黃金比例：1.618...世界上最美的數字

讓丹‧布朗讚嘆不已！
李維歐以數學狂熱份子或是數學恐懼者都會喜歡的方式，揭開著名「黃金比例」的神祕面紗……看完此書後，你將會以全新眼光去審視金字塔、松果或是畢卡索的畫作。
──《達文西密碼》作者丹‧布朗

這本書可以滿足對數學知識充滿好奇心的讀者，這是一本值得高度推薦的數學普及作品。
──洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授

李維歐完美地化解了數學重複論述的難題……它重新梳理了一遍黃金比例的數學史。
──賴以威　數學作家、中研院博士後研究員

身為數學老師的我總是把握機會推薦這本書。……對於熱愛追求知識的讀者而言，這實在是一本值得細細品味的好書。
──林信光 台北市立建國高級中學數學科教師

這是一個關於植物、藝術、建築、繪畫、詩歌……讓你驚嘆造物主神奇的數字！

黃金比例是什麼？
‧兔子的生育？
‧玫瑰花瓣？
‧鸚鵡螺的外殼？
‧鳳梨的外皮鱗片？
‧巨大星系？
‧達文西名畫《蒙娜麗莎的微笑》？
‧名模身材？
‧股市指數的波動？
‧以上皆是

以上選項看起來毫不相關，但其實它們都擁有一個共同點，那就是──黃金比例，也就是1.6180339887...。

黃金比例的發現究竟源起於何時？幾乎已不可考。不過，有一點倒是可以確定的，歐幾里德這位幾何學大師用一條簡單的幾何定理「中未比」就為黃金比例下了完美的定義，即把一條直線（或線段）一分為二，則長線段與短線段之比恰等於完整直線與長線段之比。

黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、建築、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，相較於多數人可以朗朗上口的π值3.1416，黃金比例顯然與我們日常生活的關係更為密切。也因此，我們容易「眼見為憑」，將許多充滿視覺驚嘆之美的結構，誤判為是依據黃金比例而設計，譬如神祕的古埃及金字塔與雅典充滿簡約風格的帕特農神廟等等，許多黃金數字的狂熱崇拜者全都將之記在黃金比例的豐功偉績裡，但果真如此嗎？

本書作者李維歐不僅是一位稱職的嚮導，用平實的語言引領讀者展開這趟黃金比例的深度考古之旅，追本溯源，沿途也發揮科學家的偵探精神，抽絲剝繭，為讀者撥開層層迷霧，直達真相。

李維歐（Mario Livio）

哈伯太空望遠鏡科學研究所（Hubble Space Telescope Science Institute）科學部門負責人，研究主題十分廣泛，集中於宇宙學和天文物理學領域。他對星體爆炸、宇宙擴張、黑洞附近的物理過程及智慧生命的出現等議題尤其感興趣。著有《加速的宇宙》（The Accelerating Universe）及《傑出的錯誤》（Brillian Blunders）；出版超過三百篇的科學論文，經常受邀在史密森博物館（Smithsonian Institution）和海頓天文台（Hayden Planetarium）對公眾演講。目前定居美國巴爾的摩市。

譯者簡介
丘宏義

美國康乃爾大學物理博士，美國航太總署（NASA）哥達德太空飛行中心太空科學家及天文物理學家。退休後專事寫作與翻譯，著有《新封神榜：紂王與妲己》、《吳大猷──中國物理學之父》，譯有《預約新宇宙》、《億萬又億萬》、《抓時間的人》、《數學與頭腦相遇的地方》、《物理學家的靈感抽屜》、《物理與頭腦相遇的地方》、《光錐．蛀孔．宇宙弦》、《宇宙的六個神奇數字》、《量子重力》等書。

完美的數學史大翻案
賴以威

寫數學書有項難處是別的主題所沒有的，它不像心靈勵志書籍，同樣概念可以在不同的著作裡以不同的姿態出現。數學書可就吃虧了，每個概念不僅得用方程式和文字各定義一次，還得安上個專有名詞，怎麼逃也逃不掉。好比說本書的主角，數學界裡最廣為人知的大明星「黃金比例」吧，喜歡數學的讀者看過一本、兩本、三本關於黃金比例的書籍後，就會開始有些膩，覺得怎麼都是1.618，都有隻讓人看了會暈眩的鸚鵡螺，或是已經出現在許多攝影集裡但自己還是沒存夠錢去的希臘巴特農神殿。這是數學講究精確、清楚的原罪。
但《黃金比例：1.618...世界上最美的數字》作者李維歐完美地化解了這個重複論述的難題。
幾年前流行歷史翻案文：諸葛亮僅善於內政，曹操是位仁君，劉禪之智不亞於其父，長山趙子龍根本是個女的！這些翻案文有些引起爭論，有些還給當事人公道，有些僅是茶餘飯後一笑置之。但不管怎麼說，都讓我們看到了歷史全新的一面。某種程度上，這本書也扮演了相似的角色，它重新梳理了一遍黃金比例的數學史。
這時，數學的精確度又派上用場了。例如渾身上下充滿秘密的金字塔，許多文獻都指出可以從金字塔的三圍裡找出黃金比例、圓周率的蹤影，還提供了計算過程。對一般讀者來說，算式相當有說服力，但李維歐發揮科學家質疑一切的特質，不僅驗證算式，還檢驗數據是否可靠，他發現文獻中認定金字塔裡藏有黃金比例所使用的數據根本是錯的。不僅如此，因為埃及的金字塔高度與底座周長比例，埃及人普遍被認為能精確掌握圓周率，但說不定埃及人只是誤打誤撞的將圓周率和法老王一併埋進了金字塔裡。
有別於人文的歷史翻案，李維歐的論述除了有史料佐證，還有更多透過數學檢驗。他脫下了黃金比例被過度神化的面貌，同時又提醒我們抬起腳來、或是轉身看看，這兒和那兒也都有黃金比例。我個人最喜歡的是李維歐在本書中旁徵博引，將從古至今的數學家留下的經典格言像珠寶般地散落在段落間。這些偉大的數學家們長期被數學淬煉出的邏輯、人生觀，有些時候比黃金比例更讓人深思。
你已經看完這本書最無趣之處了，接下來的部分，只會越來越有趣。

（本文作者為數學作家，現職中研院博士後研究員。作品常見於聯合報「閱讀數學」、國語日報，以及泛科學﹝Pansci﹞、有物報告、CAREhER等網路媒體。著有散文集《再見，爸爸》，譯有《平面國》，合著《葉丙成的機率驚豔》。）

數學與音樂、藝術、設計的最佳交集──黃金比例
林信安 台北市立建國高級中學數學科教師

「黃金比例」對許多學生來說不算陌生。只要課堂上提到相關的題材，例如黃金矩形、黃金三角形、正五邊形、五角星形、費氏數列等，學生們還會列舉更多例子，像是鳳梨鱗片的排列、向日葵小花的排列、黃金比例是最美的比例等等。
我發現到，學生普遍對黃金比例感興趣，甚至發出讚嘆之聲，身為數學老師的我總是把握機會，推薦《黃金比例：1.618…世界上最美的數字》這本書，書中介紹了黃金比例與幾何、音樂、藝術、設計等各領域的糾葛與迷思，希望能藉此引領學生欣賞數學與其它領域產生豐富的交互作用。我自己從事數學與科學教育多年，這本書提供了我很多課堂上發人深省的好問題。
此外，本書還蒐集了大量的參考資料列舉了豐富的巧合，像是巴特農神殿、美感與黃金比例的關係、畫作中隱藏的黃金比例等。作者李維歐對這些巧合提出質疑，也對黃金比例的神祕感提供出見解與澄清，這是我覺得《黃金比例：1.618…世界上最美的數字》最有啟發性與迷人之處。對於熱愛追求知識的讀者而言，這實在是一本值得細細品味的好書。

導讀
永遠備受矚目的黃金比例
洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授 

《黃金比例》是一本有關黃金比例與費波納奇數列的數學普及書籍。作者李維歐試圖說明人類對黃金比例的迷戀，似乎有其特殊的文化意義，儘管他強調在埃及金字塔或希臘神廟都找不到其縱跡。這種學者應有的審慎態度，也一樣見諸於本書第七章〈藝術家也瘋狂？〉的論述。另一方面，作者也指出，有關畢氏學派的正五角星形logos，正多面體與柏拉圖的宇宙生成論，以及歐幾里德的中末比（亦即黃金比例）命題、正五邊形作圖，乃至於五種柏拉圖立體存在之證明，都足以說明文藝復興之後的西方學者與藝術家為何如此珍視黃金比例。
 說得更明確一點，歐幾里得在《幾何原本》之所以引進中末比，顯然是為了正五邊形的尺規作圖，以及只有五種柏拉圖立體之證明。其中，正五邊形這個核心的概念，當然與畢氏學派的神秘正五角星形息息相關。因此，儘管在建築設計與藝術創作中，被認為相當具有和諧美感的黃金比例並不多見，然而，這些扎實的幾何理論，卻成為十五世紀之後，科學家與數學家將黃金比例塑造成為「神的比例」（divine proportion）的基石。
不過，黃金比例的神聖性是否得利於費波納奇數列的「無所不在」，作者維持一貫的審慎，並未提供進一步的說明。但儘管如此，在本書第六章〈神的比例〉中，作者引述法蘭契斯卡、達文西與杜勒對於黃金比例的探索，可以見證當時畫家對此一概念的著迷程度。在這個關聯中，作者特別提及數學家帕西歐里如何將法蘭契斯卡在立體方面的研究，「編入」《神的比例》，並邀請達文西為其繪製插圖。如果說這是法蘭契斯卡利用黃金比例透露和諧形體的秘密，那麼，克卜勒也是基於同樣的信念，利用柏拉圖立體建立宇宙模型，因為他相信黃金比例是上帝創世時，所使用的一個基本工具。至於黃金比例的現實應用，作者則在股價漲跌模型及宇宙論等研究主題上，找到頗為重要的例證（參見第八章〈從地磚到蒼穹〉）。這說明純粹基於美學考量的黃金比例，最終在數學家與物理學家的手上，出現重大的應用意義，從而作者也得以「上帝是一位數學家嗎？」，來總結這一趟關於黃金比例的文化史之旅。
 就數學文化史（cultural history of mathematics）的文類來看，本書類似《從零開始》與《毛起來說無限》，都涉及數學史、哲學史、藝術史與形上學等主題，對讀者的博雅素養有著相當高的期許。不過，本書的內容也可以滿足對數學知識充滿好奇心的讀者。無論如何，這是一本值得高度推薦的數學普及作品。

專文導讀 永遠備受矚目的黃金比例 洪萬生
推薦文 完美的數學史大翻案 賴以威
推薦文 數學與音樂、藝術、設計的最佳交集
──黃金比例 林信安

譯　序　從數學到藝術，
及我們所知的數學是否萬能？　

第一章　數字的前奏曲　
數不清是世界的奇蹟。——索福克里斯

第二章　和諧音與五角星形　
我看到了宇宙中有一種秩序在，而數學是讓它現身的方法之一。
——薩騰

第三章　在一個指向星星，
呈Y形的金字塔之下？　
以埃及人鋪造的金字塔為首；巴比倫的花園次之，
為了阿咪蒂斯王妃而造；下一個是愛與罪的莫所羅墓；
第四個，在以弗所的黛安娜女神廟；羅德斯島巨像，黃銅鑄成；
第六個，朱比得塑像，費底亞斯所造；人們說，埃及的法羅斯來得最晚，
或者是用黃金打造的西流士宮殿。——佚名

第四章　黃金比例方程式　
幾何擁有兩件至寶：一件是畢達哥拉斯定理；
另一件是把線段做中末比分割。第一件足以和黃金媲美；
第二件我們或可稱之為珍貴的珠寶。——克卜勒

第五章　費波納奇數字無所不在　
這九個印度數字是：9 8 7 6 5 4 3 2 1。用這九個數字，
再加上這個 0 的符號..可以把任何數字寫出。——費波納奇

第六章　神的比例　
探索我們的起源，是使哲學家頭腦滿足的甜蜜汁液。
——帕西歐里

第七章　藝術家也瘋狂？　
繪畫不是一種美感的操作；它是一種魔法，作為這個奇怪的
逆境世界和我們之間的仲裁者。——畢卡索

第八章　從地磚到蒼穹　
畢竟，科學所要做的就是理解、領悟——
科學比起無需動腦筋的計算工作當然重要許多。——潘洛斯

第九章　上帝是一位數學家嗎？　
我應當以幾何方法去處理人類的罪行及愚惷..
從大自然的需求和效力來思考憎恨、憤怒、妒忌等等激情..
因此，我在處理大自然和情感的力量時，會採取一視同仁的態度，
彷彿我所關心的是直線、平面，及立體。
——史賓諾莎

不管有些業餘家嘀咕說二加二等於三，或者評論家大聲疾呼說是五，
數學家依舊認定二加二等於四。
——惠斯勒

附　錄　1~9

延伸閱讀　

譯序
從數學到藝術，及我們所知的數學是否萬能？
文／丘宏義
 

從上古到現在的數學
 本書可是說是一部以黃金比率φ為核心的數學簡史。黃金比率牽涉之廣，幾乎在所有的數學中都插進一腳，即使插進的份量最多可以說是當配角而已。本書提到，圓週率π成為配角或主角的角色可能要比黃金比率還要多得多，可是從任何一點說來，π太「嚴肅」了，沒有φ這麼的多彩多姿。有許多計算π的系列，最準確的的第一項就可以把π算到48位小數。而計算黃金比率的公式只牽涉到5的平方根而已。為甚麼老天爺對數字5特別加以青睞，而對其它的數字如3，7 或者11這麼平淡地對待呢？我想，這也是為甚麼黃金比率會有這麼大的吸引力的原因。
各種古文化都知道計數。對我們說來，他們計數的方法可能很笨拙－即使對他們的語言最自傲的法國人，也對他們到現在還在天天用的quatre-vengts（四個二十，即八十）只好苦笑，因為這實在太違背他們發明出的公制的精神了－可是對他們來說，不用「八個十」而用彆扭的「四個二十」是天經地義的事。中國人稱3/4為四分之三，英語則稱為三個四分（three fourth），我們認為他們的說法彆扭，他們也認為我們的說法彆扭。如果把四分之三的中文逐字譯成英文，應當是 four's three(雖然文法較對的說法應當是three out of four，即四個中的三個)。中文把「被屬於X」的某物放在後面，而英文把「被屬於X」的某物放在前面。我想原因大約是，中文的意思是，這某物屬於X，因此X是主人，應當在前面；而西方認為我們講的是這屬於 X 的某物，因此這「某物」為主，應當放在前面。

從計數（序數或數字，見第二章）到認為數字可以單獨存在，不需要物件的抽象觀念，發展最早的在希臘。（中國在很早也建立了這觀念，可是覺得並不太重要，以後也沒有像希臘人那麼專誠地發展。南美的馬亞族 Maya 也發展出同樣的觀念，可是要遲得多。其它的文化也有，有些相當早。）而希臘人對數字的抽象觀念之崇拜到達幾乎有宗教熱誠的地步。各種派別之中以畢達哥拉斯（他的信徙總稱為畢派）為首。他們建立了許多數論，包括證明了無理數的存在。他們認為無理數不應當在宇宙中存在，因此有很長一陣子不得把這秘密洩露出去。畢派也發明了所謂的「中末比」：把一條線分割成兩段，使得長的一段和短的一段的比率等於全線長和長的一段的比率相等。得到的就是黃金比率，也是無理數。傳說一位名為希巴修斯的畢派信徙把這信息透露出去，因而被畢氏信徙把他丟在海中淹死（見第一章）。

如果中末比的故事到此為止，那就是歷史上的另一個壓抑發現的故事而已，下面就沒有甚麼可說的了。可是如作者所說，中末比－現在稱為「黃金比率」或其它帶有「黃金」頭銜的名字－最令人驚奇的地方是，它在想不到的地方跳出來。以一個以5的平方根為主的數字，其後果卻一直延伸到今日，很可能還有許多尚未發現的成果。相比之下，圓週率π的確在幾乎所有的物理公式及理論中出現（其出現之頻繁，使得有些物理理論家嫌太煩了，因此自訂出一個「單位，」4π=1 〔請別問我怎樣去應用這單位〕），可是π卻不會像黃金比率在想都想不到的地方冒出。如上所說，π在數學及物理公式中的出現似乎是不能沒有的，可是－原諒我說一句毀損π的話－在許多情形中，就像食之無味，可是棄不得的雞肋，或者是不能沒有的盲腸，到處都不嫌其煩地出現，可是又不能沒有。天知道在不知道多少的數學及物理的考試中，因為遺落了這麼一個煩而不能不用的π，有多少學生丟了分數或被「當」掉。而從另一方面來說，黃金比率－數學遊戲式的線的分割－非但在五角形及西方認為，和中國的八卦圖一樣有避邪功效的五角星形中出現，居然也在植物的葉子的安排，向日葵的葵瓜子的安排，盤旋星系的漩渦，鸚鵡螺的美麗盤旋貝殼，物理上的準晶體，如何鋪不重覆花式的地磚，理論上養育兔子的「兔口」等等風馬牛不相及的命題中不請自來，成為趕也趕不走的不速之客。

最美的矩形，神的比率，文學及藝術的規範
我在上初中時（1944 年，在福州），一位很好的數學老師趙省身在幾何課上講到以黃金比率製成的矩形，只提了一句，說這是最美的矩形。這句話一直銘於我的心中。我真的拿起筆及直尺來，畫出黃金矩形。可是我嫌它太寬一點，要窄一點就好看一些。也許我覺得我自已的審美觀點不夠格，就沒有再繼續下去，也不敢向「權威」挑戰。當時所有電影銀幕的縱橫比都是3：4=1：1.25。所謂35mm相機的底片的縱橫比是1：1.46，可是在美國印出來的相片的典型尺寸是（以英吋計，1英吋= 2.54公分）3×5，4×6，5×7，8×10，11×14，縱橫比各為：1：1.67，1：1.5，1：1.25，1：1.27。沒一個是黃金比率（3×5的較接近，可是有人嫌太小一點）。現在還在用的電視系統採用以前的電影銀幕的縱橫比的格式，即1：1.25。

有人告訴我，這樣的縱橫比會使人看上去要胖些。（對性感或美麗的女明星這當然是壞消息，因為又加上對她們體重的要求。）而呼之欲來的高分析度數字型的寬銀幕格式的縱橫比為9：16 = 1：1.78，比黃金比率又要大上不少。現在美國用的紙張（8.5×11.5吋）的縱橫比是1.35，而台灣用的A4紙的縱橫比是1.39，都和黃金比率1.618…差上一大節。最接近黃金比率的是美國稱為「法律文件紙 legal size，」大小是8.5×14吋，縱橫比為1.65。較接近黃金比率，可是一般人都嫌太長。因此，無論怎麼說，似乎「最美的（黃金）矩形」在實用上無用武之地。就就令人懷疑，是否真的是那麼美。如果真的那麼美，為甚麼不用。因此，我很高興，在這本專論黃金比率的書中，並沒有把黃金比率捧到像皇帝的新衣服一樣，看成「美的至高規範。」按本書所說，心理研究似乎決定不出甚麼是最美的矩形的規範。

 本書給我印象最深的是，作者不嫌其煩地做了許多的搜索及考證，證明在古代的偉大建築，藝術，及音樂中都沒有用到黃金比率。不如說，因為（第六章）一位中古時代的作家柏奇歐利寫的《神的比率》一書，使受了基督教的教義熏陶了將近兩千年的歐洲人一聽「神」就「生畏，」有意識地或下意識地把黃金比率認為既然是神的比率，一定神聖不可侵犯。到現在，如本書所說，有許多黃金比率的熱衷迷不惜纂改歷史藝術以資可以把「神的比率」安在不應當安上的地方。可是，似乎只有少數幾位的藝術家真正地用到黃金比率，如第一章中達里的畫《最後的晚餐聖餐》。後來有些法國藝術展抬出了「黃金」的大名，可是只是用這名詞來做招牌而己。實質上和黃金比率沒有甚麼關係。

 如果能平心靜氣來想一下，絕對的「美的規範」實在是個太籠統而沒有實質的觀念。舉一個例子，有沒有一個美麗的女人的絕對規範？如果到藝術博物館去看，每一個時代都有一個不同的美的規範。中國歷史上認為最美的女人大約是唐朝的楊貴妃。可是以現在的標準去衡量，她大約應當去減肥學院中好好地去減上十幾磅（連白居易在「長恨歌」中都提出暗示式的「洗凝脂」）。要說文學（或藝術）有一個絕對的美的規範，更可笑了。中國古代的駢文之美，到現在還在贊之不絕。可是有沒有現代人去寫？我們經常罵某人太落後，用的是「八股」兩個字。在清朝初年時這種文章的文風（破題，承題，起講，提比，虛比，中比，後比，大結等八段）的確也流行了一陣子，因為可以把一個題目有條有理地寫出來。可是最後就變成形式化，所有的文章看上去都千篇一律。再最後就把「八股」變成罵人不合時代的話了。如果張畫都硬放進黃金比率，最後也會流於形式化，一旦流於形式化，就成為一個模子出來的。西洋畫家自文藝復興時期以來，畫風不知道改變了多少。把一個畫的畫風幾乎完全開拓完之後，就再去開拓另一個新彊土。最初把希臘神話的題材用盡後，就開始畫風景，畫災禍，發展光與影的技術（如第八章中所提到的佛彌爾，見第八章註 2），再下去發展印象派，過一陣子變成後期印象派，等等。音樂亦然。舉幾個例子。巴哈（Johann Sebastian Bach, 1685-1750）建立了音樂的和音風格。海頓（Franz Joseph Haydn, 1732-1809）發明了交嚮樂。莫札特（Wolfgang Amadeus Mozart, 1756-1791）以他的奇才，把自巴哈以來的音樂幾乎都開拓了。到了貝多芬（Ludwig van Beethove, 1770-1827）又更進一步地開拓出新風格出來。在他開始時（如第一及第二文嚮樂）可以聽出海頓及莫札特的影子，可是到了第九文嚮樂時，已經可以看出後來音樂的趨向了－可以聽見布郎姆斯（Johannes Brahms, 1833-1897）的樂音（應當說，在布拉姆斯的音樂中可以聽到貝多芬的樂音）。貝多芬能脫離經典音樂的傳統，創出一個極美的新方向，加上他的旋律及音樂總體之美，難怪稱他為樂聖。從這些看來，藝術不在於模仿，而在於天資的創意。在這種前提下，要硬把黃金比率放進去，是不可能的事。作者做了徹底的工作，證明黃金比率根本在藝術中沒有地位。黃金比率的地位乃是上面所說過的，在最想不到的自然現象及數學中出現，非但出現，而且還能導出一大堆表面上看來風馬牛不相及的學科，而最後都能聯繫在一起。

當然，有些藝術家一成不變（可以說以不變應萬變）。一位德裔美籍的著名現代畫家約瑟夫‧阿爾伯斯（Josef Albers, 1888-1976）就如此。他自稱他自五0年代起的後來二十年中，他的畫的畫局都相同，即一個正方形套上另一個；一共套了四個。其中一張附在下面（這張畫出現於美國一張最近的郵票上）。變化就在於色彩的對比。可是如果別人去學他，一張畫都賣不出去，因為這是他的創作。別人是模仿。（本書的圖 82，取名為《百老匯布基-烏基》的現代畫，有類似的格調。）

而在音樂中，更不能拘泥於一個簡單，和樂理無關的格式。我在第八章的註17中講到一些。作者提到一些規定了長短音節的音樂，可是都不能持久。幾十年前在台灣有人搞電腦（計算機）音樂，流行了短期後，立刻被淘汰了。問題是，這不是音樂，也不是藝術。這是以新奇為標榜的「匠術，」當然不能持久。
中國古畫，畫了幾千年，還是畫同樣的山水人物。最後流於形式。國畫大家如齊白石的畫之可愛，乃是他能脫離這些形式。一般都認為，每位畫家都應當有自己的風格。如果不滿意，就可以自創一風格，如反抗當時傳統的立體派。要不對西洋繪畫的歷史熟悉，會下這種很外行的評語：《裸女》中一點都看不到女人，頭在這裡，臂在那裡，畫不像人，等等這些外行話。（第八章討論了一些近代西洋現代畫，這位作者顯然對西方的繪畫很有修養。）

因此，一點不奇怪，黃金比率在藝術甚至於文學中都很少出現。一拘泥於某種形式，就把創意限制住了。詩也是一樣。我在第七章註20提到為甚麼以前格式化的詩已被新詩所取代的原因。任何藝術文學作品，一旦格式化之後，就受到了許多的限制。在開始的時候，因為大部份的彊土都是沒有被探測過的處女地，這些限制的因素還不十分明顯。到了作品多的時候，就覺得到處都受到限制了。

我們所知道的數學是否萬能？
 現在我要寫關於這位作者在最後一章提出的，數學是否萬能，或者，是否有數學之外的其它方法去暸解自然？他提到俄夫蘭的書，《一種新科學》（A New Kind of Science）。這本書的篇幅長達1200頁，以通俗的口吻，逐步解釋相當深奧的數學，如碎形幾何（fractal geometry），計算複雜理論（Computational Complexity Theory），非線形動力學（Non-linear Dynamics），奈米技術 （nano-technology，造千萬分之一公尺的尺度的機械的科技），及最新的所謂「單元自動機 」（cellular automata）的應用等等。在美國自五月出版至今已銷售了數十萬冊。以台灣的目前環境，似乎可以說，出版翻譯本的機遇可能小於百分之一。因此我把這書的內容及數學是否萬能的問題在這裡略述一下。即使如此，也只能闡述出他的基本觀念，無法把任何細節說明。

 先說數學萬能的問題。在1970年代，當美國航天署NASA剛把航天員送到月球再回來數次，而沒有一次出大漏子後，科技方面人員當然得意萬分。可是有幾位電視上的脫口秀的諧星在一開始時就取笑了。在登陸月球成功之前，有一位在數千萬電視觀眾之前宣佈：「我不要做第一位上月球的人，我要做第一個能回來的人。」第一次去月球登陸成功的航天員阿姆斯特郎在成功後，回答訪問記者時，記者問：「害不害怕？」他的答案是：「怎麼不害怕？一想我坐在數萬噸的炸藥（按：火箭燃料極易燃，形同炸藥）上，而造這火箭的公司卻以最低標標到，怎樣能不害怕？」而更妙的是一位諧星說：「他們可以把一批笨蛋（按：航天員只作些簡單操縱的工作，火箭怎樣離地球，到月球，都由上萬的地勤人員管理）送到月球上去，再把他們接回來，可是他們（指高科技）卻沒有辦法解決我們的交通問題。今天我開車來這裡，化了三小時才走了十英哩。」而在1980年代末，當美國航天署 NASA 把航海家空間船 Voyager I 及 II 成功地送到各行星，逐一探測，直到最遠的海王星（冥王星可能不能算是行星，見下文），航天署公共關係組發出新聞，說，這代表的是航天科學技術的大成功，能越過近乎一百億公里的行星際空間的旅程，非但準時到達（只差幾分鐘），而且離目標點只差50公里。而在不久之後，基於不知多少的人造衛星的氣象報告卻不能預測某暴風雪的光臨，造成交通阻塞，停電，等等。這些極大成功，失敗，和無法解決的問題都歸屬於科技的萬能，及科技的無能。是怎麼一回事？讓我們來分析一下這些批評。

 先說最低標的問題。美國只有幾家航太公司。某公司不得標，就把在這方面做投標的準備工作的那一大批人解雇。因為這些被解雇的人員都對這些工程問題很熟悉，因此就跳槽過去那一家標到的公司去做。因此，最低標只能算是最低價而不是最低品質。實際上去月球的科技雖然非常複雜，費用非常昂貴，可是用到的科學理論卻非常簡單，簡單到牛頓都知道怎樣去做，問題是沒有火箭，沒有能在空間生存的知識，及其它所需的科技，等等。因此要把這件事留到二十世紀時，當科技發達到能造出這樣的火箭時才能做到。關於交通的問題留在下面和氣候預測的問題一起討論。現在說一下驚人的航海家準確性問題。看來非常驚人，可是這又是牛頓力學的另一應用。只要一把航海家號送出去後，就可以用種種科技方法去量出軌道。下一步的工作就是用牛頓力學去計算應當如何改變軌道，如何利用行星的引力把它加速以資達到下一個行星等等。驚人的是造出它及控制它的科技，而不是它軌道的科學，早在牛頓時代已經做好了，現在僅做應用而已。本書說過，牛頓定律的準確度比百萬分之一還要好。如果再把所有廣義相對論的校正都加進去，就可以達到幾百億分之一的準確度（目前的全球定位系統的精確度為幾百億分之一，廣義相對論的效應在十億分之一左右顯出）。因此，從科學眼光來看，把航海家送到海王星去，只是精確度的問題，而我們已有的科技已經可以做到。非但如此，利用航海號的科技再加上我們現在已經能做到的科技，我們已經有能力把空間船送到鄰近的星球去；非但能送去，而且我們的科技也足夠把這空間船減速，使它在到達以後，在繞著這鄰近的星球上轉。唯一的問題就是需要數千年的時間，因此這問題牽涉到的是，人類有沒有這個意願去做。（這種的工作相當於，在漢朝開始一件工程，到現在才有半成果，要再等數千年的時間才能看到成果。我想以目前的人類意識來看，沒有一個國家願意耗資去做這種事。）

 我上面提到的交通問題也就是「意願」問題。如果我們請一位外星人來替我們解決交通問題。他在繞地軌道上用分析力最大的望遠鏡，把所有在公路上的車輛都放上只有他們才能辨認出的標誌。他會發現，早上有許多車輛從A點向B點去，同時也有許多車輛從B點向A點去。晚上則反之。他一想，這些地球上的土著真笨，這個小問題還不能解決。於是他把早上從A點到B點的車輛中的人和從B點到A點的車輛中的人交換一下位置。那麼就可以減少許多不必要的交通。問題解決了。可是對於地球上的土著來說呢？張先生就非得搬到李太太那裡去住，而王太太也非得搬到江先生那裡去住…等等。交通問題是解決了，可是這不是地球上土著願意接受的解決問題方法。而在選擇那裡去住的時候，通常把上下班的交通問題放在要考慮的因素的優先順序的後面〔或者無從選擇（如換了一個職位）〕。既然把這因素放在後面，就表明交通問題不重要，因此為甚麼要去埋怨？再多造些路也沒有用。路造得愈多，在選擇在那裡住時，不把交通的因素作為重要因素的人也愈來愈多，因此車子也愈多。多到無可忍受的地步，使得上下班的交通問題也和其它選在那裡住的因素一樣重要的時候，就達到了一個平衡態－交通問題達到了一個可以忍受的極大限度時（通常是飽和點），交通量才不會再繼續增加下去。

 上面所說的還僅是人為因素使數學無能的問題而已。現在要談到數學本身的無能為力的問題。氣候是一個最佳的例子，可是還有一個較不為人所知的例子，而更為簡單易懂。這和我上面說的行星軌道問題的準確度有關。我說過，行星（或任何物體在引力場中的運動的軌道）的軌道可以計算到非常準確。可是不是所有的情形都這樣。在第九章中註14提到，18-19世紀的拉普勒斯研究過太陽系的穩定度問題。這問題一直有人研究。在二十世紀初有一個尚未完全解決的力學問題，即三體問題，即三個質量（如太陽，地球，月球）在互相引力作用下的軌道問題。在計算機時代，從實用觀點來說，這個問題已經變得不重要（雖然在理論方面還很重要）。可是在二十紀末的時候，發現了一個行星軌道理論的真正危機。這就是冥王星 Pluto 的軌道問題。先把冥王星的始末說一下。於二十世紀初時，一位富有的業餘天文學家，勞威爾（Percival Lowell, 1855-1916，是哈佛大學校長的兄弟）決定要全神去研究天文，在亞里松那 Arizona 州旗桿鎮 Flagstaff 造了一座天文台，（現在還在，而且非常活躍）專心去觀測天文，尤其是火星。所謂火星上的運河都是他從觀測中「發現」出的。〔最近發現，他觀測到的是他眼球中的血管。這是因為要從地面上觀測火星極為不易，需要長時間才能得到較清楚影像的一瞥。說來話長，就到此為止。〕他相信了一個行星軌道的計算，說有第九枚行星的存在，等著去被發現。可是沒有正式的天文學家相信。於是他找到了一位年輕牛仔唐保Clyde Tombaugh，訓練他去作觀測，去搜尋這行星。經過二，三十年辛勞的搜索，在勞威爾去世十四年後，終於，皇天不負苦心人，於1930 年在預測的地方附近發現了一枚行星。〔現在還有疑問，原先預測的計算是否可靠，還是運氣好，真的在預測的地方發現了冥王星。〕這是一枚比地球的月球還要小的行星（質量只有月球的三分之二），比其海王星來說，真是小小巫見大巫了。天文學家將信將疑地把它歸類於行星。可是一位天文學家柯尹伯（Gerard Kuiper,1905-1973）後來推測，在海王星之外有無數小行星體，大小和冥王星類似，稱為柯尹伯帶。有人推測冥王星就是柯尹伯帶中的最鄰近的小行星體，可是沒有證據。冥王星的軌道很古怪，離心率高（即更為橢圓）。平均軌道在海王星之外，可是在1979-1999年間卻在海王星的軌道之內（即比海王星更接近地球）。最近發現了第十個行星，只有800英哩直徑，比冥王星要小，還遠。由此發現，最近有些天文學家把冥王星降級，不再把它看成行星，而把它看成刻尹伯小行星帶中的成員。可是從另一方面說來，也不算真的降級。以前它在行星中是最小的，可是一旦把它歸屬於刻尹伯的小行星帶，它就昇級，變成刻尹伯帶中離我們最近的，（到現在為止）也最大，真可以說是「寧為雞首，不為牛後。」

 而和我要說有關的是，天文學家無法計算出冥王星未來的軌道。它處於一種和海王星「共振 resonant」的處境中，二者之間的距離不能小於17倍天文單位（一天文單位等於地球到太陽的平均距離，約1.49億公里）。也許因為這理由，要去定出它的未來的軌道，要需要極高，有許多小數點的準確度的觀測－高到無法做到。甚至於，這麼多的小數點是否有物理（即實際）的意義，還成問題。（例如，如果要20位小數的準確度，就等於說要把冥王星的距離量到一個分子大小的準確度，當然這是沒有意義的數字。）到現在還沒有方法去解決這問題，至少在牛頓力學的範疇中不能。這不是說需要廣義相對論，不如說，牛頓的力學－及其所基的數學－在這方面無能為力。數學上的說法是，牛頓的力學的數學系統有不穩定性，可是數學系統呈不穩定性，不見得就可以說實體的系統不呈穩定性。推測起來，冥王星大約和太陽系同時於45億年前形成，之後大約就在現在的軌道繞太陽轉。它仍舊好好地繞太陽在那裡轉，無論牛頓力學的方程說它有不穩定性。（要加一句，冥王星的例子是特例，其它行星的軌道沒有這個問題。）在這裡我們看到數學之無能為力的第一瞥。

 可是這僅是冰山上的一個小苗頭而已。現在要談到氣候問題。要決定全球性氣候，我們可以把方程式寫出－如果真正要透澈地去寫，恐怕有上千個方程，因為要包括種種的化學反應，如光合作用，空氣中的分子之間的化學反應，等等。理論上說來，只要把這些方程組解出來，就可以預測那一天的氣候。可是不需要把所有的方程寫出，也可以看出這是毫無希望的工作。即使把最簡單的方程寫出，也發現了有和上面說的冥王星問題一樣的問題－要去預測三十天的氣候，所需的輸入數據的準確度要非常之高－高到甚至於一隻蝴蝶在巴西揮動一下翅膀，兩個月後在中國的青海省就會出現一場風暴。這當然不對，因此這套方程組代表一個有限意義的理論，不能推得太遠去。而這種現象非但在氣候方程有，在許多複雜的方程組中也有。混沌理論( Chaos Theory)研究這種現象。這理論開始於，有些數學體系對原始條件(initial condition)非常靈敏，很小的改變可以造出很大的後果。如果原始條件中有些細節不能確實，最後就不可能去決定這些系統的行為。不一定要很複雜的原始條件就能產生出複雜的行為表現（如上面冥王星的例子）。

一種新科學
 倒底這些不穩定性是否代表數學的能力的極限，是否我們還沒有把我們所知的數學的發展到夠完善？還是我們所知的數學在這些方面無能為力，而有其它不根據我們熟悉的數學觀念（如數字、微分、積分等）的新科學？這非但是一個實際的問題，還是一個在第九章中討論到的哲學問題。這就是這位作者（及其他許多人）對俄夫蘭 Stephen Wolfram 提出的「新科學」極有興趣的原因。（按：數學家哥德爾 Kurt Godel〔1906-78〕於1930年代提出數學中有不能以其本身的公理來證明的陣述 statement；如果要證明，要到更高的體系中去找，如是無垠而上，因此數學的邏輯有它自己本身的限制。可是這裡說的是，是否在數學之外還有其它可以解釋自然界的「科學」？）

 俄夫蘭用的是一種稱為「單元自動機」( cellular automata)的算程。這種自動機基於圖靈機（Turing Machine，為英國數學家圖靈(Arthur Mathison Turing，1912-54）於1936年提出。實際上是一個抽象的機械，從來沒有造出過，只用抽象的方法來討論。這機器有一個可移動的紙帶（在1936年，以打了孔的紙帶來載資訊是當時最先進的計算機科技），上面載有符號。這些符號以有限數目的碼編出，每套符號為一單元。每次的紙帶移動一單元，根據當時機器的狀態決定把紙帶向左移或右移，每移一次，就把單元中的符號讀出，改變這機器的狀態。（類似第八章在碎形中，把系列101101010110…按讀出的數目改變其內容。）這樣就能使這機在取得資訊後自己作下一步要做甚麼的決定，因此等於賦與這機器一種智慧。真正的圖靈機中等到讀出的符號及機器的狀態符合某種條件後就停機。在這裡最重要的是，讀出的符號可以影嚮機器的狀態，可以決定機器下一步的動作。這是最簡單的，利用輸入改變下一步的情況的例子，可是從某方面來說，是對神經元的控制的最簡單仿真。例如手伸出去碰到一個極熱的物體，就立刻把手收回。手的神經元傳達了輸入的符號（熱），就把機器（人）的狀態改變了，決定下一個動作（把手抽回）。

 從理論的觀點，這類自動機(automata)不像想像中那麼容易去造出，因為這些符號必需要有它們之間的規則及邏輯。（這裡說的是理論上用邏輯的造出，而不是真的用電晶體等把它實際地造出。）可是經過數學家的努力，已經建立了許多自動機。俄夫蘭的自動機只用到一個位元（bit）。聽上去沒有甚麼可做的，因為一個位元只能有兩個值，1或0。可是不然。一個自動機可以看為一套的記憶位置，每一個位置只有一個位元。這些位元在每一個時間的步(step)中都把它的值更改，看它自己及附近的位之值而定（參見第八章對碎形的討論）。俄夫蘭特別研究的自動機類型中，所有的位都安排在一條線上(一維)，每一次把值更改時，所有的位值的新值依賴它現在的位值及鄰近兩個（一左一右）的位值。共有256種這樣的自動機。俄夫蘭用計算機的仿真（或模擬）有系統地去研究這一類的256種自動機。他把他的結果寫在《一種新科學》(A New Kind of Science)中。
 這一類的演變，最好的理解方法是圖解。圖2示出一種最簡單的自動機。這個自動機可以用來例證這種圖解的方法。我們只有一維（一條以方格代表單元的線），因此可以把結果放在這條線的下面，如是而下。第一條線中所有的位都是白色，只有一個當中的位為黑色（可以用黑色代表 1，白色代表0。）如果在下一步中，任何一單元的鄰近有一個黑色的格子，它就變成黑色。於是在每一步中黑色的格子增加兩個。圖2顯示出它的時間演變圖。圖3顯示把這自動機運作一陣子後的結果。再取一例，如果我們把規則稍改一下：如果某格（單元）的鄰格之一是黑色，就把它變成黑色，可是如果兩個鄰格都是白色，就把它變成白色。圖４顯示它的時間演變圖（黑白交替的格子圖）。讀者現在應當有每個格子怎樣去變顏色的概念了。

 俄夫蘭最付專注的是第110號自動機。於1994年，馬修‧庫克(Matthews Cook)證明了，這個一維的自動機相當於一個全稱（「萬能」）計算機 (universal computer)。它可以做出任何圖靈機可以做出的計算。這是最簡單的這類機。這個自動機可以產生出混沌現象（見第九章）。如果把它的一個參數變了，就可以造成從大體說來是重覆性的行為到完全混沌（無規）的行為的轉變(transition)。俄夫蘭本人在廣義相對論及量子引力方面工作過，對數學物理很精通，因此他化了一章來討論在物理方面的應用。當然，在這種討論中，特別只用了一維的自動機，受了許多的限制。可是可以看出這是一個可行的方向。

 這本書中講到許多題材，從自然現象到隨機的性質，可是要把所有一切都講出，恐怕就要變成一本書了。因此，我只限於一兩個物理上的命題。他說，許多物理上的特徵如能量不滅定律都在這些算程中沒有明顯的模擬，可是有許多物理上沒有被解決的基本問題不依賴著這些屬性。他證明出，有些傳統的方法無法處理的問題的重要本質卻可以被相當的算程所捕獲。一個是不可逆的觀念。通常物理的過程都是可逆的。即把時間倒流，如果不變任何因子，就可以回到過去。（一般說來，所有的系統都可逆。我知道這句話會引起許多的爭執，因此要加上些解釋。複雜的系統不是不可逆，而是可逆的機遇太小。如一瓶香水蒸發，理論上蒸發出去的香水會自動回瓶，可是機遇太小，小到一般說來，可以認為不可逆。如果要討論這問題，可以寫上一本書。在我著的《吳大猷傳》中簡單地示範為甚麼蒸發掉的香水分子回到瓶中去的機遇會很小。）例如，把地球繞日的方向逆轉，地球會再沿著以前轉過的地方一一走過。可是卻發現了絕對不可逆的單元自動機。有些自動機是可逆的，如第51號，可是第254號卻不可逆，因為無論怎樣，它都朝黑格的方向演化去。在物理中，要證明不可逆性，必需要引用機率，證明能可逆的機率太小。這就是熱力學第二定律的真蒂。可是在單元自動機中，就是乾脆不行。俄夫蘭化了一長段的篇幅去解釋不可逆性和熱力學第二定律，和單元自動機的模擬。然後他再討論在連續體（如流體）中守恆的量，空間的屬性，時間和空間的關係，時間及因果關係的網絡，等等，都從單元自動機著手。他因此認為這是一個可以去追求的方向－以算程代替數學在物理上的應用。有興趣的讀者可以去讀原文。

 我覺得這是一種新思路。數學可以預測全面；把地球繞日的微分方程解了，理論上可以預測到地球在無窮的未來的位置。可是，自然界似乎不是這麼進行的，也許可以很粗淺地說，像我們教小孩走路時的，「走一步，看一下，再走一步。」以冥王星為例，它無從知道在多少年之後要走到那裡；它的運動只把它帶到下一點，而由下一點的輸入（在這情形，引力）再決定它的去向。這和我們在街上走路時，絕對不會一成不變地，看也不看地向前拔步走。我們看到的物體（其它行路的人，行動中的汽車，障礙，等等）決定我們下一步朝那裡走去。從這個粗淺的觀點來看，冥王星和我們都是一種的自動機。當然，我們這類的「自動機」要比俄夫蘭講的一維自動機要複雜多了。

 當然不能說俄夫蘭已經把問題解決了，甚至於也不能說在三維（或加上時間成為四維）空間中他的結論還正確。雖然許多書中的構想不是他首先創出，有許多結果是別人做出的（例如自動機111號），有些地方他忽略提起。可是他的想法卻很簇新。可以公平地說，他也許是第一人敢站出來向到現在為止，公認的數學的至高權威性挑戰。也許他會對，也許他會錯。可是科學的歷史一次又一次地告訴我們，如果沒有人敢向已建立的學術挑戰，就不會有新彊土的發現。