古今數學思想‧第一冊（簡體書）

本書論述從古代一直到20世紀頭幾十年中的重大數學創造和發展。目的是介紹中心思想，特別著重於那些在數學歷史的主要時期中逐漸冒出來並成為最突出的，並且對於促進和形成爾後的數學活動有影響的主流工作。本書所極度關心的還有對數學本身的看法、不同時期中這種看法的改變，以及數學家對於他們自己的成就的理解。
必須把本書看作是歷史的一個概述。當人們想到歐拉（Leonhard Euler）全集滿滿的約70卷、柯西（Augustin-Louis Cauchy）的26卷、高斯（Carl Friedrich Gauss）的12卷，人們就容易理解只憑本書一卷的篇幅不能給出一個詳盡的敘述。本書的一些篇章只提出所涉及的領域中已經創造出來的數學的一些樣本，可是我堅信這些樣本最具有代表性。再者，為了把注意力始終集中於主要的思想，我引用定理或結果時，常常略去嚴格準確性所需要的次要條件。本書當然有它的局限性，但我相信它已給出整個歷史的一種概貌。
本書的組織著重在居領導地位的數學課題，而不是數學家。數學的每一分支打上了它的奠基者的烙印，並且杰出的人物在確定數學的進程方面起決定性作用。但是，特意敘述的是他們的思想，傳記完全是次要的。在這一點上，我遵循帕斯卡（Blaise Pascal）的意見：“當我們援引作者時，我們是援引他們的證明，不是援引他們的姓名。”
為使敘述連貫，特別是在1700年以後的時期，對於每一發展要等到它已經成熟，在數學中占重要地位並且產生影響的時候，我才進行論述。例如，我把非歐幾裡得幾何放在19世紀的時期介紹，雖然企圖尋找歐幾裡得平行公理的替代物或證明早在歐幾裡得（Euclid）時代就開始了並且繼續不斷。當然，有許多問題會在不同的時期反復提及。
為了不使資料漫無邊際，我忽略了幾種文化，例如中國的①、日本的和瑪雅的文化，因為他們的工作對於數學思想的主流沒有重大的影響。還有一些數學中的發展，例如概率論和差分演算，它們今天變得重要，但在所考慮的時期中並未起重要作用，從而也只得到很少的注意。這最後的幾十年的大發展使我不得不在本書中只收入那些20世紀的，並且在該時期變成有特殊意義的創造。我沒有在20世紀時期繼續討論像常微分方程或變分法的擴展，因為這將會需要很專門的資料，而它們只對於這些領域的研究工作者有興趣，並且將會大大增加本書的篇幅。此外還考慮到，對於許多較新的發展的重要性，目前還不能作客觀的估價。數學的歷史告訴我們，許多科目曾經激起過很大的熱情，並且得到最好的數學家的注意，但終於湮沒無聞。我們只需要回憶一下凱萊（Arthur Cayley）的名言“射影幾何就是全部幾何”，以及西爾維斯特（James Joseph Sylvester）的斷言“代數不變量的理論已經總結了數學中的全部精華”。確實，歷史給出答案的有趣問題之一便是數學中哪些東西還生存著而未被淘汰？歷史作出它自己的而且更可靠的評價。
通過幾十項重要發展的即使是基礎的敘述，也不能指望讀者知道所有這些發展的內容。因此，我在本書中論述某科目的歷史時，除去一些極初等的領域外，也說明科目的內容，把科目的歷史敘述和內容說明融合起來。對各種數學創造，這些說明也許不能把它們完全講清楚，但應能使讀者對它們的本質得到某些概念。從而在某種程度上，本書也可作為一本從歷史角度來講解的數學入門書。這無疑是使讀者能獲得理解和鑒賞的最好的寫法之一。
我希望本書對於專業的數學家和未來的數學家都有幫助。專業的數學家今天不得不把這麼多的時間和精力傾注到他的專題上去，使得他沒有機會去熟悉他的學科的歷史。而實際上，這歷史背景是重要的。現在的根深扎在過去，而對於尋求理解“現在之所以成為現在這樣子”的人們來說，過去的每一事件都不是無關的。再者，雖然數學大樹已經伸張出成百的分支，它畢竟是一個整體，並且有它自己的重大問題和目標。如果一些分支專題對於數學的心臟無所貢獻，它們就不會開花結果。我們的被分裂的學科就面臨著這種危險；跟這種危險作斗爭的最穩妥的辦法，也許就是要對於數學的過去成就、傳統和目標得到一些知識，使得能把研究工作導入有成果的渠道。如同希爾伯特（David Hilbert）所說的：“數學是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是所有各部分的不可分離的結合。”

第1章 美索不達米亞的數學
1．數學是在哪裡開始出現的
2．美索不達米亞的政治史
3．數的記號
4．算術運算
5．巴比倫的代數
6．巴比倫的幾何
7．巴比倫人對於數學的使用
8．對巴比倫數學的評價

第2章 埃及的數學
1．背景
2．算術
3．代數與幾何
4．埃及人對數學的使用
5．總結

第3章 古典希臘數學的產生
1．背景
2．史料的來源
3．古典時期的幾大學派
4．愛奧尼亞學派
5．畢達哥拉斯派
6．埃利亞學派
7．詭辯學派
8．柏拉圖學派
9．歐多克索斯學派
10．亞裡士多德及其學派

第4章 歐幾裡得和阿波羅尼斯
1．引言
2．歐幾裡得《原本》的背景
3．《原本》裡的定義和公理
4．《原本》的第一篇到第四篇
5．第五篇：比例論
6．第六篇：相似形
7．第七、八、九篇：數論
8．第十篇：不可公度量的分類
9．第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法
10．《原本》的優缺點
11．歐幾裡得的其他數學著作
12．阿波羅尼斯的數學著作

第5章 希臘亞歷山大時期：幾何與三角
1．亞歷山大城的建立
2．亞歷山大希臘數學的特性
3．阿基米德關於面積和體積的工作
4．赫倫關於面積和體積的工作
5．一些特殊曲線
6．三角術的創立
7．亞歷山大後期的幾何工作

第6章 亞歷山大時期：算術和代數的復興
1．希臘算術的記號和運算
2．算術和代數作為一門獨立學科的發展

第7章 希臘人對自然形成理性觀點的過程
1．希臘數學受到的啟發
2．關於自然界的理性觀點的開始
……
第8章 希臘世界的衰替
第9章 印度和阿拉伯的數學
第10章 歐洲中世紀時期
第11章 文藝復興
第12章 文藝復興時期數學的貢獻
第13章 16，17世紀的算術和代數
第14章 射影幾何的肇始
第15章 坐標幾何
第16章 科學的數學化
第17章 微積分的創立