的世界，儘管究及極都是由複雜的量子粒子所構成，似乎還是有點不大一樣。對於洞察力很強的他來說，他嘗試找出一個方法來分辨差異，於是薛丁格開始一個想像實驗，讓量子粒子對於貓產生劇烈而明顯的影響。
想像現在有一個盒子，只要關上以後，內部就不受任何量子反應的影響。盒子裡頭有一個放射性原子、一具輻射偵測器、一個有活塞的瓶子，還有一隻活的貓。我們把盒子關上然後等看看。在某個時間點，放射性原子會開始衰變，然後發射出放射線。偵測器感測到，就會打開活塞，讓瓶子裡的毒氣溢出來，把貓毒死。
在量子力學中，放射性原子的衰變是個隨機事件。沒有任何觀察者可以從盒子外面知道原子是否衰變。如果衰變，那貓就會死亡；如果沒有，那貓就是活著。根據哥本哈根詮釋，除非有人確認原子的狀態，否則整個程序是兩種量子狀態的疊加：衰變和不衰變。同樣的道理，對於偵測器、瓶子和貓的狀態也都是如此。因此貓的狀態也是兩種狀態的疊加：既是死的，也是活著的。

因為這個盒子對於所有的量子反應免疫，要知道原子是否衰退以及貓是否活著的唯一辦法就是把盒子打開。根據哥本哈根詮釋，在我們這樣做的瞬間，就會使得波函數塌陷而且貓的狀態會瞬間切換成某個狀態：死亡或活著。不過，盒子的內部和外面的世界並沒有差別，我們不可能看到一隻既是死的又是活著的貓。因此在我們打開盒子觀察狀態之前，貓不是還活著就是已經死了。
薛丁格利用這個想像的實驗來批判哥本哈根詮釋。微觀的量子系統遵守疊加原理而可以存在於許多混合的狀態裡；但是巨觀的情況就不是如此。藉由微觀（原子）和巨觀（貓）的連結，薛丁格提出他所認為的哥本哈根詮釋的缺陷：它根本無法用來解釋貓的狀態。他應該對於大多數物理學家的反應感到震驚，具體的回應是：「是的，埃爾溫，你當然是對的：直到某人打開盒子之前，貓確實是既是活著又是死亡。」特別是當他逐漸明白其實他無法判斷誰是對的，即使是他自己打開了盒子。他會看到活著或是死掉的貓，也可能會推測貓是在他打開盒子前就如此了，但是又無法確定。所觀察到的結果和哥本哈根詮釋相符合。

如果能這樣做就太棒了！我們可以在盒子裡面裝一台即時攝影機，然後把內部的情況拍下來，這不就解決了嗎？「不，這是行不通的。」物理學家會這樣回答。「因為你只能在把盒子打開之後才能看到攝影機拍到的東西。而在這之前，影片本身就是處於疊加狀態：包含一部活貓電影以及一部死貓電影。」
哥本哈根詮釋讓物理學家自由地進行計算並且區分量子力學預測的現象，他們可以不用面對（如果不是不可能的話）從量子基質（quantum substrate）如何產出古典世界的問題。一個在量子規模上極為複雜的巨觀設備，如何得出量子狀態的量測。既然哥本哈根詮釋的任務僅止於此，他們對哲學問題就不是那樣有興趣。因此許多世代的物理學家都認為，薛丁格創造出來的貓，是要證明量子疊加也可以擴及於巨觀世界：剛好跟薛丁格的用意相反。

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以電子和原子的階層來說，物質的特異性似乎不是那樣讓人驚訝。出自於不熟悉，我們一開始可能會反抗這樣的想法，不過如果一個電子是一小群的波，而不是一小群的物質，我們就比較可以接受。如果這表示電子本身的狀態有點奇怪（不是向上轉也不是向下轉，而是兩者混合），我們也可以接受。不過，如果受限於量測方式讓我們沒辦法捕捉到電子諸如此類的行為－也就是說我們的測量會導致電子變成單一狀態（向上轉或向下轉）－這就是其中的關鍵。如果這樣的說法對於放射性原子來說也適用的話，其狀態會是「衰退」或是「未衰退」，因為這些原子的組成粒子有些狀態如電子一般難以捉摸，我們甚至可以接受，原子的整體，在我們測量之前，或許就是這些狀態的疊加。不過貓就是一隻貓，對我們而言，一隻動物既是活的又是死的實在非常難以想像，只有在我們打開盒子裝著牠的核子的時候的時候，才會很神奇地塌陷成一個狀態。如果量子的現實狀態需要活貓和死貓疊加的話，為什麼貓會如此害羞不讓我們看到這樣的狀態呢？

一直到最近，量子定律的形式為何需要把任何測量到的結果以及任何觀察到的現象，都以特徵函數來表示，才有了非常完善的理由。至於量子系統的狀態必須是波，而且遵守薛丁格的方程式，有更完善的理由。你要怎麼從一個得到另外一個？哥本哈根詮釋指出在某些情況下（不要問什麼時候），量測的過程會把複雜、疊加的波函數，簡化成單一元素的特徵函數。得到這些相關資料以後，身為物理學家的工作，就是進行測量以及計算特徵函數… 等等，然後不要問無聊的笨問題。如果你因為測量成功，然後得到符合實驗的數據，整個過程會出乎意料之外地順利。如果薛丁格方程式能允許波函數的行為像剛剛說的那樣的話，一切就搞定了，但是很可惜，這樣做並不允許。在《隱藏的現實》一書中，布萊恩•葛林（Brian Greene）寫下了這樣的一段話：「即使是溫和的觸動都會揭露令人不快的現實 … 波的即刻塌陷 … 不可能從薛丁格的數學中衍生出來。」反而是，哥本哈根詮釋此定律與現實掛勾的橋樑，一個應付量測的好辦法而不用了解或面對它們到底是什麼。

以上的方法雖然很棒，可是不是薛丁格想要點出來的重點。他用貓來比喻，而不用原子或電子，因為這樣的說法可以充分凸顯他想強調的重點。貓代表我們所處的巨觀世界，在這樣的世界裡面物質的行為不像量子力學所需要的那樣。我們不會看到所謂「疊加的貓」（註釋2）。薛丁格對於為什麼我們熟悉的「制式」宇宙沒辦法類比基礎的量子世界也感到疑惑。如果萬物都是由呈疊加狀態的物質所構成，那為什麼整個宇宙看起來很制式呢？許多物理學家做了許多精美的實驗，來證明電子和原子符合量子和哥本哈根詮釋的特性。不過他們忽略了一個重點：你得用貓來做實驗。理論學家不了解貓要怎麼觀察到牠自己的狀態，或是做實驗的人怎樣秘密地把箱子打開然後記錄內部的狀態。他們認為，根據薛丁格的邏輯，如果貓可以觀察到牠自己的狀態，那盒子裡面就存在一隻因為觀察到自己而自殺的死貓，以及一隻看到自己活著的活貓的疊加，直到合法的觀察者（物理學家）打開箱子為止。這樣的話，所有的狀態都會單一化。同樣的道理，一個朋友變成兩個朋友的疊加：其中一個看到死貓而另外一個看到活貓，直到物理學家打開箱子，讓朋友的狀態塌陷為止。你可以用同樣的方式，推廣到整個＊宇宙＊：宇宙是一個有死貓的宇宙和一個有活貓的宇宙的疊加，而一切都會因為物理學家打開箱子以後塌陷。

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這實在有點尷尬。物理學家不懂也沒關係，就是先做了再說。甚至，他們拒絕承認他們得先弄懂箇中緣故，因為仍舊少了某些東西。例如說，如果一個來自太空的外星物理學家打開了箱子呢？我們會不會猛然發現 1962 年古巴飛彈危機爆發以後，我們早就在核武危戰爭裡灰飛煙滅了，只是在借來的時間裡存活而已？
測量方法並不如哥本哈根詮釋所假設的那麼乾淨俐落的數學運算。當被要求形容這些儀器設備的測定時，哥本哈根詮釋慣用的回答總是：「它們就是有辦法。」波函數塌陷為單一的特徵函數的印象，可以形容測量方法的輸入和輸出，不過並不是用來形容如何從輸入得到輸出。但是當你實際測量時，你不是光揮著一根魔法棒，就能讓波函數違反薛丁格方程式然後塌陷。相反的，你得做一大堆複雜的事情，從量子的觀點來看，要具體形容顯然是不可能的。舉例而言，想要測量一個電子的旋轉，你得讓它和適當的儀器有交互作用，而該儀器必須有相對應的指標，例如「向上」或是「向下」。或是說有數字顯示器，或是把訊號送給電腦…… 設備上都會顯示一個狀態，也只有一個狀態。你不可能在儀器上看到疊加的情形。

我們已經很習慣了，因為這就是傳統世界的情況。不過在它底下應該有個量子世界。如果我們把貓換成偵測電子旋轉的儀器，那麼儀器應該也會有疊加的狀態。如果把儀器當成量子系統的話，就是非常複雜的元件。每台儀器都包含數不清的粒子，約莫 1025 到 1030 個。測量總是得自某個電子和其他巨量的粒子之間的反應，所以，我們必須感謝儀器廠商能夠製造出這樣的設備，從一團超乎預期的混亂中提取有意義的資訊。就像帶一個人跑遍大街小巷買鞋子一樣，只要你夠聰明，直接帶他到鞋店去，就可以解決這個問題。同樣的道理，對於一個聰明的儀器設計者來說，可由電子的旋轉得到有意義的測量結果。不過想仔細探索一套設備如何精確反應出一套量子系統，是目前現實上無法做到的事情。因為要考慮的東西太多了，即使是目前最強大的電腦都做不到。也因為如此，要以薛丁格方程式來分析確實的測量結果是不太可能的。

即便如此，我們還是可以稍微了解我們的世界是怎樣由底層的量子世界產生的。我們可以先從光線投射到鏡子的簡單版本談起。傳統的說法是，根據司乃耳定律（Snell's）定律，反射角等於入射角。理察‧費曼（Richard Feynman）在他的著作《量子電動力學》（QED on quantum electrodynamics）中提到，在量子世界中的情況並不是上面說的那樣。因為光線是一連串的光子，而且每個光子都會到處反射。不過如果你把所以光子可能的行為疊加起來，你就會得到司乃耳定律。絕大部分的光子的反射角和入射角幾乎一樣。費曼甚至還嘗試說明為什麼不用複雜的的數學，因為這些計算的背後是個很一般性的數學觀念：固定相原理（the principle of stationary phase）。如果你把一個光學系統的量子狀態全部疊加在一起，你就會得到一個古典世界應該有的結果，例如說光線會依所花費時間走最短路徑。你還可以加入一些零零總總的古典波光學衍射波紋（diffraction fringes）來修飾光線路徑。
這些例子很明白地指出，在光學理論中，在光學系統中把所有的可能疊加起來，就會得到古典世界。最重要的特性不在於光線的幾何學細節，而在於這些現象造成*唯一*的古典層次的世界。如果以量子的角度來看每個光子，你會看到所有關於疊加和特徵函數的瑣碎細節。不過從人類的眼光來看，所有的事情都互相抵消（或是說，加總在一起）而得到一個清楚的古典世界。

另外一種解釋方式稱為「去相干」（decoherence）。我們已經看到量子波具有相和振幅。這個波的相很有趣，是一個複數，不過仍是一個相。這個相毫無疑問地對疊加非常重要。如果你選兩個疊加的狀態，改變其中一個的相，然後再加回來，你會得到完全不一樣的結果。如果你對很多狀態重複這樣的事情，則最後的結果幾乎可能是任何情況。失去相的相關資料之後，可能讓薛丁格的類貓疊加整個不成立。你不光是沒辦法判斷貓的死活：你甚至分不清楚箱子裡面是不是貓。當量子波失去良好的相連結之後，它們會不相干（decohere）－它們的行為會開始和傳統物理相同，疊加也不具有任何意義了。至於造成去相干的原因，是因為和周圍粒子的交互作用。這大概是儀器可以測量出電子的旋轉以及得到一個特殊、唯一的結果的原因。

這兩種解釋方式都得到同樣的結論：如果你以人類的角度來觀察一個包含超多粒子而且又極為複雜的量子系統的話，古典物理學就是你所能觀察到的現象。特殊的實驗技術及實驗儀器或許可以保留一些量子效應，讓它們融入我們認為理所當然的古典世界，不過廣義的量子系統在巨觀的情況下很快就失去量子特性。

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有個辦法可以拯救那隻可憐的貓。只有存在一個不受到量子「去相干」影響的箱子，才能做出疊加貓的實驗。不過這樣的箱子並不存在。要怎麼樣做出這個實驗呢？
但是還有另外一種方法，就是另一個極端方式。我曾經提過「你應該繼續這樣的過程，直到整個宇宙是個疊加狀態為止」。1957 年，休‧艾弗雷特三世（Hugh Everett Jr.）指出，在某些情況下，你得這樣做。要提供一個精確的量子模型的唯一方法就是考慮它的波方程式。當一個系統是一顆電子、原子或是一隻貓（當然這很有爭議性）的情況下，大家都很樂意這樣做。艾弗雷特把整個系統當成是整個宇宙。

艾弗雷特指出，如果這就是你想要塑造的情況，那你別無選擇。除了整個宇宙以外，沒有其他東西可以真正被孤立，萬物都互相影響。而且他發現，只要你這樣做，貓的問題，以及量子事件和古典事件之間的弔詭，都可以迎刃而解。宇宙的量子波函數並不是純粹的特徵模式，而是所有可能的特徵模式的疊加。雖然我們沒辦法計算這些事情（我們連貓都做不到了，遑論更複雜的宇宙了），但是我們可以推論。其實我們不妨以量子力學的方式表示整個宇宙，也就是說，宇宙是宇宙可能發生的所有事件的組合。
最後的結果就是，貓的波函數不用塌陷成單一的古典觀察。它可以保持不變而不會牴觸薛丁格方程式。相反的，有兩個共存的宇宙。在第一個宇宙中，貓是活的；而在另外一個中，貓是死的。當你打開箱子，會同時出現兩個你以及兩個箱子。第一個箱子裡有死貓的部分宇宙波函數；另外一個則是活貓的部分波函數。取代由量子可能性疊加後產生的古典宇宙，我們現在有了許多的古典世界，每個世界都對應於一種量子可能性。

艾弗雷特的原始版本，他稱為相對狀態公式，在1970年代由布萊斯‧德維特（Bryce DeWitt）給了它一個很搶眼的名字：量子力學的多世界詮釋，而開始受到矚目。它在歷史的角度上相當戲劇化：舉例來說，在某個宇宙中，希特勒贏了第二次世界大戰，而在另外一個宇宙裡面，希特勒輸了。在第二個宇宙裡，我正在寫這本書；而在量子領域平行的某處，我也正在寫類似的書，不過是用德文寫，告訴他的讀者他們處在希特勒贏得第二次世界大戰的宇宙中。以數學的觀點來看，艾弗雷特的詮釋可以視為傳統量子力學的邏輯同義語，而且它以比較有限的詮釋，得出一個有效率的方式來解決物理問題。他的說法因此經得起任何傳統量子力學的實驗的檢驗。因此，這意味著平行宇宙，也就是「另一個世界」，真的*存在*嗎？真的有另外一個我，處在希特勒戰勝的世界中，坐在電腦前面，很開心地敲著鍵盤寫書嗎？或者只是一個權宜之計的數學虛構而已？