通向實在之路：宇宙法則的完全指南（簡體書）

牛津大學的Rouse Ball數學講席終身榮譽教授。他獲得過許多獎項，包括1988年與斯蒂芬·霍金一道因對宇宙學做出的重大貢獻而獲得的沃爾夫物理獎。他的著作還有《皇帝新腦》（The Emperor’s New Mind）和《通向實在之路》（The Road to Reality）等。

著名的數學物理學家、霍金的長期合作者彭羅斯教授所撰最值得收藏的現代物理學核心觀念的完全指南。
《通向實在之路》是最近二三十年里非常重要、極富雄心大志的科學著作。它為物理宇宙研究提供了詳盡的各種可能的解釋，并給出了其基本數學理論的要點。

前 言
本書將帶領讀者踏上人類探索征途中至為重要也最為壯闊的一程——追尋主宰宇宙的底層原理，力圖使讀者對此獲得一些直觀的認識。這段征程歷時2500余年之久，最終人們獲得了某些實質性進展。但是，整個過程艱辛異常，關于那些原理的絕大部分真正理解總是姍姍來遲。這一內在的困難曾不止一次使得人們迷失方向，我們實在是應引為前車之鑒。然而，盡管是到了20世紀，人們已經獲得了許多嶄新見解，但其中的某些觀點卻是如此炫目以至很多當代科學家跟著大肆鼓吹我們也許已接近對物理學中所有深層原理的最基本理解。不過，在本書關于截至20世紀末的基本理論的描述中，我將向讀者傳達一種更為冷靜的態度。這些觀點不會被“樂觀主義者”全盤接受，但我相信不久的將來整個探索的航向會發生重大轉變，甚至比上個世紀的那些革命來得更為劇烈。
讀者會發現本書充斥著大量的數學公式，只是在必要的地方我才會提醒讀者該處作了重大的數學簡化。對于是否使用數學公式，我曾進行過認真思考，結論是：不使用一定量的數學符號和真正的數學概念，就不可能向讀者傳達我真正要表達的意思。的確，關于物理世界深層原理的理解依賴于對其數學形式的充分領悟。某些讀者或許會因此感到灰心喪氣，因為他們帶著某種成見，以為自己哪怕在最基礎的層次上也完全不具備這種能力。他們或許會爭辯說，如果連分數運算都不會，還談何理解當今物理學研究的前沿動向呢？這當然的確不太容易。
然而我還是比較樂觀地相信這種傳達是可能的。或許我就是一個無可救藥的樂天派。首先，我懷疑那些不能或僅僅宣稱自己不能做分數運算的讀者，他們是否多少有點自欺的嫌疑？我相信其中相當部分實際上有這方面的潛力，只是他們自己并無覺察。當然也有少數人，即使在極其簡單的一串數學符號面前，占據他們腦海的恐怕也只有家長或教師們那一張張嚴厲的面孔。這種壓力迫使他們為完成任務而學習，最終獲得的無非是不求甚解的鸚鵡學舌式的本領，遑論領會數學的魔力或美感。因此，對這些人來說，要理解本書的確有一定困難，但我仍堅信并非無路可尋。即使對那些真的無法進行分數運算的人，只要他們對這個精彩世界（我毫不懷疑其存在性）有一星半點的感受，就會發現實際上有相當多的道路向他們敞開著。
我母親的一位密友，在她成功結束其芭蕾舞演員的生涯后曾親口告訴我，當她還是一個小女孩的時候，完全不能理解分數。那時我還年輕，尚未完全拓展作為數學家的職業生涯，但似乎已經能從這個領域的研究中獲得樂趣。“我的麻煩在于消去運算”，她說，“我就從沒找著做消去運算的訣竅”。而事實上，她是一位優雅聰慧的女士；而且，我認為理解那些復雜舞蹈所需的腦力活動一點也不比理解數學問題所需的智力來得低級。于是，在過高地估計了自己的口才之后，我像別的很多人曾經所做的那樣，力圖向這位女士展示“消去運算”的簡單性并講解其邏輯含義。
這番努力看來也和其他人一樣是徒勞的。她的父親碰巧是一位優秀的科學家，而且是皇家學會的成員，因此她應有充分的條件來理解科學。我猜測，或許正是家長那“冰冷的面孔” 抑制了這種理解力的發展。但在一番深思之后，我不禁懷疑，她以及與她有類似困難的人在這種情感因素之外是否還存在著另一重理智上的障礙，而這重障礙恰是我自己在對數學的輕松理解中未曾察覺到的？事實的確如此，在數學和數學物理領域中，人們實際上處處遭遇這同一道深刻的難題，而我們與它的第一次接觸就是在消去分子分母中的公因子這一看似自然的運算中。
那些因為反復練習而已經習慣消去運算的人，很可能對這一看似簡單的手續中潛伏著的實際困難已不再敏感。或許，對消去運算報有神秘感的大部分人實際上覺察到了那個深刻的難題，而我們這些傲慢輕率的人卻對之視而不見。那么，究竟難點何在？這個問題與數學家在證明數學對象的存在性以及它們與物理真實性的可能關系時所使用的方法有關。
當我11歲在學校念書的時候，老師曾向全班同學問及分數（如 ）的確切含義，我當時幾乎被這個問題嚇住了。同學們給出了各種答案，如將一塊點心分成若干份以及諸如此類的建議，但是這些答案都被老師否決了，原因（不外乎）是這些答案只是分數這一精確的數學概念在各種不精確的物理場合下應用的結果。它們并沒有說清分數這個數學概念的真實含義。另有一些自告奮勇的回答，比如 是“3 在上面，8 在下面，中間由一道橫線隔開”。令我驚訝的是，老師對這類回答同樣給予嚴肅對待。我記不清問題最終是如何解決的，但是憑著多年以后大學數學專業學習經歷的后見之明，我猜想那位教師當時可能是鼓足了勇氣，力圖用等價類這一普適的數學概念來告訴我們什么是分數的確切定義。
“等價類”意指何物？它如何能用于分數這個例子并給出分數的真正含義？我們的討論將由上面給出的回答之一“3 在上面，8 在下面”開始。這個答案基本上指明了分數是一對有序的整數，在本例中即數字 3 和 8。但不能認為“分數”本身就是這種有序數對，例如 與 是相同的數，但（6，16）與（3，8）顯然并不相同。當然這只是個消去問題。 可寫成 ，將后者分子和分母中的公因子2消去即可得到 。是什么法則確保了這個程序的合理性，因而在某種意義上能將（6，16）與（3，8）“等同”起來呢？數學家的回答——聽起來就像在逃避——是將消去法則直接放進了分數的定義中：整數對 (a × n，b× n) 被認為與整數對(a，b)表示的是相同的分數，此處 n 是任意非零的整數（當然 b 不能為零）。
但是，即便如此，我們還是不知道分數究竟為何物。上面的定義僅僅與分數的表示相關，那么，分數到底是什么？依據數學家的“等價類”概念，分數 代表著一個無限的數對系列
(3, 8)，(－3, －8)，(6, 16)，(－6, －16)，(9, 24)，(－9, －24)，(12, 32)，......，
其中每個數對都能由任何別的數對通過反復運用消去法則而得到*。我們還需要其他一些定義來告訴我們如何對這些整數對進行加、減、乘等運算（這里普通的代數運算規則是成立的），以及如何把整數本身當作一類特殊的分數。
這個定義涵蓋了分數定義所需的全部數學知識（如 ?，將其與自身相加便得到 1，等等），而且如我們所見，消去運算已直接作為分數定義的一部分了。但這些似乎過于形式化了，人們有理由懷疑它是否真的抓住了我們對分數的直觀理解。雖然像如此普適的“等價類”概念（上述例子不過是其一個特例）在建立數學的相容性和存在性方面是一種強有力的純數學工具，但它看來太過頭重腳輕了。它幾乎無法傳遞出我們關于 的直觀理解！難怪我母親的朋友對此深感困惑。
有鑒于此，在對數學概念進行描述時，只要可能，我將盡量避免賣弄學識的嫌疑。我將放棄用“數對的無窮序列”來定義分數這類做法，即使它在數學嚴格性和精確性方面確有很高價值。我更關注能否是向讀者傳達大量重要數學觀念所固有的美感和魔力。如， 將被簡單地視為這樣一種數學對象，即將其自身連續相加 8 次可得到整數 3。這一操作的魔力在于，即使我們在真實世界中無法直接體驗到分數的確切定義——將點心分塊只是一個近似（這不同于自然數1，2，3，它們將我們直接體驗到的可數物理實體精確地定量化了），分數概念仍然是有用的。要理解分數概念的一致性，方法之一即是如上所述，用無限整數對的集合這一“定義”。不過，這并非表示 真是一個集合，更妥當的想法是將它當作具有某種（柏拉圖式）存在性的對象，而那個無限集合僅僅是我們關于這類對象一致性的一種表述。相似地，我們相信 可簡單理解為某種真實的存在物，而“數對的無限集合”僅僅是炫耀學問的一種手段——一旦領悟了概念的確切含義，這種手段就可以丟棄了。事實上，大量的數學知識都是靠這種方式得以理解的。
對數學家（就我所知，至少是其中的絕大多數）而言，數學絕不僅是人類文化的創造物，她有其自身的客觀存在性和生命軌跡，而且其中大部分表現出與物理世界驚人的一致性。不借助數學的語言，人們就不可能對物理世界的基本原理有任何深入的理解。具體到“等價類”概念，它不僅與許多重要（且易使人混淆的）數學思想有關，而且也與許多重要（且易使人混淆的）物理思想有關，例如愛因斯坦的廣義相對論以及現代粒子物理理論中描述自然界基本相互作用力的規范理論。在現代物理學中，人們不可避免地要直接面對大量微妙而繁雜的數學，這就是為什么我不惜花費整整前16章來介紹這些數學概念的原因。
關于如何掌握本書所述的內容，我想提請讀者注意，本書可以在4個不同層次上進行閱讀。你或許屬于那種一遇到公式就讀不下去的底層讀者（有些讀者可能在理解和分數有關的術語時會有困難），對此我的建議是越過公式只讀文字。我相信你仍然能從本書中學到不少東西。這種方式就像我小時候不時瀏覽散放在房間里的棋類雜志那樣。國際象棋曾是我父母和兄弟們生活中的重要內容，但我除了津津有味地欣賞他們在下棋過程中表現出的那種不尋常的個性之外，對棋本身我幾乎毫無興趣。我能從他們頻頻走出的某些妙招中學到一些東西，盡管我不見得能理解這些招數，而且我也并未打算深究其中的奧妙。不過，對我而言，這仍然是一項能吸引我的愉快且頗具啟發的活動。類似的，對于幾乎沒有任何數學背景的讀者，如果他們因為勇氣或好奇而愿意加入到探索物質世界深層次的數學及物理原理的旅行中來，我希望本書展示的數學能帶給他們某些感興趣的東西。不必擔心跳過某些方程式（我自己就常這樣做），只要愿意，你可以跳過部分甚至整個章節，因為它們對你眼下的理解或許的確不太有用。本書提供的素材在難度和技巧上均有很大跨度，而書中其它地方可能會更對你的口味。你大可以蜻蜓點水式地瀏覽本書。我相信書中大量的交叉索引足以闡明某些你不太熟悉的概念，你只需按索引的提示回到以前未曾讀過的小節就能弄清所需的概念和符號。
如果你是高一層次的讀者，可能已經準備好要細細研讀書中的每一個數學公式，但你或許并不愿意（或沒有時間）驗證我給出的種種命題。我在全書的數學部分中安插了一些練習題，其答案就肯定了這些命題的正確性。習題按難度分為3個層次：
★ 表示非常簡單，
★★ 表示需要稍加思索，
★★★ 表示不太容易。
當然，你完全可以先跳過這些習題，這不會導致喪失閱讀的連貫性。
如果你想要熟練掌握書中的各種（重要）數學概念，但對它們卻并不完全熟悉，我希望這些練習能有效幫助你積累各種技巧。數學就是這樣，一星半點的獨立思考要比僅僅閱讀一遍能夠獲得深刻得多的理解。（如果需要參考答案，請登陸網頁www.roadsolutions.ox.ac.uk。）
當然，沒準你已經是這個領域的專家，對理解書中闡述的數學并無任何困難（絕大部分內容都是你熟悉的），你并不想花時間在那些習題上。不過，你會發現，對很多話題我都根據自己的體會給出了一些與眾不同（甚至非常不同）的見解。你或許有興趣知道我對很多現代物理理論（如超對稱、暴脹宇宙學、大爆炸的本質、黑洞、弦理論或 M 理論、圈量子引力理論、扭量理論以及量子理論的基礎等等）所持的態度。毋庸置疑，在很多話題上我們的意見會相左，但爭論本身從來就是科學發展的重要部分，因此我并不后悔將這些可能有悖于現代理論物理主流的觀點公諸于眾。
讀者可能會認為本書實際上是在探討數學、物理之間的關系以及兩者的互動發展如何強烈左右著人們尋找更好的宇宙理論的各種動機。從目前的進展看來，這些動機中一個共同的基本要素源于人們對數學的美感、深度和精密性的判斷。顯然，這種數學影響力可能至關重要，20世紀物理學中最成功的幾項進展都與此相關：狄拉克的電子方程，量子力學的一般框架，愛因斯坦的廣義相對論。但是，即使在所有這些例子中，物理學的考察——最終是觀測證據——才是接受這些理論的最重要判據。今天，對那些實質性地推進了人們對宇宙規律理解的諸多觀念，充分的物理學判據（如實驗數據，甚至實驗的可行性）尚付闕如。因此，我們不得不問，僅僅數學上的可行性是否足以保障這些想法的正確性？這個問題極其微妙，我會在本書中不斷挑起類似話題。我相信它們在別的地方從未得到過充分討論。
雖然我會不時給出一些可能招致爭議的觀點，但每遇此情形，我都會耐心地向讀者指明這一點。因此，本書確實可用作關于現代物理學核心理念（及其困惑）的一本真正指南。當然，你也可以權當這個主題已經得到了很好理解，因此在人類步入公元第 3 個千年之際，本書也可作為對現代物理學的忠實介紹而用于課堂教學。

前言
符號說明
引子
第一章 科學的根源
　1.1　探尋世界的成因
　1.2　數字真理
　1.3　柏拉圖的數學世界“真實”嗎？
　1.4　三個世界與三重奧秘
　1.5　善、真、美
第二章 古代定理和現代問題
　2.1　畢達哥拉斯定理
　2.2　歐幾里得公設
　2.3　畢達哥拉斯定理的相似面積證明
　2.4　雙曲幾何：共形圖像
　2.5　雙曲幾何的其他表示
　2.6　雙曲幾何的歷史淵源
　2.7　與物理空間的關系
第三章 物理世界里數的種類
　3.1　畢達哥拉斯災難？
　3.2　實數系
　3.3　物理世界里的實數
　3.4　自然數需要物理世界嗎？
　3.5　物理世界里的離散數
第四章 奇幻的復數
　4.1　魔數“i”
　4.2　用復數解方程
　4.3　冪級數的收斂
　4.4　韋塞爾復平面
　4.5　如何構造曼德布羅特集
第五章 對數、冪和根的幾何學
　5.1　復代數幾何
　5.2　復對數概念
　5.3　多值性，自然對數
　5.4　復數冪
　5.5　與現代粒子物理學的某些關聯
第六章 實數微積分
　6.1　如何構造實函數？
　6.2　函數的斜率
　6.3　高階導數；C光滑函數
　6.4　“歐拉的”函數概念
　6.5　微分法則
　6.6　積分
第七章 復數微積分
　7.1　復光滑，全純函數
　7.2　周線積分
　7.3　復光滑冪級數
　7.4　解析延拓
第八章 黎曼曲面和復映射
　8.1　黎曼曲面概念
　8.2　共形映射
　8.3　黎曼球面
　8.4　黎曼映射定理
第九章 傅里葉分解和超函數
　9.1　傅里葉級數
　9.2　圓上的函數
　9.3　黎曼球面上的頻率部分
　9.4　傅里葉變換
　9.5　傅里葉變換的頻率剖分
　9.6　哪種函數是適當的？
　9.7　超函數
第十章 曲面
　10.1　復維和實維
　10.2　光滑，偏導數
　10.3　矢量場與1形式
　10.4　分量，標題積
　10.5　柯西-黎曼方程
第十一章 超復數
　11.1　四元數代數
　11.2　四元數的物理角色
　11.3　四元數幾何
　11.4　轉動如何疊加
　11.5　克利福德工數
　11.6　格拉斯曼代數
第十二章 n維流形
　12.1　為什么要研究高維流形？
　12.2　流形與坐標拼塊
　12.3　標題、矢量和余矢量
　12.4　格拉斯曼積
　12.5　形式的積分
　12.6　外導數
　12.7　體積元，求和規則
　12.8　張量：抽象指標記法和圖示記法
　12.9　復流形
第十三章 對稱群
　13.1　變換群
　13.2　子群和單群
　13.3　線性變換和矩陣
　13.4　行列式和跡
　13.5　本征值與本征矢量
　13.6　表示理論與李代數
　13.7　張量表示空間：可約性
　13.8　正交群
　13.9　酉群
　13.10　辛群
第十四章 流形上的微積分
　14.1　流形上的微分
　14.2　平行移動　
　14.3　協變導數
　14.4　曲率和撓率
　14.5　測地線、平行四邊形和曲率
　14.6　李導數
　14.7　度規能為你做什么
　14.8　辛流形　
15 纖維叢與規范聯絡
15.1 纖維叢的物理背景
15.2 叢的數學概念
15.3 叢的截面
15.4 克利福德叢
15.5 復矢量叢、（余）切叢
15.6 射影空間
15.7 叢聯絡的非平凡性
15.8 叢曲率
16 無限的階梯
16.1 有限域
16.2 物理上需要的是有限還是無限幾何？
16.3 無限的不同大小
16.4 康托爾對角線法
16.5 數學基礎方面的難題
16.6 圖靈機與哥德爾定理
16.7 物理學中無限的大小
17 時空
17.1 亞里士多德物理學里的時空
17.2 伽利略相對性原理下的時空
17.3 時空的牛頓動力學
17.4 等效原理
17.5 嘉當的“牛頓時空”
17.6 確定不變的有限光速
17.7 光錐
17.8 放棄絕對時間
17.9 愛因斯坦廣義相對論的時空
18 閔可夫斯基幾何
18.1 歐幾里得型與閔可夫斯基型四維空間
18.2 閔可夫斯基空間的對稱群
18.3 洛倫茲正交性；“時鐘悖論”
18.4 閔可夫斯基空間的雙曲幾何
18.5 作為黎曼球面的天球
18.6 牛頓能量和（角）動量
18.7 相對論性能量和（角）動量
19 麥克斯韋和愛因斯坦經典場
19.1 背離牛頓動力學的演化
19.2 麥克斯韋電磁理論
19.3 麥克斯韋理論中的守恒律與通量定律
19.4 作為規范曲率的麥克斯韋場
19.5 能量動量張量
19.6 愛因斯坦場方程
19.7 進一步的問題：宇宙常數；外爾張量
19.8 引力場能量
20 拉格朗日量與哈密頓量
20.1 神奇的拉格朗日形式體系
20.2 更為對稱的哈密頓圖像
20.3 小振動
20.4 辛幾何的哈密頓動力學
20.5 場的拉格朗日處理
20.6 如何從拉格朗日量導出現代理論
21 量子粒子
21.1 非對易變量
21.2 量子哈密頓量
21.3 薛定諤方程
21.4 量子理論的實驗背景
21.5 理解波粒二象性
21.6 什么是量子“實在”？
21.7 波函數的整體性質
21.8 奇怪的“量子跳變”
21.9 波函數的概率分布
21.10 位置態
21.11 動量空間描述
22 量子代數、幾何和自旋
22.1 量子步驟U和R
22.2 U的線性性以及它給R帶來的問題
22.3 幺正結構、希爾伯特空間和狄拉克算符
22.4 幺正演化：薛定諤繪景與海森伯繪景
22.5 量子“可觀察量”
22.6 YES / NO測量；投影算符
22.7 類光測量；螺旋性
22.8 自旋與旋量
22.9 二態系統的黎曼球面
22.10 高自旋：馬約拉納繪景
22.11 球諧函數
22.12 相對論性量子角動量
22.13 一般的孤立量子客體
23 糾纏的量子世界
23.1 多粒子系統的量子力學
23.2 巨大的多粒子系統態空間
23.3 量子糾纏：貝爾不等式
23.4 玻姆型EPR實驗
23.5 哈迪的EPR事例：幾乎與概率無關
23.6 量子糾纏的兩個謎團
23.7 玻色子與費米子
23.8玻色子與費米子的量子態
23.9 量子隱形傳態
23.10 量子糾纏
24 狄拉克電子與反粒子
24.1 量子理論和相對論之間的張力
24.2 為什么反粒子意味著量子場？
24.3 量子力學里的能量正定性
24.4 相對論能量公式的困難
24.5 ?/?t的非不變性
24.6 波算符的克利福德－狄拉克平方根
24.7 狄拉克方程
24.8 正電子的狄拉克途徑

25 粒子物理學的標準模型
25.1 現代粒子物理學的起源
25.2 電子的zigzag圖像
25.3電弱相互作用；反射不對稱性
25.4 正反共軛、宇稱和時間反演
25.5 電弱對稱群
25.6 強相互作用粒子
25.7 “色夸克”
25.8 超越標準模型？
26 量子場論
26.1 QFT在現代物理中的基礎地位
26.2 產生算符與湮沒算符
26.3 無窮維代數
26.4 QFT中的反粒子
26.5 備擇真空
26.6 相互作用：拉格朗日量與路徑積分
26.7 發散的路徑積分：費恩曼響應
26.8 構建費恩曼圖；S矩陣
26.9 重正化
26.10 拉格朗日量的費恩曼圖
26.11 費恩曼圖與真空選擇
27 大爆炸及其熱力學傳奇
27.1 動力學演化的時間對稱性
27.2 亞微觀成分
27.3 熵
27.4 熵概念的魯棒性
27.5 第二定律的導出
27.6 整個宇宙可看作一個“孤立系統”嗎？
27.7 大爆炸的角色
27.8 黑洞
27.9 事件視界與時空奇點
27.10 黑洞熵
27.11 宇宙學
27.12 共形圖
27.13 異乎尋常的特殊大爆炸
28 早期宇宙的推測性理論
28.1 早期宇宙的自發對稱破缺
28.2 宇宙的拓撲缺陷
28.3早期宇宙的對稱破缺問題
28.4 暴脹宇宙學
28.5 暴脹的動機有效嗎？
28.6 人擇原理
28.7 大爆炸的特殊性質：人擇是關鍵？
28.8 外爾曲率假說
28.9 哈特爾－霍金的“無界”假說
28.10 宇宙學參數：觀察的地位？
29 測量疑難
29.1量子理論的傳統本體論
29.2量子理論的非傳統本體論
29.3密度矩陣
29.4自旋1/2的密度矩陣：布洛赫球
29.5 EPR狀態的密度矩陣
29.6 環境退相關的FAPP哲學
29.7 “哥本哈根”本體論的薛定諤貓
29.8 其他傳統本體論能夠解決“貓”佯謬嗎？
29.9 哪一種非傳統本體論有助于解決問題？
30 量子態收縮中的引力角色
30.1 當今的量子理論在此適用嗎？
30.2 來自宇宙學時間不對稱的線索
30.3 量子態收縮的時間不對稱性
30.4 霍金的黑洞溫度
30.5 源自復雜周期性的黑洞溫度
30.6 基靈矢量，能量流——時間旅行！
30.7 來自負能量途徑的能量流
30.8 霍金爆炸
30.9 更激進的觀點
30.10 薛定諤團塊
30.11 與愛因斯坦原理的基本沖突
30.12 優先的薛定諤－牛頓態？
30.13 FELLX及其相關理論
30.14 早期宇宙漲落的起源
31 超對稱、超維和弦
31.1 令人費解的參數
31.2 超對稱
31.3 超對稱代數與幾何
31.4 高維時空
31.5 原初的強子弦論
31.6 極品弦論
31.7 額外時空維的弦動機
31.8 作為量子引力的弦理論？
31.9 弦動力學
31.10 為什么我們看不見額外的空間維？
31.11 我們應當接受關于量子穩定性論證嗎？
31.12 額外維的經典不穩定性
31.13 弦QFT是有限的嗎？
31.14 神奇的卡拉比－丘空間，M－理論
31.15 弦與黑洞熵
31.16 “全息原理”
31.17 D膜觀點
31.18 弦論的物理學地位？
32 更為狹窄的愛因斯坦途徑；圈變量
32.1 正則量子引力
32.2 阿什臺卡變量的手征輸入
32.3 阿什臺卡變量的形式
32.4 圈變量
32.5 結與鏈的數學
32.6 自旋網絡
32.7 圈量子引力的地位
33 更徹底的觀點；扭量理論
33.1 幾何上具有離散元素的理論
33.2 作為光線的扭量
33.3 共形群；緊化閔可夫斯基空間
33.4 作為高維旋量的扭量
33.5 基本扭量幾何及其坐標
33.6 作為無質量自旋粒子的扭量的幾何
33.7 扭量量子論
33.8 無質量場的扭量描述
33.9 扭量層上同調
33.10 扭量與正/負頻率剖分
33.11 非線性引力子
33.12 扭量與廣義相對論
33.13 面向粒子物理的扭量理論
33.14 扭量理論的未來
34 實在之路通向何處？
34.1 20世紀物理學的偉大理論——與超越？
34.2 數學推動的基礎物理學
34.3 時髦物理理論的作用
34.4 錯誤理論能被實驗駁倒嗎？
34.5 下一次物理學革命會來自何處？
34.6 實在是什么？
34.7 心智在物理理論中的作用
34.8 通向實在的漫長的數學之路
34.9 美與奇跡
34.10 艱深的問題回答了，更深的問題又形成了

引 子
Am-tep，皇家首席工藝師，一位技巧非凡的藝術家。這天晚上，在完成了一項極具創造力的工作后，他疲倦地躺在工作間的長凳上睡著了。或許因為潛伏在四周的某種難以言傳的緊張感，這一夜他睡得并不安寧，連他自己也不能確定是否真的入睡了。恍惚之間，白晝似乎突然降臨了。但屋外敲更的聲音卻分明提醒著他現在仍是夜晚。
他猛然站了起來，驚訝地發現晨曦竟然出現在北方的天邊。的確，透過寬闊的窗戶向北方洋面上遠遠望去，那里正閃耀著令人惶惶不安的赤紅的光芒。Am-tep 連忙走到窗前舉目凝望，頓時被眼前的景象驚呆了。真難以置信，太陽從未曾從北方升起過呀！短暫的心慌意亂之后，他終于意識到，出現在北方天空中的并不是熟悉的太陽，而是一條熾熱的赤紅光柱從海平面升起直插云霄。
就在他久久佇立之時，光柱的頂端漸漸結成了一塊濃黑的云團，形如一個巨大的傘蓋，而下方的傘把則噴發出熊熊的光焰，景象極為詭異。傘蓋不停向外伸展并逐漸變黑，仿佛一個剛從地底鉆出來的魔鬼。夜空中原本星光朗朗，但現在眾星都被這個來自地獄仍在不斷生長的怪物一一吞噬了。
雖然內心極度恐懼，Am-tep 仍被眼前景象的完美對稱和令人敬畏的美感驚呆了。之后，這個恐怖的云團開始被風吹得向東偏移了幾分。這可能使 Am-tep 稍覺欣慰，因為這個可怕的魔咒看來暫時被打破了。然而，恐懼再次襲來，他感到腳下的大地起了一陣從未體驗過的晃動，而且伴隨著一陣極不熟悉的不祥的轟隆聲。他不明白到底是什么原因導致了這樣一場震怒。在此之前，他還未曾目睹過如此劇烈的天神之怒。
他馬上想到了自己剛剛完成的那個用于祭祀的杯子。當時他就對杯子的設計方案表示過疑慮，而此刻他不禁為之深深自責。難道是因為牛神形象還不夠嚇人，為此觸怒了牛神？不過，他很快就意識到了這個想法的荒誕不經。如此微不足道的事情尚不足以引發他所目睹的這場雷霆之怒，況且這也并非針對他個人而來。他感到，大神殿肯定會有麻煩。祭司（兼國王）應該馬上向這位魔鬼般的天神禱告，應該馬上奉上祭品。傳統的水果甚至動物的后代定不足以平息這樣強烈的憤怒。祭奉之物必須是活人。
思緒未定之間，他突然驚呼一聲，接著就被一股伴隨著強風的氣流沖到了屋內。巨大的聲響讓他暫時喪失了聽覺。架上那些裝飾精美的小罐被風刮到墻上，撞得粉碎。他遠遠地躺在一個角落里——那里正是沖擊波將他擊倒的地方，意識開始蘇醒。他看見整個房間一片狼藉，接著便驚恐地發現那只他最心愛的陶罐已經四分五裂，上面那個精心設計的圖案也已化為烏有。
Am-tep 搖晃著從地上站起來，一步步挪到窗前。這一次，他戰戰兢兢地準備重新審視海面上的駭人場景。借著遠處那個大熔爐的強光，他一眼看見一輪巨浪正向他所在的海岸襲來。它像是一個巨大的槽，前端聳立著陡峭的水墻，正快速地向岸邊推進。Am-tep再次被震懾住了，他呆在原地，目睹這次波動排山倒海似的洶涌而來。最終，波浪抵達了海岸，海面隨即飛速后撤，暴露出大片海灘及漁船。緊接著，峭壁似的巨浪挾著摧枯拉朽般的力量撞入這片新生的海灘，漁船和附近的房舍無一幸免，轉眼化為泡影。幸運的是，盡管水墻已經升得非常高，他自己的房子卻能安然無恙，因為它正好坐落在離海岸有相當一段距離的高地上。
神殿也同樣幸免于難。但是，Am-tep 仍為可能到來的滅頂之災深深恐懼。他的判斷是對的，盡管連他自己都不清楚這個判斷會多么正確。他知道，用奴隸作為祭品已經不能使那個可怕的天神平息下來。需要一些別的東西。他的思緒不由轉到了他的兒子、女兒甚至出生不久的小孫子身上。看來連他們也不能幸免。
情況的確如他所料。人們很快就將一個少女和另一個出身良好的年輕人帶到了山梁上的那個廟宇進行祭祀儀式。然而，儀式尚未結束，災難便不期而至。大地開始劇烈地搖晃，廟頂坍塌了，所有祭司和祭品在剎那間都成了罹難者。他們躺在那里，作為這場在祭祀儀式中途發生的災難的見證，將被塵封三千五百余年之久。
毀滅性的地震過后，人們仍心有余悸，但世界并未因此而終結。大神殿幾乎面目全非，但Am-tep及其同胞們居住的小島上仍有不少人幸存下來。劫后余生的人們將重建家園。被毀掉的神殿將會從廢墟上重新站立起來，甚至恢復當年的莊嚴與顯赫。然而，Am-tep已決定離開這座小島，因為他的世界已經發生了無可挽回的改變。
在他熟悉的這個世界里，由大地女神護佑的和平、繁榮及文明曾延續了千年。精妙的藝術蔚然成風，與鄰國的貿易往來頻繁。輝煌的大神殿曾經是一個巨大奢華的迷宮、一個自成一體的城市。在那里，繪制著動物和鮮花的壁畫美輪美奐，流水、排水裝置及下水道組成的水運系統高效而有序。人們幾乎從未經歷過戰亂，也無需多少防護設施。但是現在，Am-tep覺察到，大地女神的統治已經被另一個價值觀迥異的存在物顛覆了。
Am-tep 的幼子，一個熟練的木匠和水手，最終修復了家里的小舟。靠著這條小舟，Am-tep于幾年之后率領全家離開了島嶼。就在這幾年的時間里，Am-tep的孫子已經變成了一個思路敏捷、對周圍事物充滿好奇心的男孩。整個航程耗時數天，所幸海上的天氣異乎尋常的平靜。一個清朗的夜晚，Am-tep 正在向小孫子解釋天空中恒星位置的分布圖，一個奇怪的想法突然襲上心頭：在那次由惡魔制造的災難前后，天空中的星位看來卻沒有絲毫變化。
憑著藝術家的銳利眼光，Am-tep 對星圖有著相當的了解。他認為，天上的這些小燈燭也應被那天晚上的可怖力量推離原先的位置。他的那些小罐，特別是他無比鐘愛的那一只，不就化為齏粉了嗎？另外，月亮的面容也一如從前，在布滿恒星的天宇中她仍走著一成不變的路線，至少Am-tep自己看不出有任何改變。災后的好幾個月中，天空確曾出現過大的變化，比如說更黑，而且時有云團遮掩，甚至有時候月亮、太陽也呈現出不尋常的顏色。但這些都已成過去，日月的運行依舊如初。同樣，天上的眾星也沒有顯示出明顯的移位。
他感到疑惑不解。既然那些地位遠高于惡魔的諸神對這場災難如此漠不關心，那么控制魔鬼的神秘力量為什么會被島上這些微不足道的人類的愚蠢祭祀和祭品觸怒呢？他為自己腦海曾經閃過的可笑念頭深感羞愧，當時他還以為僅憑那些罐子上的花紋就能招來魔鬼呢。
他一直被“為什么”這一問題深深困擾。控制這個世界運行的背后的力量是什么？為什么有時候這些力量會以某些看來不可思議的方式突然爆發出來？他和小孫子一起討論這些問題，但是沒有得到任何答案。
...... 一個世紀過去了，然后是一千年，答案仍無處可尋......
Amphos，這個終生居住在祖輩們棲息的同一小鎮上的手藝人，一直以制作裝飾精美的手鏈、耳環、慶典用杯具以及其它精細手工藝品謀生。這些活計是他的家族延續了近40代的傳統，自一千一百年之前的 Am-tep 開始便不間斷地一直傳到Amphos。
代代相傳的不僅有家族的手藝，當初困擾 Am-tep 的那些疑問如今也深深困擾著Amphos。關于那次災難如何摧毀了一個祥和的文明世界的故事，以及Am-tep對于那次災難的見解，同樣也傳到了Amphos這一代。按Amphos的理解，天上眾神有著崇高的地位，他們不受這一可怕事件的影響。然而，對于居住在城市里、用活人祭祀而且宗教儀式并不怎么盛大的渺小的人類來說，那次事件卻具有災難性的后果。于是，通過比較他得出結論，那次災難必定是某種與人類自身活動無關的巨大力量所導致的。但自Am-tep始，這股力量的本質從未能被人們認識。
Amphos曾研究過植物、昆蟲和其它小動物以及巖石晶體的結構。他那雙敏銳的眼睛在裝飾設計上派上過大用場。他對農業感興趣，被小麥和其它谷物的發育生長深深吸引。但所有這些并不能回答“為什么”的問題，對此他從未滿意過。他深信，在自然界的各種規則圖式背后一定深藏著某種原因，只不過他手中尚未掌握揭開答案的工具。
一天晚上，夜空清晰可見。Amphos 仰望蒼穹，竭力要從星圖中辨認出那些化身為星座的男神和女神的形象。然而，即便擁有一雙藝術家的眼睛，他也很難看出多少相似性來。他不免疑惑，為何諸神不按更易懂的方式來組織眾恒星？照它們的實際布局來看，不像是有意識的設計，而更像是農夫隨機撒種式的產物。意識到這一點，他立即產生了一個古怪的想法：與其追問恒星或其它物體布局的成因，倒不如找出事物運行中普遍存在的更深層的有序性。
Amphos的出發點是，人們并不是從種子撒播到地上形成的分布中來識別有序，而是從種子們發育成結構巧妙且相似的植株這一奇跡般的過程中來尋找有序。我們不想徒勞地追問種子撒播到泥土中所形成布局的含義。相反的，控制每顆種子按幾乎同樣的奇妙方式生長的內在力量卻必定意味著某種深藏的奧秘。要讓這一切成為可能，大自然的規律必須具備絕佳的精度。
由此，Amphos開始意識到，如果深層原理不具備一定的精度，則世界將毫無秩序可言。但正如我們看到的，現實事物的運行的確表現出極高的有序性。而且，我們思考這些事情的方式也必然是精確的，否則我們早就誤入歧途了。
再后來，Amphos 聽人說起在陸上的另一個地方居住著一位智者，他與Amphos持有相似的信念。按這位智者的見解，人們要堅定自己的信仰，決不應訴諸古代的教義和傳統，而只有靠著絕對正確的推理得出精確的結論。而這種精確度本質上只能源于數學，最終可追溯到數的觀念以及這種觀念在幾何形式上的應用。因此，是數和幾何，而不是神話和迷信，真正主宰了這個世界的運轉。
如同一千一百年前的祖輩Am-tep，Amphos也決定出海一游。他來到了克洛頓城（Croton），在那里，智者擁有571位男性以及28位女性追隨者。Amphos自己很快也被吸納進了這個探求真理的團體。那位偉大的智者正是畢達哥拉斯。