2015考研數學衝刺訓練200題(數學二)（簡體書）

第一部分高等數學
專題一極限的求解及應用
極限概念及其計算一直是考研大綱中要求理解、掌握的重點考查內容，求極限是歷年考研真題中的常考題型，在選擇題、填空題、解答題中均有出現，如：13（9）題，12（10），（15）題，11（15）題，10（16）題，09（15）題，08（15）題，07（11）題，06（18）題。
求函數的極限主要有七種：00型，∞∞型，0·∞型，∞—∞型，1∞型，00型，∞0型，求解方法如下：
1）用初等數學（例如三角、對數、指數、分子與分母同乘以某式、提公因式等）中的恒等變形，使得能約分的就約分；
2）如果有因式極限存在但不為0，那么可將這種因式按乘積運算法則提出來另求；
3）用洛必達法則；
4）用等價無窮小替換；
5）對于1∞型，00型，∞0型可以化為指數型復合函數的極限計算；
6）皮亞諾余項泰勒公式；
7）導數定義求極限；
8）最基本的求解方法為極限的四則運算定理，復合函數求極限，連續函數求極限，以及幾個重要極限。
1.（2013年第9題）limx→02—ln（1+x）x1x=。
（詳解）
limx→02—ln（1+x）x1x=limx→01+1—ln（1+x）x11—ln（1+x）x1x（1—ln（1+x）x）
=limx→0e1x（1—ln（1+x）x）=elimx→01x（1—ln（1+x）x），
其中limx→01x1—ln（1+x）x=limx→0x—ln（1+x）x2
=limx→01—11+x2x=limx→0x2x（1+x）
=12。
故，原式＝e12。
2.（2009年第15題）求極限limx→0（1—cosx）x—ln（1+tanx）sin4x。
（詳解）解法一：當x→0時，1—cosx～～12x2，sin4x～～x4，則
limx→0（1—cosx）x—ln（1+tanx）sin4x=limx→012x2x—ln（1+tanx）x4
＝12limx→0x—ln（1+tanx）x2
=12limx→01—11+tanxsec2x2x
=12limx→01+tanx—sec2x2x（1+tanx）
=14limx→0tanx—tan2xx=14。
解法二：limx→01—cosx（x—ln（1+tanx））sin4x=limx→012x2（x—ln（1+tanx））sin4x
=12limx→0x—ln（1+tanx）x2
=12limx→0x—tanx—tan2x2+o（x2）x2，ln（1+x）=x—x22+o（x2）
=12limx→0（x—tanx）+tan2x2—o（x2）x2
=14limx→0tan2xx2=14。
（1.1）limx→01+x+1—x—21—cosx=。
（1.2）limx→01ln（1—x）+1sinx=。
（1.3）limx→0（cosx）1ln（1+sin2x）=。
（1.4）求極限limx→0ln（1+x2）—ln（1+sin2x）（1—cosx）ln（1—sin2x）。
（1.5）求極限limx→0ln（1+x）xex—11—cosx。
（1.6）求極限limx→0f（x）。
f（x）＝e1—ex2ln（1+x），x>0，
0，x=0，
（cosx）1ln（1+x2），x<0。>
（1.7）若limx→0sin2x+xf（x）x3=0，求limx→02+f（x）x2。
（1.8）求極限limx→0x—ln（x+1）—cosx3cos3x5cos5x·…·2n—1cos（2n—1）xln（2—cosx）。
（1.9）確定a與b的值，使得
limx→+∞xx4+ax—x3+x2+32bxxe=14。
（1.10）求極限limx→02+e1x1+e4x+sinxx。
（1.11）已知limx→01+x+f（x）x21sinx=e3，求limx→0f（x）x3。
（1.12）設limx→1—sinp（1—x）·∫+∞0e—t2ln1xdt存在且不為0，求常數p的值及該極限值。
（1.13）設f（x）可微且limx→+∞f（x）=1，求limx→+∞∫x+2xtf（t）·lnt+1tdt。
答 案 詳 解
（1.1）由1—cosx～～12x2（x→0），用洛必達法則
原式＝limx→01+x+1—x—212x2=limx→0121+x—121—xx
=limx→01—x—1+x2x1+x·1—x=limx→01—x—1+x2x
=limx→0—121—x—121+x2=—12。
（1.2）所求極限為“∞—∞”型未定式，應首先通分化為“00”型未定式后，再進行求解。
limx→01ln（1—x）+1sinx=limx→0sinx+ln（1—x）ln（1—x）sinx=limx→0sinx+ln（1—x）—x2
=limx→0cosx—11—x—2x
=—12limx→011—xlimx→0（1—x）cosx—1x
=—12limx→0cosx—1x—cosx
=—12（0—1）=12。
當遇到0·∞，∞—∞，00，1∞，∞0等未定式時，需先把未定式轉化為00或∞∞型，再用洛必達法則求解。
（1.3）解法一：屬1∞型。
原式=limx→01+（cosx—1）1cosx—1·cosx—1ln（1+sin2x）
=limx→0ecosx—1ln（1+sin2x）。